数字低通滤波器的设计讲解

1、* 实践教学 * 兰州理工大学 计算机与通信学院 2013年春季学期 信号处理课程设计 题 数字低通滤波器的设计 专业班级： 通信工程班 姓 名： 学 号： 指导教师： 蔺莹 成 牡 摘要 设计一个数字低通滤波器。而数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通 过一定运算关系改变输入信号所含频率的相对比例或滤除某些频率成分的器件； 一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数字处理來达到频 域滤波的目的。根据滤波器的设计思想，通过双线性变换法和脉冲响应不变法将 巴特沃斯模拟低通滤波器变换到数字低通滤波器，利用MATLAB绘制出数字低通 滤波器的系统幅频函数曲线，对这两种方法进行比较。

2、关键词：数字滤波器；双线性变换法；脉冲响应不变法；巴特沃斯；MATLAB 目录 前言1 一、课题描述2 二、设计原理3 2.1 IIR数字滤波器设计原理3 2. 2巴特沃斯低通滤波器的原理3 2. 3双线性变换法4 2.4脉冲响应不变法工作原理6 三、设计过程7 四、结果与分析8 总 结11 参考文献12 附录13 致谢17 前言 课程设计是理论教学的延伸，是学握所学知识的一种重要手段，对于贯彻 理论联系实际、提高教育质量，培养合格人才等具有特殊作用本次课程设计一 方面通过MATLAB仿真设计内容，使学生加深对理论知识理解的同时增强其逻辑 的能力，另一方面对课堂教学中的理论知识做一个总结和补充

3、。 简单來说，理想低通滤波器的滤波效果是无失真，其通频特性可以看做一 个矩形，滤波不会发生混叠(实际的滤波器是不可能有理想的截至特性，总会 在截止频率fc之后总有一定的过虑带)。 巴特沃斯滤波器是滤波器的一种设计分类，类同于切比雪夫滤波器，它有高 通，低通，带通，带阻等多种滤波器。它在通频带内外都有平稳的幅频特性， 但有较长的过渡带，在过渡带上很容易造成失真，我在调用MATLAB里的巴特沃 斯滤波器做仿真时，信号总会在第一个周期略微有些失真，但往后的幅频特性 就非常的好。切比雪夫滤波器则相反，过渡带很窄，但内部的幅频特性却很不 稳定。其他种类的滤波器一般都是那折中设计的。 双线性变换法原理：使

4、数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相 似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的 混叠失真双线性变换法也是一种由S平面到z平面的映射过程，双线性变换法 与脉冲响应不变法不同，它是一种从S平面到z平面简单映射。双线性变换中 数字域与频率和模拟频率之间的非线性关系限制了它的应用范围，只有当非线 性失真是允许的或能被检时，才能采用双线性变换法，通常低通、高通、带通 和带阻等滤波器等具有分段恒定的频率特性，可以采用预畸变的方法來补偿频 率。 冲激响应不变法遵循的准则是使数字滤波器的单位取样响应与参照的模拟 滤波器的脉冲响应的取样值完全一样，即h(n)=ha(nT),其

5、中T为取样周期。实 际是由模拟滤波器转换成为数字滤波器，就是要建立模拟系统函数Ha (S)与 数字系统函数H (z)之间的关系。脉冲响应不变法是从S平面映射到Z平面， 这种映射不是简单的代数映射，而是S平面的每一条宽为的横带重复地映射到 整个Z平面。 一、课题描述 数字滤波器是一种用來过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行 数学处理來达到频域滤波的目的。可以设计系统的频率响应，让它满足一定的要 求，从而对通过该系统的信号的某些特定的频率成分进行过滤，这就是滤波器的 基本原理。如果系统是一个连续系统，则滤波器称为模拟滤波器。如果系统是一 个离散系统，则滤波器称为数字滤波器。 数字滤波实质

6、上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数 字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一 个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输 出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照 这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性： Y（/）=X（R讪严）（1-1） 其中丫（町、X（”）分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或 称为频谱特性），H（严）是数字滤波器的单位取样响应的频谱，乂称为数字滤波 器的频域响应。输入序列的频谱X（”）经过滤波后X（0）H（）,因此，只要按 照输入信号频谱

7、的特点和处理信号的目的，适当选择日（町，使得滤波后的 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。 二、设计原理 2. 1 IIR数字滤波器设计原理 IIR数字滤波器的设计一般是利用目前己经很成熟的模拟滤波器的设计方 法來进行设计，通常釆用模拟滤波器原型有butterworth函数、chebyshev函 数、bessel函数、椭圆滤波器函数等。 IIR数字滤波器的设计步骤： 按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术 指标； 根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器； 跟据脉冲响应不变法和双线性变法把模拟滤波器转换为数字滤波器； 如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤

8、波器，则首先把它们的技术 指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频 率转换的方法來得到所要的滤波器。 在MATLAB中，经典法设计尺数字滤波器主要釆用以下步骤: 图1IIR数字滤波器设计步骤 2. 2巴特沃斯低通滤波器的原理 巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏， 而在组频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界 频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。 一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频20分贝，二阶巴特沃斯滤波器的衰 减率为每倍频12分贝，三阶的衰减率为每分贝18分贝，如此类推，巴特沃斯 滤波器的振

9、幅对角频率单调下降，并且滤波器的结束越高，在组频带振幅衰减 速度越快，其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同 的形状。 上述函数的特点是等距离分布在半径为。的圆上。 H (s)H (-5)= 1 (2-1) 因此，极点用下式表示为 ./n .八补+丄丿 = Q e 2 e z(2-2) = 0,L2,-N-l Hq(S)的表示式： Q H2=(2-3) G-归) A=0 为了使设计公式和图表统一，将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用3dB截 止频率归一化，归一化后的系统函数为 s1 G () = (2-4) 八 CN- s S n() 令p = + = $/GM = Q/G,.

10、,几称为归一化频率，p称为归一化复变量, 这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 (2-5) G =i a 严- Yl(p-Pk) k=0 式中，卩严sd，为归一化极点，用下式表示： 曲竺)f (2-6) pk =e 2 2Nk = 0,l,2, N_l 2. 3双线性变换法 双线性变换法是将s平面压缩变换到某一中介$1平面的一条横带里，再通 过标准变换关系z = exp(sl*T)将此带变换到整个z平面上去，这样就使s平面 与Z平面之间建立一一对应的单值关系，消除了多值变换性。 为了将s平面的皿轴压缩到“平面的皿1轴上的-小卩到刃一段上， 可以通过以下的正切变换來实现： 2 1 Q =

11、 ytan(2Q1T)(厶 了) 这样当G1由-piT经0变化到刃/T时，G由-8经过0变化到+ 8,也映射到 了整个轴。将这个关系延拓到整个$平面和si平面，则可以得到 0T0 1 ?门7 s = tan(51 _) =(2-8) T2T1 +严 再将51平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令Z = exp(51*n得到 (2-9) _2i-r! STl+zl 同样对Z求解，得到 2 + s (2-10) s T 这样的变换叫做双线性变换。为了验证这种映射具有S平面的虚轴映射到Z平 面单位圆上的特性，考虑S=jH3,得 2 1_厂沟 JQ = -(2-11) T 1 +严 (2-12) Q=

12、 tan y T 2 除了使s平面的虚轴映射到单位圆上之外，s平面的左半部分映射到单位圆的 内部，S平面的右半部分映射到单位圆的外部。如图所示 S平面 S1平面 Z平面 2图2双线性变化映射关系迪意图 + s + s 观察式子乙= ,发现S的实部为负时，因子的幅度小于1,相当于单 乙乙 55 TT 位圆的内部。反之，当s的实部为负时，该比值的幅度大于1,相当于单位圆的 外部。这样就可以看出使用双线性变换可从稳定的模拟滤波器得到稳定的数字 滤波器。双线性变换法还避免了使用脉冲响应不变法所遇到的混叠问题，因为 它把s平面的这个虚轴映射到z平面的单位圆上。然而，付出的代价是在频率轴 上引入了失真。因

13、此，只有当能容忍或补偿这种失真时，使用双线性变换法设 计数字滤波器的方法才是实用的。仅在零频率附近时G与血之间的频率变换关 系接近于线性关系，所产生的数字滤波器的幅频响应相对于原模拟滤波器的幅 频响应有畸变。 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤 波器，但是各分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过 频率的预畸变來加以校正，也就是将临界频率事先加以畸变，然后经变换后正 为了克服冲击响应不变法产生的频率混叠现象，我们需要使s平面与z平面 建立一一对应的单值关系，即求出5 = f(z),然后将其代入G($)就可以求得 吶即H= GG),13) 2.4脉冲

14、响应不变法工作原理 冲激响应不变法遵循的准则是使数字滤波器的单位取样响应与参照的模拟 滤波器的脉冲响应的取样值完全一样，即h(n)=ha(nT),其中T为取样周期。实 际是由模拟滤波器转换成为数字滤波器，就是要建立模拟系统函数Ha (S)与 数字系统函数H (z)之间的关系。脉冲响应不变法是从S平面映射到z平面, 这种映射不是简单的代数映射，而是S平面的每一条宽为的横带重复地映射 到整个Z平面。 三、设计过程 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： 1根据数字低通滤波器技术指标和釆样时间间隔Ts二0. Olso ws = 0.5mxid,as = 30dB;如=3dB;= 0.2mad 2. 计算

15、出模拟低通的技术指标Ts二0.01s。 Cs = 50/zrad / 5, as 30dB; aP 3dB; Qc = Q.2mxid / 5 3. 设计巴特沃斯低通数字滤波器，先计算阶数N及QP、WP。 1 由公式Cc = Cis aog- -1）丽计算出N=3. 7688,进行取整得N=4； 计算出 Qp = 19iad/s, Ws = 0.19-。 4. 利用MATLAB函数根据低通滤波器的技术指标利用双线性变换法及脉冲响应 不变法仿真出巴特沃斯低通滤波器的对数幅频及相频率曲线。 4. 1结果 图4双相性变换法 图5脉冲响应不变法 8 4. 2比较分析 比较脉冲响应不变法设计的低通滤波器

16、和双线性法设计的低通滤波器： 脉冲响应不变法优点：是频率坐标变换是线性的，即co=r,如果不考虑 频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率 特性。另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激 响应，时域逼近性好。 缺点：会产生频率混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、 带阻滤波器的设计。 双线性变换法避免了频率响应的混叠现象。可以设计高通、带阻滤波器。模 拟频率与数字频率不再是线性关系，所以一个线性相位模拟滤波器经双线性变换 后所得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位了。 与脉冲响应不变法相比，双线性变换靠频率的严重非线性关系得到s

17、平面与 Z平面的单值一一对应关系，整个丿G轴单值对应于单位圆一周，这个关系就是 式。=使（号所表示的，其中血和G为非线性关系。如图中看到，在零频率 附近，Gq矗于线性关系，G进一步增加时，血增长变得缓慢，G-s时 3=兀（血终止于折叠频率处），所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折 叠频率而混淆到低频部分去的现象。 双线性变换法的缺点：G与的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相 对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，（使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率 的对应关系上发生畸变）。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系, 但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器。 若 (4-1) H（严

18、） = H（崗严ktg牛b 0=仗2 另外，一个线性相位的模拟號波-器经双线性变换后，滩删就不再有线性相 位特性。虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效 的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、 高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带 部分要求逼近一个衰减为8的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后, 虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于S与Z之间的简单 代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函 数。

19、置换过程: =屉(s) 、厂* r IJ 1-2 频响：= Ha 丿尹g引 这些都比脉冲响应不变法的部分雾黑务解便b得多，般，当箸9乃：滤波器 的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计, THz 频响: (4-3) 大多采用双线性变换。 10 总结 本次设计是数字低通滤波器设计。最基本的方法：双线性变换法与脉冲响 应不变法。滤波器设计原理來比较简单，在MATLAB中有专门的函数可用來调用, 实现滤波器的。由于对MATLAB 了解的不多，其至连基本的函数语句都得查书才 能知道，这就大大增加了我们设计的时间。有时在调用函 数时出现各种错误，得不到正确结果，程序运行时

20、也会有很多的错误。首 先按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标； 然后根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器；其次跟据脉冲响 应不变法和双线性变法把模拟滤波器转换为数字滤波器；最后如果要设计的滤 波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤 波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法來得到所 要的滤波器。通过双线性变换法和脉冲响应不变法将巴特沃斯模拟低通滤波器 变换到数字低通滤波器，利用MATLAB绘制出数字低通滤波器的系统幅频函数曲 线，对这两种方法进行比较两种方法的区别，再针对仿真出來的图形进行分析。 这让我深深

21、体会到，要想正确得出一个波形，需要花很多的时间和很大精 力。个人感觉滤波器的设计比较难，而且设计内容庞大，使得时间非常紧张。 不过收获特别大，在不断错误的过程中，我学到了新的知识，同时也磨练了自 己的意志。做完本设计，我对低通数字滤波器的原理和设计方法有了更深层次 的理解和掌握，对数字滤波器这方面有了系统的理解，收获颇多。 11 参考文献 1 丁玉美，高西全.数字信号处理.西安：电子科技大学出版社，2006. 2 陈怀琛，吴大正，高西全.MATLAB及在电子信息课程中的应用.北京：电 子科技大学出版社，2003. 3 程佩青.数字信号处理.北京：清华大学出版社，2006. 4 楼顺天，李博苗.

22、基于MATLAB的系统分析与设计一信号处理 西安：西安 电子科技大学出版社，1998. 5 刘波.MATLAB信号处理北京：电子工业出版社，2006 12 附录 双相性变换法： wp 二 0. 19*pi; ws=0. 5*pi; Rp=3; Rs=30; R二10(-Rp/20); A二10”(-Rs/20);分贝值转化为数值 T=0. 01; N=4; 0megac=0. 2*pi; b, a二butter (N, Omegac);表达式分子分母的形式 H, wj =freqz (b, a, 1000, whole);幅度和频率响应 H二(H(l:501); w=(w(l :501); m

23、ag=abs(H); db=20*logl0 (mag+eps)/max(mag); pha=angle(H); ha, x, t=impulse (b, a);计算冲击响应 subplot (111) subplot(221) plot(w/pi, db); axis( 0 1 -100 51) titleC幅度响应)； ylabel C iHl* ); subplot(222) plot (w/pi, abs(mag); axis(0 1 0 1.21) titleC 幅度(dB); 13 ylabelC 分贝数); subplot(223) plot(w/pi, pha); axis(0

24、 1 4 4 ) titleC相位响应)； ylabel (弧度); xlabel (以pi为单位的频率); subplot(224) plot(t, ha); axis(0 15 0 1.5) title (J冲击响应)； ylabel ( ha (t); xlabel (，时间(秒)； 脉冲响应不变法： % %数字滤波器指标 % wp 二 0. 19*pi; ws=0. 5*pi; Rp=3; Rs=30; % %模拟原型指标对频率的映射 % T 二 0.01; OmegaP=wp/T; OmegaS=ws/T; % 14 %模拟原型滤波器阶次 % N=4; Omegac=O. 2*pi;