(完整版)考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

1、78B持之以恒，厚积薄发第四章不定积分性质9原函数不定积分第一类换元法计算第二类换元法分部积分法简单分式的积分分段函数的积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数的定义原函数：若对于x I ,有F (x) f(x)或 dF(x) f (x)dx，称F (x)为f (x)在区间I内的原函 数。原函数存在定理：连续函数必有原函数一一即若 f(x)在I上连续，则必存在F(x)，使得当x I时,F (x) f(x)。【例1】设F(x)是f (x)在(a,b)上的一个原函数， 则 f (x) F (x)在(a,b)上()(A)可导(B)连续(C)存在原函数(D)是初等函数【答案】(C)【例2】（92二）若

2、f （x）的导函数是sinx ,则f（x）有 一个原函数为（A）1 sinx.（ B） 1 sinx.（C） 1 cosx.（ D） 1 cosx.【答案】（B）二、不定积分的定义不定积分：在区间I内，f(x)的带有任意常数项的 原函数F(x) C称为f (x)在区间I内的不定积分,记为：f (x)dx，即 f(x)dx F(x) C计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一 个原函数，加上任意常数C即可。不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积 分曲线；不定积分对应于积分曲线簇一一无穷多 条积分曲线，被积函数对应于切线的斜率一一同 一横坐标处切线平行。【例3】若f(x)的导函数是sinx,

3、则f(x)的原函数 是.【答案】sin x C1x C2【例4】某曲线过点（1,2），且其上任一点切线之 斜率为该点横坐标之2倍，求此曲线方程。【答案】y x21三、不定积分的性质(1) ( f(x)dx)或d( f(x)dx)(2) F (x)dx或 dF(x)(3) (f (x) g(x)dx(4) kf (x)dx）上连续，则【例5】(90二)设函数f (x)在( d f (x)dx 等于(A) f(x)(B) f(x)dx(C) f (x) C(D) f (x)dx.【答案】(B)78B持之以恒，厚积薄发【例6】(89三)在下列等式中，正确的结果是( )(A)f (x)dx f(x).

4、( B) df (x) f(x).(C) f (x)dx f (x).( D) d f (x) f (x).dx【答案】(C)13【例7】(95三)设f (In x) 1 x，则f (x) 【答案】f (x) x ex C(1)kdx(2)x dx(3)dxx(4)axdx(5)dx1 x2(6)dx1 x2四、基本积分表;exdx78B持之以恒，厚积薄发(7)cosxdx(8)sin xdx(9)2 dx sec xdx cos x(10)2 dx csc xdx sin x(11)secx ta n xdx（cscxcot xdx1578B第四章不定积分【例8】求下列不定积分1l 2(1)

5、 飞dx ;(2)x(x2 5)dx;x12 ? 10 彳【答案】(1)2 C ；(2) 2x2 10x2 C2x73#78B持之以恒，厚积薄发(3) 区尹 dx(4) 2x exdx ；x1 2 1 【答案】(3) -x2 3x 3ln|x| C；2x2x ex(4) 仝旦C1 ln278B第四章不定积分#(5)x2x3x(1x2)dx;【答案】(5) In | x | x(6) tan x x(6)tan 2 xdxarcta n x C ;C ；78B持之以恒，厚积薄发(7) sin 2 dx;2【答案】(7)(x sin x)21978B持之以恒，厚积薄发【例9】求下列不定积分:121

6、 cos x B(1)dx ；1 cos2x(2)1x4(1-2 dx x2)1x2-arcta n x x【答案】(1)tan21(2) 3x2第二节换元积分法换元积分法是把复合函数的微分法反过来， 利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。 通常分为两类：第一换元积分法和第二换元积分 法78B第四章不定积分一、第一换元积分法(凑微分法)定理1 (第一类换元法)：设f(u)具有原函数， u(x)可导，则有第一换元法换元公式：f ( (x) (x)dx ( f (u)du)u (x)f( (x)d (x)应用方法：若求 g(x)dx，如果 g(x) f ( (x)(x)的形式，则可利用：g(x

7、)dx f(u)duu (x) f ( (x) (x)dx。2378B持之以恒，厚积薄发2【例1】求下列不定积分(1) 2cos2xdx;(2)【答案】(1) sin2x C ; (2)1xdx ；3 2x1 In 13 2x| C278B第四章不定积分辺2(3) 2xex dx;2【答案】(3) ex C ;(4)(4)e3 xdx ；78B第四章不定积分(5) x 1 x2dx;(6) tan xdx ；1 3|cosx| C【答案】(5) 一(1 x2)2 C;(6) In3(7)dxx(1 2lnx)(8)sin2 xcos5 xdx;【答案】（7） -ln|l2x| C;2(8)丄s

8、in3x2sin5 x-sin7xC357278B持之以恒，厚积薄发2(9) cos xdx;(10)cscxdx;Cx 1【答案】(9) -sin2x C ;24(10) In |cscx cot x278B第四章不定积分(11) tan 5xseCxdx【答案】(11) 1 sec x 2sec5 x sec x7533178B持之以恒，厚积薄发二、第二换元积分法 定理2 (第二换元积分法) 设x(t)为单调，可导且(x) 0的函数，又f ( (t)(t)dt有原函数，则:f(x)dx f( (t)(t)dthi(x)常用第二类换元法：幂代换，三角换元#78B持之以恒，厚积薄发幂代换：含有

9、n ax b，嘖b （注：都是一次的）35【例1】求下列不定积分1(1) dx;1 Jx 1 ln(1 x 1) C【答案】(1) 2 Jx 1三角换元:代换x asintt2 2x a tan tt -2 2x a sect0 t ，7辅助 三角 形其它 函数 值78B持之以恒，厚积薄发a2【例1】求下列不定积分(2) a2 x2dx(a 0)2【答案】(2) arcs in 2a378B持之以恒，厚积薄发1（3）dx（a 0）;、a2 x2【答案】（3） ln | x VX2a21 C1(4)二dx(a0)nx a【答案】(4) x a时，原式In(xJx2 a2) Gxa时，原式 ln(

10、 xJx2 a2) C2Inx、x2a2C2 x a3978B第四章不定积分补充公式(13)tan xdx(14)cot xdx(15)secxdx(16)cscxdx(17)dx2 2 a x78B持之以恒，厚积薄发2 x a2dxa22 xdx/ 2x22 adx2 x2 a(18)(19)(20)(21)dx4178B持之以恒，厚积薄发第三节分部积分法分部积分公式：uv dx uvudv uvu vdx 或vdu【例Il求下列不定积分(1) xln xdx ;(2) arctan xdx;【答案】（1）寸/皿1x2 C(2) xarctan xx2) C(3) x2exdx;(4) 2x

11、sin 5xdx ;【答案】(3) x2ex 2xex 2ex C(4)xcos5x5sin5 x25(5) exsinxdx;xcosx) C【答案】(5) (sin x278B第四章不定积分【例2】求下列不定积分(1) arctan( 1 x)dx;【答案】1 2(1) (x 1)arctan(1x) ?ln1 (x 1)2 C4)78B持之以恒，厚积薄发(2) e xdx;【答案】(2) 2VXe* 2e C478B第四章不定积分(3) cosin xdx ;cosln x) C【答案】(3)制1n x78B持之以恒，厚积薄发第四节有理函数的积分一、简单有理函数的积分方法：将有理函数化为

12、整式加部分分式之和，再 进行积分部分分式:dx ax b-ln|ax b| C a1(ax2dxb)21 1a ax b78B第四章不定积分511ax2 bxdx二 c1a(x h)2kdx公式求解mx nax2 bx cm2a(2ax b) nax2 bx cmb2adxdx cm. (2mb1In | ax bx c n 22a2a ax bx78B持之以恒，厚积薄发53【例1】求下列不定积分(1)dx2x2 3x 9【答案】(1)訓|2x 3|n|x 3| C978B持之以恒，厚积薄发(2)xdxdx1丄x arctan C ;aa22x 32 2 a x【答案】(2) - arctan

13、 X 厂12 2C4(3)(3x 1)dxx2 2x 3【答案】(3) fln|x22x 3込 arctanC(4)x3dxx2 x 1I答案】(4) 22 32x 1 cxarcta nC3a/378B持之以恒，厚积薄发1、简单无理函数的积分方法：利用幂代换化无理式为有理式进行积分1、含有 nax b，naxbcx厂d令ax b t，n axbcxd幕代换:t1dx2、2bx c1a(x h)2 kdx78B持之以恒，厚积薄发【例2】 求下列不定积分2 a2 XJv（们 dxdxV4x29 ax2 a2【答案】（1） In x x269/c、 dxdx r22 c(2)2 22 In x 、

14、x a C丫1 x x2 v x2 a2【答案】(2) ln x - Vx2x1C2(3) (93 三)【答案】(3)dx(2 x)Jl x2arctan Ji x Cdx(1 VX)Vx【答案】(4) 6(VX arctan Vx) C三、简单三角有理式的积分a若被积函数满足R( sinx, cosx) R(sinx,cosx)，贝U令 tan x t b若被积函数满足R(sinx, cosx)R(sinx,cosx)，贝U令 sinx t c若被积函数满足R( sin x,cosx)R(sin x,cosx)，贝U令 cosx txd万能公式t tan ,贝Msin x22tt2一,cos

15、x11 t2n，tan x2t1 t2【例3】求下列不定积分cosx) In |sin x11 cosx(1) (94 一)【答案】1(1) InC4dxsin2x 2sin xdx（2） （96 二）求1 sin x【答案】（2） tan x secx C本章强化练习一、与原函数有关的命题1、(99三)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原 函数，则(A) 当f (x)是奇函数时，F (x)必为偶函数.(B) 当f (x)是偶函数时，F(x)必为奇函数.(C) 当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数.(D) 当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函 数.答案：(A)2、(9

16、4三)已知如是f(x)的一个原函数，求xx3f (x)dx.答案： x2 cosx 4xsin x 6cosx C78B第四章不定积分3、( 96 三)设 xf (x)dx arcsin x C，贝U答案：1(1 x2)3 C31dxf(x)78B持之以恒，厚积薄发二、不定积分的计算1、（ 89二）求d：x In x答案：CIn x7178B第四章不定积分x2 （93 一）求；严答案：2x Jex 1 4ex 1 arctan Jex 1 C678B持之以恒，厚积薄发答案：二in3、(90二)计算ln xx.(1 x)2x1 x754、（91 二）求 xsin2xdx.答案：-X2 -xsi

17、n2x -cos2x C4485、（01 一）求亠 arctan e B2xdx.e答案:2（1e2x)arctanex 寸e x C78B第四章不定积分6、（03二）计算不定积分arcta n x xe3dx.x2答案：1x1arctan xeC2Jl x278B持之以恒，厚积薄发7、（ 01 二）求dx2x21 Jx2181答案:arctan2 xf (x)dx。8、( 00二)设 f(|nx) ln(1 X)，计算x答案：ln(1 xe)ln(1 ex) x Ce9、（ 99二）6x 13答案:1ln(x226x13)4arcta n78B第四章不定积分7）10、（98 二）Insin

18、x2sin xdx答案： cot x Insin x cot x11、(97 二)x(4 x)答案：arcsin X 2 C28378B持之以恒，厚积薄发12、(97 二)计算 e2x(tan x 1)2dx. 答案：e2x ta nx C8513、(02 三)设 f (sin2 x) x ,求f (x)dx.sin xVi x答案：2 arcsin仮 2仮 Cxarcs in e ,14、( 06一)求xdx.exarcsin e2x、合案：x ln(1 1 e ) x Ce78B持之以恒，厚积薄发15、（ 98 .三） lnx2 1dx _x答案：lnx C .x778B第四章不定积分7316、计算dxsin x ta