概率论与数理统计期末考试题附答案

1、概率论与数理统计期末考试题 一. 填空题(每小题 2 分，共计 60分) 1、A、B是两个随机事件，已知 p(A) 0.5,p(B) 0.3,p(AB) 0.1，则 p(A - B) 0.4 、p(A B) 0.7 、p(A B) 1/3 , P(A B)= 0.3 。 2、一个袋子中有大小相同的红球 4 只黑球 2 只， (1) 从中不放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 8/15 。 (2) 若有放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 4/9 。 (3) 若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二 只球, 则第一、二次取到球颜色不

2、同的概率为：13/21 . 3、设随机变量 X服从参数为 6的泊松分布，则 p X 1 1- e 6 4、设随机变量 X服从 B(2，0. 6)的二项分布,则p X 2 0.36 , Y 服从B(8，0. 6 )的二项分布 , 且X与Y相互独立，则 X Y服从 B(10， 0. 6 ) 分布， E(X Y) 6 。 5、设二维随机向量 (X,Y) 的分布律是有 YX 0 1 0 0.3 0.2 则 a _0.3_ ， X 的 数 学 期 望 1 0.2 a E(X) _0.5， X与Y的相关系数 xy _0.1 6、三个可靠性为 p0 的电子元件独立工作， (1)若把它们串联成一个系统，则系统

3、的可靠性为：p3 ； (2)若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为： 1 (1 p)3 ； 7、(1)若随机变量 X U(1,3)，则 p0 X2 0.5 ；E(X2) _13/3 ， D(2X 1) 3/4 ( 2)若随机变量 X N (1, 4) 且 (1) 0.8413则P 1 X 3 0.6826 ， Y 2X 1,则Y N( 3 ， 16 )。 8、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)=1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则： E(X 2Y) 5， D(X 2Y) 17 。 9、设 X1,., X10及Y1 ,.,Y15分别是总体 N (

4、20,6)的容量为 10，15 的两个独立样本， X,Y 分别为样本均值， S12,S22分别为样本方差。 则：X N(20,3/5)，X Y N(0,1) ， p X Y 1 = 0.3174 ， 3S12 2(9)，S12 F(9,14) 。 2 S22 此题中 (1) 0.8413 。 10、在假设检验中， 显著性水平 a 是用来控制犯第一类错误的概率， 第一类错误 是指： H0 成立的条件下拒绝 H0 的错误 。 、(6分)已知随机变量 X的密度函数 f (x) x a, 0 x 1 0 , 其它 3)X 的分布函数 F(X)。 求：(1)常数a ， (2)p(0.5 X 1 5) 解

5、:(1) (2) 由 f (x)dx 1,得a 1/ 2 1.5 p(0.5 X 1 5) = f(x)dx (x 1)dx 0.675 2 (3) x0 0 x 1 1x 0 2 F(x) 0.5x2 0.5x, 三、(6 分) 设随机变量 X，Y的概率密度分别为： fX (x) 2 3x2, 0 x 1, ， 0 , 其它 ， 2y, 0 y 1, fY(y) 2y, 0 y 1, ，且随机变量 X， Y相互独立( 1)求( X，Y)的联合 0 , 其它 概率密度为： f(x, y) ( 2)计算概率值 p Y 2X 。 解:(1) X ，Y的边缘密度分别为 : 1 2 2 f(x，y)d

6、y 0 6x ydy 3x ， fX (x) 0 0 12 f (x， y)dx6x24 9 , 24 9 02.025(24), 02.975 (24) 五 、（10分）设总体 X服从 N（u, 2）, 2已知,u未知。 X1 , ,Xn是 X的一个样本， 求 u 的矩估计量，并证明它为 u 的无偏估计。 解: 样本 X1,., X n 的似然函数为 : ydx 2y， fY(y)0 0 0 x1 其他 0 y 1 其他 f(x,y) 6x2 y, 0 0 x 1,0 y 1 其它 X ，Y相互独立，可见（ X，Y）的联合概率密度为 f（x，y） fX（x） f（Y y）, P(Y 2X)

7、f (x,Y)dxdy 0dy y6x2ydx 19 y 2x 0 2 20 四、（8分） 从总体 X N（u, 2 ）中抽取容量为 25的一个样本，样本均值和样本 方差分别是： X 80,S2 9， t0.025(24) 2.0639,x02.975(24) 12.4,x02.025(24) 39.36 求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 2 的置信度为 0.95 的置信区间 解: （1）n=25, 置信水平 1 0.95, /2 0.025, t 0 .025 （1） 2 .1315 X 80,S2 9由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为 : 3 (80 2.0639)

8、, 即 (80 1.238) 4 25 (2) n=25, 置信水平 10.95, /2 0.025, x02.975 (24) 12.4,x02.025(24) 39.36 ) (5.49,17.42) S2 9 由此 2 的置信水平为 0.95 的置信区间为 : n/2 1 n 2 L(x1,.,xn,u) (2 ) n/2 exp(xi u)2 2k1 2 而 1 令: 1 1n 解 得 : u? 1xi nk1 2 1n E(u?) E(1Xk ) u nk1 1 n 2 ln L(x1,.,xn,u)n/2ln(2 ) (xi u)2 2k1 d(ln L(x1,.,xn,u) du

9、 n (xi u) 0 k1 1n u 的 最 大 似 然 估 量 u? 1 Xi nk1 它 为 u 的 无 偏 估 计 量 2 六、（5 分）一工厂生产化学制品的日产量 （以吨计）近似服从正态分布 ,当设备正 常时一天产 800 吨, 现测得最近 5 天的产量分别为 :785,805,790,790 ，802，问 是否可以认为日产量显著不为 800吨。（取0.05），此题中 t0.025（4） 2.7764 解: 按题意日产量 X N(u, 算得: x 794 .4, s 8.6169 , t x 800 1.4527 , s/ 5 t 值不在拒绝域内 , 故接受 H 0 , 认为日产量没

10、有显著变化 七、（ 5 分）设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布 现他声称他的温度计读数的标准差为不超过 0.5, 现检验了一组 16只温度计 , 得 标准 0。7度，试检验制造商的言是否正确 （取0.05 ），此题中 02.05 （15） 24.996。 ),u, 2未知, 现取0.05检验假设: H0 :u 800,H1：u 800 1 用 t 检验, 现有n 5，0.05，t 0.025 (4) 2.7764 ,拒绝域为 : x 800 s/ 5 2.7767 , 1 N(u, 2), 2,u未知 , 解: 按题意温度计读数 X N(u, 2),u, 2未知,现取 0.05检验假设 : H 0 : 0.5, H1： 0.51 用 2检验, 现有 n 5