全国通用高考数学大一轮复习推理与证明算法复数135复数

1、基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1.复数的有关概念复数的有关概念 (1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做复数z的 ， b叫做复数z的 (i为虚数单位). (2)分类： 知识梳理 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 abi为实数_ abi为虚数_ abi为纯虚数_ 实部 虚部 b0 b0 a0且b0 (3)复数相等：abicdi(a，b，c，dR). (4)共轭复数：abi与cdi共轭(a，b，c，dR). 2.复数的几何意义复数的几何意义 复数zabi与复平面内的点及平面向量 (a，b)(a，bR) 是一一对应关系. ac且bd

2、ac，bd |abi|z| Z(a，b) 3.复数的运算复数的运算 (1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR. (ac)+(bd)i (ac-bd)+(bc+ad)i (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意 义，即 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)方程x2x10没有解.() (2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.() (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.() (4)原点是实轴与虚轴的交点.() (5)复数

3、的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复 数对应的向量的模.() 基础自测 1234567 题组二教材改编题组二教材改编 答案解析 解析解析1zi(1z)，z(1i)i1， 1234567 答案解析 A.12i B.12i C.34i D.34i 1234567 解析答案 4.P116A组T2若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为 A.1 B.0 C.1 D.1或1 1234567 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 题组三易错自纠题组三易错自纠 解析答案 1234567 解析答案 6.设i是虚数单位，若zcos isi

4、n ，且其对应的点位于复平面内的第 二象限，则位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析解析zcos isin 对应的点的坐标为(cos ，sin )，且点(cos ， sin )位于第二象限， 为第二象限角，故选B. 1234567 7.i2 011i2 012i2 013i2 014i2 015i2 016i2 017_. 1 解析解析原式i3i4i1i2i3i4i1. 解析答案 1234567 题型分类深度剖析 1.(2017全国)设有下列四个命题： 题型一复数的概念自主演练自主演练 解析答案 p2：若复数z满足z2R，则zR； 其中的真命题为 A.p1，p3 B

5、.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4 解析解析设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)， z2a2b2i(a2，b2R). 故zabiaR，所以p1为真命题； 对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0. 当a0，b0时，zabibi R，所以p2为假命题； 对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2 a2b1)iR，则a1b2a2b10. 因为a1b2a2b10a1a2，b1b2，所以p3为假命题； 对于p4，若zR，即abiR，则b0， 2.(2018长春调研)若复数z满足i(z3)13i(其中i是虚数单位

6、)，则z 的实部为 A.6 B.1 C.1 D.6 解析答案 解析解析iz3i13i，iz16i， z6i，故z的实部为6. 解析答案 3.(2017河南六市联考)如果复数 (其中i为虚数单位，b为实数)的实 部和虚部互为相反数，则b_. 解析答案 4.已知复数z满足z24，若z的虚部大于0，则z_. 2i 解析解析设zabi(a，bR，b0)， 则z2a2b22abi4， 因此a0，b24，b2， 又b0，b2，z2i. 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满 足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方 程(不等式

7、)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部 和虚部. 思维升华思维升华 题型二复数的运算多维探究多维探究 命题点命题点1复数的乘法运算复数的乘法运算 典例典例 (1)(2018长春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， z12i，则z1z2等于 A.5 B.5 C.4i D.4i 解析答案 解析解析z12i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)， 又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z2的对应点的坐标为(2,1)， 即z22i， z1z2(2i)(2i)i245. (2)复数i(2i)等于 A.12i B.12i C.12i D.

8、12i 解析答案 解析解析i(2i)2ii212i. (3)(2017江苏)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是 _. 解析答案 解析解析方法一方法一z(1i)(12i)12ii213i， 命题点命题点2复数的除法运算复数的除法运算 解析答案 A.12i B.12i C.2i D.2i 解析答案 A.1 B.1 C.i D.i 解析答案 1i 命题点命题点3复数的综合运算复数的综合运算 典例典例 (1)(2017全国)设复数z满足(1i)z2i，则|z|等于 方法二方法二2i(1i)2， 由(1i)z2i(1i)2，得z1i， 解析答案 A.12i B.12i C.12i

9、 D.12i 解析答案 解析答案 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的 看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可. (2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注 意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a bi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答. (4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般 化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答. (5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除

10、法法则进行运算，要注意运算 顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的. 思维升华思维升华 解析答案 1i.故选D. 解析答案 解析答案 题型三复数的几何意义师生共研师生共研 典例典例 (1)(2017北京)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限， 则实数a的取值范围是 A.(，1) B.(，1) C.(1，) D.(1，) 解析答案 解析解析(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i， 又复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限， (2)ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1| |zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的 A.内心

11、B.垂心 C.重心 D.外心 解析答案 解析解析由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点的距离都相等， z对应的点是ABC的外心. (3)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表 示0，32i，24i，试求： 解答 (32i)(24i)52i. B点对应的复数. 解答 即B点对应的复数为16i. 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向 量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直 接给出结论即可. 思维升华思维升华 解答 解解设zxyi(x，yR)， z2ix(y2)i，由题意得y2. 由题意得x4.z42i. (zai)2(124aa2

12、)8(a2)i， 实数a的取值范围是(2,6). 课时作业 1.(2016全国)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|等于 基础保分练 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析解析由(1i)x1yi，得xxi1yi， 解析答案 2.(2017济宁一模)已知i为虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 a1.故选A. 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16

13、 17 18 19 20 4.(2017河北保定定兴三中月考)“复数z (aR)在复平面内对应 的点在第三象限”是“a0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 z在复平面内对应的点在第三象限， 5.(2017河北省三市联考)若复数z a在复平面上对应的点在第二象限， 则实数a可以是 A.4 B.3 C.1 D.2 解析答案 123456789 10 11 12 13 1

14、4 15 16 17 18 19 20 6.(2018枣庄模拟)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.(2017天津)已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_. 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 解析解析aR， 8.(2017浙江)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2 _，ab_. 5 解析解析(abi)2a2b22abi. 由(abi)234i. 解析答案 123456789 10 11 12

15、 13 14 15 16 17 18 19 20 2 解得a24，b21. 所以a2b25，ab2. 9.已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若MN3， 则实数m的值为_. 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3或6 解析解析MN3，3M且1 M， m1,3(m25m6)i3或m3， m25m60且m1或m3， 解得m6或m3，经检验符合题意. 10.(2018唐山质检)若1 是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复 数根，则b_，c_. 解析答案 b2，c3. 123456789 10 11 12 13 14 15 16

16、 17 18 19 20 32 11.若 abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_. 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 ab3. 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (x2)2y23. 13.(2016天津)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则 的值为_. 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 解析解析因为(1i)(1bi)1b(1b)ia， 又a，bR，所以1ba,1b0， 技能提升

17、练 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析答案 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)， 1. 16.(2018广州质检)已知复数zbi(bR)， 是实数，i是虚数单位. (1)求复数z； 解答 解解因为zbi(bR)， 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 所以b2，即z2i. (2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围. 解答 解解因为z2i，mR， 所以(mz)2(m2

18、i)2m24mi4i2 (m24)4mi， 又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限， 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 即m(，2). 解析答案 拓展冲刺练 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 则a(1bi)(1i)(1b)(1b)i， 解析答案 2 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析答案 f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0， 集合f(n)中共有3个元素. 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 解答 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解解这样的虚数存在，z12i或z2i. 设zabi(a，bR且b0)， 又b0，a2b25. 又z3(a3)bi的实部与虚部互为相反数， a3b0. 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 故存在虚数z，z12i或z2i. 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析答案 3.(2017河南六市联考)如果复数 (