专题7.24：直线与圆的相关问题的研究与拓展

1、专题7.24:直线与圆的相关问题的研究与拓展【探究拓展】在平面直角坐标系 xOy中，圆C的半径为 1圆心在直线l:y=2x_4上.问题1:若圆心C也在直线y =x _1上，求圆C的方程.【答案】由八x1 得x=3,I y =2x -4 y = 2.问题2:对问题1中的圆，若过点2410【答案】X 2 .2y 42 =0 或 x+22y 4.2 =0问题3:对问题1中的圆，若过点P(0,2)作圆C的切线，切点为A,B，长求AB的【答案】AB思路:PC =3,CA =1,AP =2 2 二 AHPA AC 2212 2-PC 一 3- 3642IJ2分别交圆于A,B和M,N两点，求四3问题4:对问

2、题1中的圆，若过点5P(5,2)作互相垂直的两条直线2168 10 12边形AMBN面积的最大值【答案】设C到AB、MN的距离分别为d1、d2，则-AB d； =1,2d| =1,d；=CP1 2 12 12 2AB MN2，即 AB MN =7，44411227-S四边形ambnAB MN (AB MN )，当且仅当44厂AB =MN =上时取“=”.2窃边形ambn的最大值为；问题5:对问题1中的圆和圆C :(x 3)2 y2 =1，若另一动圆 N同时平分圆C、圆C的周长，证明：圆 心N在一条定直线上运动.【答案】设圆心 N(x,y)，由题意，得 NC1NC,即NC 2 = NC2，2 2

3、 2 2即(X 3) y =(x 一3) (y -2)，化简得 3x y _仁0 ,即动圆圆心 N在定直线3x y _1 =0上运动.问题6:证明问题5中的圆N过定点.【答案】圆N过定点.设圆心 N(m,_3m J)，则动圆 N 的半径为 1 NC 2 = 1 (m 3)2 (_3m 1)210m2 11 ,动圆 N 的方程(xm)2 1 I y (3m -1) f =10m2 11.整理，得 x2 y2 -2y -10 -2m(x -3y 3) =0 .xx3y 3=0,x2 y2 -2y -10 =0,10110 + 10x =-或y =13 11010110所以定点的坐标为.、1010丿

4、I1010丿问题7:若过点P(0,2)作圆C的切线，切点为 A,B，则AABP的外接圆是否过定点？如有求出定点坐标【答案】 ABP的外接圆不过定点.设圆心C(m,2m 4) , M (x,y)ABP的外接圆上的任意一点，贝UMP MC =0,若厶ABP的外接圆过定点，贝Ux +y +6y_8=0,消去 x，得(4 _2y)2 + y2+6y_8=0，即 x 2y -4=0,即 x(x-m)( y -2)y_(2m-4)| - 0，整理，得(x2y26y -8) - m(x 2y -4) = 0 ,5y2 -10y -8=0 , A. =102 - 4 5 8 = -60 ： 0 , 此方程组无

5、解，即 ABP的外接圆不过定点问题8:若过点P(0,2)作圆C的切线，切点为 A,B，若sin ZAPB7，求圆C的方程.4【答案】设 _APC =( (0,)，则 sin2= 7，即44甲ng；,，即 =(或者先求出sin - cos -4 tan 142=),即 J7tan2 日-8tan 日 +77 =0,126 8cos2 =，得10433解之得 tan 0 =或 tan Q=7 （舍） 由 tan 日=匹得 PA=-AC=V7 , PC所求直线应该与圆心C所在的直线平行，且平行线间的距离为-) =8.7PAtan 日设 C（m,2m 一4），则 m2 （2m 4 2）若圆C上存在点M

6、，使MP =MO，求C点横坐标的取值范围 【答案】要使得 MP =MO , M在PO的中垂线y=1上，设圆心C(m,2m-4)，则圆C的方程为 =8，即 5m2 _ m _3. C点横坐标的取值范围为 2,3. 问题12：对于P(0,2)，若圆C上存在点M，使MP =2MO，求C点横坐标的取值范围 -24m 28 =0 , （5m _14）（m _2） =0 ,1414 8m=或2，圆心C的坐标为(一,)或(2,0) 55 5所求圆 C 的方程为（x14）2 （y_【答案】圆 C的圆心在在直线I : y =2x-4上，所以，设圆心 C(m,2m-4)）2=1 或（x_2）2 y2 =1.55问

7、题9:若过点P(0,2)作圆C的切线，切点为A, B，求四边形PABC面积的最小值1【思路】S四边形pabc Rpac =2 - PA AC=PA，又PA2 =PC2 -1，要求四边形PABC面积的最小，即求PC最小，246.5PAi =竺_15315S四边形PABC的最小值为1555问题10：是否存在直线,使其交圆 C的弦长总为 3，如有,求出直线方程，没有，说明理由【答案】设直线的方程为y =kx b，圆心C(m,2m 一4)，因为弦长总为,3，所以圆心到直线的距离总为则_2 4_ =丄对任意的 m恒成立，即(k-2)m+4+b=丄Jk2 +1对任意的 m恒成立，2 2k2 1k -2 =

8、0,|4 +b =丄应2 +1, t 2k =2,b=-4 _i2所求直线的方程为4或 y4+，2 2(也可从几何的角度考虑,问题11:对于P(0,2),则圆 C 的方程为：(x _m)2 ! |y _(2m _4) f =1又:MA=2M0，二设 M(x,y),贝U . x2(y-3)=2.x2y2整理得：x2(y1)2=4，设为圆 D ,点 M应该既在圆 C上又在圆D上，即：圆 C和圆D有交点.二 2 _1 _ m2 M(2m _4) _(_1) f _ 2 1 ,由 5m2 -8m 亠8 亠0 得 x 三 R ；C点横坐标的取值范围为:2 12由5m -12m _0得0 _m .综上所述

9、,425问题13：若圆C被x轴划得的弧长比为 -，求圆C的方程2【答案】设圆心 C(m,2m -4)，圆C与x轴交于A、B两点，则1.ACB =120；， 2m -4 二，2m=9 或 7，44圆 C 的方程为(x -9)2 (y _1)2 =1 或(X7)2 (y+ 丄匸=1 4242问题14：若圆C和x轴交点的横坐标为x,x2，求仝竺的最值.x2 x【答案】设圆心 C(m,2m -4)，则圆C的方程为(x -m)2 y -(2m -4) f =1，令y =0，则论凶 是方程x2 -2mx 5m2 -16m 75 =0的两个不等的实根，为 X2 =2m,222-X1X2=5m-16m15,由

10、；=4m -4(5m-16m15)0得(2m 5)(2m 3) ：0，22：=4m -4(5m -16m 15)0,m (f,f)，x1x? _ xf x2 _ (x1冷)2 2为x2x2x|x| x2x1x24m225m -16m 15-2 =5-16-1 15 I2m m-2令 V i,i，u=15_16t 5，容易求得 u _；i,1， 2 十 4,詈 拓展1:在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C ： (x _ a) (y 2a _ 1) =2(-1a1)，直线| : y = x亠b( x三R) 若动圆C总在直线I的下方且它们至多有 1个交点，则实数b的最小值是 【答案】6拓展2:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2 y2 -4x =0 .若直线y =k(x 1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 . |2迈,2 2拓展3:已知直线I : 2mx (1-m2)y-4m-4 = 0，若对任意 m，R，直线I与一定圆相切，