2020年高考数学二轮提升专题训练考点10正余弦定理及其应用(含答案解析)

1、 考点 10 正余弦定理及其应用【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019 苏州期初调查）已知abc 的三边上高的长度分别为 2，3，4，则abc 最大内角的余弦值等于_11【答案】241 1 1【解析】因为高分别为2，3，4，由面积法可知，三边边长之比为 643，不妨设三边长为6，4，2 3 44 3 611242223，所以最大内角的余弦值为 .2342. (2019 通州、海门、启东期末） 在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，若 acosb3bcosa，ba ，则 b_66【答案】ab【解析】因为 acosb3bcosa，所以，由正弦定理得 sinacosb3

2、sinbcosa，故 tana3tanb，又bsina sinb3333tana3tanb633 6a ，故 tanb，解得 tanb ，因为 b 0， ，所以 b .2331 3tanb1 tana3.(2019 苏州三市、苏北四市二调）在abc 中，已知 c120，sinb2sina，且abc 的面积为 2 3，则 ab 的长为_【答案】 2 7【解析】设角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.因为 sinb 2 sina，由正弦定理得 b2a，因为abc 的面1232积为 2 3，所以 s absin120 a22 3，解得 a2，所以 b4，则 abc a2b22abcosc4162

3、24cos1202 7.144.(2019 南京学情调研）已知abc 的面积为 3 15，且 acab2，cosa ，则 bc 的长为_【答案】 8 【解析】在abc 中，cosa ，所以 sina 1cos2a 15，由 s14 bcsina bc 153 15得12124abc4bc24，由余弦定理得 a b c 2bccosa(bc) 2bc2bccosa2 481264，即 a8.222225.(2019 苏锡常镇调研（一）在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a8b，a2b， 4则 sin a _17 250【答案】85【解析】因为 5a8b，所以由正弦定

4、理可得5sina8sinb，即 sina sinb，因为 a2b，所以 sinasin2b85453524252sinbcosb，则 sinb2sinbcosb，因为 sinb0，所以 cosb ，则 sinb 1cos2b ，故 sina ，因725 44 17 2为 a2b，所以 cosacos2b2cos2b1 ，所以 sin a sinacos cosasin .450解后反思 本题综合考查了正弦定理，同角三角函数关系，三角恒等变换等多个知识点的应用6、(2018 苏北四市期末）在abc 中，已知角a，b，c 所对的边分别为 a，b，c.若 bsinasinbacos2b2c，ac则

5、的值为_【答案】2【解析】由正弦定理得，sinbsinasinbsinacos2b2sinc，即 sina(sin2bcos2b)2sinc，即 sina2sinc，a sina再由正弦定理得， c sinc2.ab ，2- b27、(2018镇江期末）在abc 中 ，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若ant a7ant=【答案】4= 3 ，则 =cc【思路分析】本题第一步应将tan = 7tan 的条件化成正余弦的等式；第二步由于本题求是的三角形边长，ab- b所以将三角函数值等式转化为边长的等式；第三步：再结合a22= 3 解方程组即可.csin a 7sin b=sin cos

6、 = 7sin cosa ，解析：解法一：由tan = 7tan 可得：，即abbabcos a cos b所以有sin acos b + sin bcos a = 8sin bcos a，即sin( + ) = sin = 8sin cosa bcbab + c - a222a b-c = 4b + 4c - 4a2 ，又22= 8b由正、余弦定理可得：c，即 222= 32bcc所以c2 = 4c ，即c = 4.解法二：也可在sin acos b = 7sin bcos a， a + c -bb + c - a222222用余弦定理可得a= 7b，解得c = 4b + 4c - 4a ，

7、下同解法一.22222ac2bc8、(2017 徐州、连云港、宿迁三检） 在abc 中，角 a，b，c 所对边的长分别为 a，b，c.已知 a 2c2b，sinb 2sinc，则 cosa_.24【答案】b2c2a2 2c2c22c2解析：由 sinb 2sinc 得 b 2c.又因为 a 2c2b，所以 a 2c，因 此 cosa2bc2 2c224tana3cb9、(2017 南京、盐城二模）设abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，已知tanb，则 cosab_13【答案】、【解析】思路分析 利用三角公式对tana1 化简tanbtanatanb3cbsinacosbcos

8、asinb3cbsin（ab）3c .在abc 中 ，sin(ab)sinc.由正弦定理sinbsinc由1 ，得1 ，即cosasinbbcb13 ，所以 cosa .，10 、 (2018 南 通 、 泰 州 一 调 ） 设 abc 的 内 角 a ， b ， c 的 对 边 分 别 是 a b，c ， 且 满 足3tan atan bacos b -bcos a = c ，则=5【答案】 43sin acos b -sin bcos a = sinc解法 1（正弦定理） 根据正弦定理可得，5即5 sin acos b -5 sin bcos a = 3sinc，又因为sinc = sin

9、(a+ b) = sin acos b + cos asin b2 sin acos b = 8 cos asin b所以又因为 a, b(0,p ) ，所以cos a 0, cos b 0tan atan a = 4 tan b= 4.所以，则tan b341cos b -bcos a = cb bcos + cos =acos b = c bcos a = c，解法 2（射影定理） 因为a及 aa c 可得，555acos bsin acos b tan a注意到cos a 0, cos b 0= 4，再由正弦定理可得= 4.，两式相除可得bcos asin bcos a tan b解后反

10、思：解三角形问题中若等式既有三角函数又有边，则可以考虑利用正弦定理或余弦定理转化为只含有 边或只含有三角函数的等式处理.解法 2 则利用了三角形中的射影定理（教材必修 5p17 练习 5）结合条件整体处理.11、(2017 南通、扬州、泰州、淮安三调）在锐角abc 中，ab = 3 ，ac = 4 若abc 的面积为3 3 ，则bc的长是【答案】 1313= 4,c = 3s= bcsin a =6 sin a3=3sin =，因为是在锐角dabc【解析】因为b，由，解得a22dabc11pcos a = 1-sin a =a = ，再求cos a = ），在锐角dabc中，所以22（或求出锐

11、角中，由余弦定理得：321a = b + c - 2bccos a =16 + 9 - 243 =13，所以a = 13 ，即 bc = 13 .2222【问题探究，开拓思维】题型一 运用正余弦定理解决边角问题知识点拨：正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。例 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调） 在abc 中，已知 c120，sinb2sina，且abc 的面积为 2 3，则 ab 的长为_【答案】 2 7【解析】设角 a，b，c 的对边分别为 a，b，

12、c.因为 sinb 2 sina，由正弦定理得 b2a，因为abc 的面1232积为 2 3，所以 s absin120 a22 3，解得 a2，所以 b4，则 abc a2b22abcosc416224cos1202 7.14【变式 1】(2019 南京学情调研）已知abc 的面积为 3 15，且 acab2，cosa ，则 bc 的长为_【答案】 8【解析】在abc 中，cosa ，所以 sina 1cos2a 15，由 s14 bcsina bc 153 15得12124abc4bc24，由余弦定理得 a b c 2bccosa(bc) 2bc2bccosa2 481264，即 a8.2

13、2222【变式 2】（2019 年江苏卷）在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c2（1）若 a=3c，b= 2 ，cosb= ，求 c 的值；3 sin a cosbpsin(b + )2=（2）若，求的值a2b【解析】(1)由题意结合余弦定理得到关于 c 的方程，解方程可得边长 c 的值；p(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosbsin( + )的值.的值，然后由诱导公式可得b22= 3c,b = 2,cos b =（1）因为a，31a + c -b2 (3c) + c - ( 2)222222由余弦定理cos b =，得 =，即c=2.2ac323cc

14、33所以c =.3sin a cosb=（2）因为，a2bcos b sin bab=cos = 2sin，所以 b .由正弦定理，得，即bsina sinb2bb( )45cos b = 4 1- cos bcos2bcos b = (2sin b)=从而2222，故.2 55因为sin b 0，所以cosb = 2sin b 0，从而cos b =.2 55sin b += cos b =因此.2【变式 3】(2017 苏锡常镇调研（一）在abc 中 ，a，b，c 分别为角 a，b，c 的对边已知acosb3，6bcosa1，且 ab .(1) 求 c 的长；(2) 求 b 的大小规范解答

15、 (1) 解法 1 在abc 中，acosb3，由余弦定理，a2c2b2则 a3，得 a2c2b26c；(2 分)2acb2c2a2bcosa1，则 b1，得 b2c2a22c，(4 分)2bc得 2c28c，所以 c4.(7 分)解法 2 因为在abc 中，abc，则 sinacosbsinbcosasin(ab)sin(c)sinc，(2 分)abcasincbsinc由得 sina，sinb，代入上式得 (4 分)sina sinb sinccccacosbbcosa314.(7 分)acosb sinacosb tana(2) 由正弦定理得 3.(10 分)bcosa sinbcosa

16、 tanb tanatanb1tanatanb 13tan b 32tanb3又 tan(ab) ，(12 分)2336解得 tanb ，又 b(0，)，所以 b .(14 分)【变式 4】（2016 南通一调）在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，(abc)(abc)ab.(1) 求角 c 的大小；(2) 若 c2acosb，b2，求abc 的面积a2b2c2112. 规范解答 (1) 在abc 中，由(abc)(abc)ab，得c即 cos .(3 分)，2ab22因为 0c，所以 c .(6 分)3(2) 解法 1 因为 c2acosb，由正弦定理，得sinc2sin

17、acosb.(8 分)因为 abc，所以 sincsin(ab)，所以 sin(ab)2sinacosb，即 sinacosbcosasinb0，即 sin(ab)0，(10 分)33又 ab，所以 ab0，即 ab，所以 ab2.(12 分)121223所以abc 的面积为 s absinc 22sin 3.(14 分)abca2c2b22ac解法 2 由 c2acosb 及余弦定理，得 c2a化简得 ab，(12 分)，(8 分)121223所以abc 的面积为 s absinc 22sin 3.(14 分)abc解后反思 本题的考点是三角函数和解三角形在运用余弦定理得到 c 的大小后，考

18、虑到将 c2acosb单纯化为边或角时，需要注意三角公式的灵活应用以减少计算量【变式 5】(2019 常州期末）已知abc 中 ，a，b，c 分别为三个内角 a，b，c 的对边，且 b22 3bcsina3c2a2.(1) 求角 a 的大小；(2) 若 tanbtanc3，且 a2，求abc 的周长. 规范解答 (1) 由余弦定理得 a b 2bccosac .2222 332 332 33又 b2bcsinac2a2，所以 b22bccosac2b2bcsinac2，即 2bccosabcsina.(3 分)从而 sina 3cosa，若 cosa0，则 sina0，与 sin2acos2a

19、1 矛盾，所以 cosa0，所以 tana 3.又 a(0， )，所以 a .(7 分)3 tanbtanc1tanbtanc23(2)tan(bc)tan( a)tan 3.(9 分)又 tanbtanc3，所以 tanbtanc 3(2)2 3，解得 tanbtanc 3.(11 分)33又 b，c(0， )，所以 bc ，又因为 a ，所以abc 是正三角形由 a2 得abc 的周长为 6.(14 分)【变式 6】(2019 南通、泰州、扬州一调）在abc 中，a，b，c 分别为角 a，b，c 所对边的长，acosb3 2bcosa，cosa .3(1) 求角 b 的值；(2) 若 a

20、6，求abc 的面积3363. 解：(1)在abc 中，因为 cosa ，0a ，所以 sina 1cos2a .(2 分)ab因为 acosb 2bcosa，由正弦定理，得 sinacosb 2sinbcosa.sina sinb所以 cosbsinb.(4 分)sinb若 cosb0，则 sinb0，与 sin2bcos2b1 矛盾，故 cosb0.于是 tanbcosb1.4又因为 0b0，所以 c2 3.(14 分)解后反思 在abc 中，结论 cacosbbcosa 称为“一般三角形射影定理”其几何意义(也是记忆方法)是：三角形一边的长度等于另两边在这条边上的射影之和题型二、 运用余

21、弦定理研究范围问题知识点拨：余弦定理主要有变求角，经常与不等式结合求角的范围。3 例 2、(2017 南京、盐城一模） 在abc 中，已知 ab 3，c ，则cacb的最大值为_【答案】3233【解析】因为ab 3，c ，设角 a，b，c 所对的边为 a，b，c，所以由余弦定理得3a2b22abcos 12 a2b2abab，当且仅当 ab 3时等号成立，又cacbabcosc ab，所以当 ab 3时 ，(cacb)max3 .2【变式 1】(2017 常州期末） 在abc 中，角a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若a23b23c22 3bcsina，则 c_.【答案】6b2c2【解析】

22、因为 a23b23c22 3bcsinab2c22bccosa，所以 3sinacosa2sina.6bcb2c2 b c23b2c2b c又 2c b 2(当且仅当bc 时取等号)，2sin 2 当且仅当a 时取等号，故a6bcc bbc 2362sina2，所以 bc，a ，故 c .6b2c2解后反思 本题中对所得条件“ 3sinacosa”出现无法转化的现象这里需要借助三角函数有bc界性以及基本不等式得到两个方程求出 b，c，a.【变式 2】(2017 南京、盐城一模） 在abc 中，a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，若 a2b22c28，则abc 面积的最大值为_2 55【答案

23、】1【解析】思路分析 1 注意到 a b 2c 8 中 a，b 是对称的，因此，将三角形的面积表示为 s absinc，2222利用余弦定理将 ab 表示为 c 的形式，进而转化为三角函数来求它的最值思路分析 2 将 c 看作定值，这样，满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点 c 所满足的条件，为此，建立直角坐标系，从而根据条件a b 2c 8 得到点 c 的轨迹方程，进而来求出边 ab 上的高的所满足的条222件8a b22a2b2a2b2c22ab23(a2b2)8 3ab4，所以 ab3 2cos4解法 1 因为 cosc，从而 sc2ab4ab2ab122sinc32cos2sinc

24、32cosc absinc.设 t，则 3t2sinc2tcosc2 t21 sin(c)，其中 tant，故c2 552 552 155523t2 t 1，解得 t，所以 s ，当且仅当 ab且 tanc 时，等号成立2max c c 解法 2 以 ab 所在的直线为 x 轴，它的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则 a ，0 ，b ，0 ， 22 c c5c24c(x，y)，则 由 a b 2c 8 得 x y x y 2c 8，即 x y 4 ，即点 c 在圆 x y 4222222222222225c4cc5412548 16 2 5852 552 上，所以 s r4 c

25、 c2 ，当且仅当 c 时取等号，故 s .2222 2555max12解法 3 设 adm，bdn，cdh，由 a2b22c28，得 m2h2n2h22(mn)28 (mn)25212182h 2(mn) (mn) 2h 2 5(mn)h，当且仅当 h 5m 5n 时取等号，所以 s (mn)h 222222 52 55，所以面积的最大值为2 5.5 解法 4 由余弦定理 a2b2c22abcosc，结合 a2b22c28，得 83c22abcosc，由三角形面积公645式得 4s2absinc，两式平方相加得，(83c2)216s24a2b2(a2b2)2(82c2)2，即 16s2c2(

26、165c2) ，452 55852 55所以 s2 ，所以 s，当且仅当 ab，c2 时取等号，所以面积的最大值为.题型三、正余弦定理与向量的结合知识点拨：三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求例 3、(2019 无锡期末）在 abc 中，设 a，b，c 分别是角 a，b，c 的对边，已知向量 m (a，sincsinb)，n(bc，sinasinb)，且 mn.(1)求角 c 的大小；(2)若 c 3, 求 abc 的周长的取值范围(1)由 mn 及 m(a，sina sinb)，n(bc，sinasinb)得 a(sinasinb)(bc)(sincsinb)0，(2 分) a b cb 由正弦定理，得：ab c( )0，2r 2r2r 2r所以 a2ab(c2b2)0，得 c2a2b2ab，由余弦定理，得 c2a2b22abcoc，所以 a2b2aba2b22abcosc，所以 ab2abcosc，(5 分)1223因为 ab0，所以 cosc ，又因为