立体几何中的向量方法---夹角问题

1、3.2.43.2.4立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 夹角问题夹角问题 夹角问题：夹角问题： l m (1) , l m的夹角为 ， coscos,.a b l m 0 ,90, 1.异面直线所成角异面直线所成角 夹角问题：夹角问题： (2) , l的夹角为 ，sincos,.a u ;a u cos= cos(-cos= cos(-) ) 2 2 .a u cos= cos(+cos= cos(+) ) 2 2 l l 0 ,90, 2、线面角、线面角 ，的夹角为的夹角为 ,cos- | u v uv （） 3、二面角二面角 ，的夹角为的夹角为 ,cos | u v uv 注意法向量

2、的方向：注意法向量的方向： 同进同出，二面角等同进同出，二面角等 于法向量夹角的补角；于法向量夹角的补角； 一进一出，二面角等一进一出，二面角等 于法向量夹角于法向量夹角 2、二面角、二面角 夹角问题：夹角问题： (3) , 的夹角为 ，.u v coscos =cos =cos p p a l 0 ,180, 解：以点c为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以 与 所成角的余弦值为 30 . 10 例1： 例2： 的棱长为 1. 111 .b cab c求与 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值 解解: 建立直角坐标系建立直角坐标系. 11 (010) 则，- ， ，bc ,

3、b 1 1 平面ab c的一个法向量为 d=(1，1， 1) 111 0 1 03 cos 313 ，bd bc 111 3 所以与面所成的角的正弦值为。 3 bcabc a1 x d1 b1 a d b c c1 y z e f 例例3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥p-abcd中，底面中，底面abcd是是 正方形，侧棱正方形，侧棱pd底面底面abcd，pd=dc, e是是pc的的 中点，作中点，作efpb交交pb于点于点f. (1)求证：求证：pa/平面平面edb; (2) (3)求二面角求二面角c-pb-d的大小。的大小。 a b c d p p e e f f :;求求证证平平面面pbe

4、fd ,2,pbefpbdf 已知由（ ）可知故 ) 1,(),(zyxpfzyxf则的坐标为设点 pbkpf 因为 ( , ,1)(1,1, 1) ( , ,) x y zk k kk 所所以以 kzkykx1,即 0dfpb因为 0131 )1 ,() 1, 1 , 1 ( kkkk kkk所以 , 3 1 k所以 a b c d p e f x y z 1 1 2 () 3 3 3 f， (3) 解1: 建立空间直角坐标系，设dc=1. efdcpbd是二面角的平面角. ) 3 2 3 1 3 1 (，的坐标为点f) 2 1 , 2 1 , 0(的坐标为又点e ) 6 1 , 6 1 ,

5、 3 1 (fe所以 2 1 3 1 6 1 3 6 6 6 ) 3 2 , 3 1 , 3 1 () 6 1 , 6 1 , 3 1 ( cos fdfe fdfe efd因为 60 ,60.efdcpbd 所以即二面角 的大小为 112 (,) 333 fd 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥p-abcd中，底面中，底面abcd是是 正方形，侧棱正方形，侧棱pd底面底面abcd，pd=dc, e是是pc的的 中点，作中点，作efpb交交pb于点于点f. (3)求求二面角二面角c-pb-d 的大小。的大小。 a b c d p e f x y z 平面平面pbc的一个法向量为的一个法向量为： 解2:如图所示建立 空间直角坐标系，设dc=1. 1 1 (0, ) 2 2 de 平面平面pbd的一个法向量为的一个法向量为： g 11 ( ,0) 22 cg cos1/ 2, 60 练习练习 的棱长为 1. 1 .bd求二面角a-c的大小 解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系. a1 x d1 b1 a d b c c1