线性代数课件第1章行列式52页PPT

1、课件1 线 性 代 数 牛莉 等编著 课件2 第1章 行列式行列式 1.1 全排列及其逆序数 课件3 1.1.1 排列与逆序 自然数 组成的有序数组称为一个 元排列，记为 元排列共有 个排列 称为自然排列或标准排列， 规定其为标准次序 定义定义1 在一个 元排列 中，若一个 大的数排在一个小的数的前面（即与标准次 序不同时），则称这两个数有一个逆序一 个 元排列中所有逆序的总数，称为此排列 的逆序数，记为 若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排 列为奇排列（偶排列） 1 2 ， ，n 12n p pp 12n n nn！ 12 () n p pp n 12n p pp n 课件4 计算排列逆序

2、数的方法： 设 为 个自然数 的一个排 列，考虑元素 ，如果比 大且排 在 前面的数有 个，就说这个元素的逆序 数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列 的逆序数，即 12n p pp n1,2,n (1,2, ) i pin i p i t 12 () n p pp 12 1 n ni i tttt i p 课件5 例例1 求下列排列的逆序数： （1） ； （2） 解解 此排列为偶排列 （2）同理可得 此排列的奇偶性由 确定 436251 (1)21n n 436251（）=0+1+0+3+1+5=10 (1) (1)210 12(2)(1) 2 n n n nnn n 课件6 1.1.2 对

3、换 定义定义2 将一个排列中的某两个数的位置互换 （其余的数不动），就得到了一个新排列， 称这样的变换为一次对换，将相邻两个数对 换，称为相邻对换 定理定理1 对排列进行一次对换，则改变其奇偶 性 由定理1可得下面的推论 推论推论1奇排列调成自然（标准）排列的对换 次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列 的对换次数为偶数 课件7 推论推论2 全体 元排列（ ）的集合中，奇、 偶排列各占一半 n1n 课件8 1.2 行列式的概念 课件9 1.2.1 二、三阶行列式 一、二阶行列式一、二阶行列式 求解二元一次方程组求解二元一次方程组 (1.2.1) 引入符号引入符号 称称 为二阶行列式（为二阶行列

4、式（1.2.1）的系数行列式），它代）的系数行列式），它代 表一个数，简记为表一个数，简记为 ，其中数，其中数 称为行列式称为行列式 的第的第 （行标）行、第（行标）行、第 （列标）列的元（列标）列的元 素素 11 11221 21 12222 a xa xb a xa xb ， ， 1112 11221221 2122 aa da aa a aa d det() ij da ij a(1,2;1,2)ij i j d 课件10 当 时，求得方程组(1.2.1)的解 为 ， 根据二阶行列式的定义，方程组根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中的解中 的分子也可用二阶行列式表示若记的分子

5、也可用二阶行列式表示若记 其中其中 表示将表示将 中第中第 列换成列换成(1.2.1)式式 右边的常数项所得到的行列式右边的常数项所得到的行列式 11221221 0a aa a 122122 1 11221221 baa b x a aa a 11 2121 2 11221221 a bba x a aa a 112 112212 2 222 , ba dbaa b ba 111 211 2121 212 ab da bba ab ， (1,2) j dj dj 其中 课件11 于是，当系数行列式 时，二元一次方程 组(1.2.1)有惟一解 0d 112 222 1221221 1 1112

6、 11221221 2122 , ba babaa bd x aaa aa ad aa 111 212 11 21212 2 1112 11221221 2122 ab aba bbad x aaa aa ad aa ， 课件12 二、三阶行列式二、三阶行列式 求解三元一次方程组 (1.2.2) 引入符号引入符号 称为三阶行列式（称为三阶行列式（1.2.2)的系数行列式）的系数行列式） 11 11221331 21 12222332 31 13223332 a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb ， ， ， 111213 212223 313233 aaa daaa

7、aaa 课件13 三阶行列式的对角线法则： 当系数行列式 时，三元一次方程组 (1.2.2)有惟一解 ， 其中 112233122331132132112332122133132231 a a aa a aa a aa a aa a aa a a 0d 1 1 d x d 32 23 , dd xx dd 11213 122223 33233 , baa dbaa baa 11113 221223 31333 , aba daba aba 11121 321222 31323 aab daab aab 课件14 三阶行列式具有以下特点： （1）三阶行列式值的每一项都是位于不同行， 不同列的三个

8、元素的乘积，除去符号，每项的 三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成 ，其中第一个下标（行标）都按自 然顺序排列成 ，而第二个下标（列标）排 列成 ，它是自然数 的某个排列； （2）各项所带的符号只与列标的排列有关： 带正号的三项列标排列： ；带负号的 三项列标排列是： 由上节知，前三个 排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此 各项所带符号可以表示为 ，其中 为列标排 列的逆序数； 123,231,312 132,213,321 ( 1)tt 123 123ppp aaa 123 123 p p p 1,2,3 课件15 （3）因 共有 个不同的排列，所以对 应行列式右端是6项的代数和 因此

9、，三阶行列式可以写成 其中 为排列 的逆序数，即 ， 上式表示对 三个数的所有排列 求和 1,2,33!6 123 111213 212223123 313233 ( 1)t ppp aaa aaaaaa aaa t 123 p p p 123 ()tp p p 1,2,3123 p p p 课件16 1.2.2 阶行列式的定义 定义定义3称由 个数 排成 行 列组成的记号 为 阶行列式，简记为 2 n( ,1,2, ) ij a i jnn 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa d aaa n n det() ij da 课件17 阶行列式可表示为 其中表示对 的所

10、有排列取和，数 称 为行列式 的元素 定理定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列 的逆序数 n 12 11121 21222 12 12 det()( 1) n n nt ijppnp nnnn aaa aaa daaaa aaa 1,2,n ij a det() ij a n 12 11121 21222 12 12 ( 1) n n nt ppp n nnnn aaa aaa daaa aaa t12n p pp 课件18 定义定义4对角线以下（上）的元素均为零的行 列式称为上（下）三角行列式 阶上三角行列式n 11121 222 1122 0 00 n n nn nn aaa aa

11、 a aa a 11111 (1) 2121 2 1211 1 0 ( 1) 00 nn n n n nnn n aaa aa a aa a 课件19 同理， 阶下三角行列式n 11 2122 1122 12 00 0 nn nnnn a aa a aa aaa 1 (1) 212 2 1211 11 00 0 ( 1) n n n nn nnn nnnnn a aa a aa aaa 课件20 1.3 行列式的性质 课件21 转置行列式: 设 将 的行与列互换（顺序不变），得到的新行 列式，记为 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa d aaa d 11211 12

12、222t 12 () n n nnnn aaa aaa dd aaa 或 课件22 称 为 的转置行列式显然 也是 的转 置行列式，即 性质性质1 行列式与其转置行列式相等，即 性质性质2 行列式的两行（列）互换，行列式变号 推论推论 行列式有两行（列）相同，则此行列式为 零 性质性质3 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以 同一数 ，等于用数 乘此行列式 t dd t t dd（） d t d t dd k k 课件23 推论推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面公因子可以提到行列式符号的外面 推论推论2行列式的某一行（列）中

13、所有元素为行列式的某一行（列）中所有元素为 零，则此行列式为零零，则此行列式为零 性质性质4 行列式中有两行（列）的元素对应成行列式中有两行（列）的元素对应成 比例，则此行列式为零比例，则此行列式为零 性质性质5 若行列式中某一行（列）的元素都是若行列式中某一行（列）的元素都是 两数之和，则此行列式等于两个行列式之两数之和，则此行列式等于两个行列式之 和和 课件24 即 11121 1122 12 n iiiiinin nnnn aaa daaaaaa aaa 1112111121 1212 1212 nn iiiniiin nnnnnnnn aaaaaa aaaaaa aaaaaa 课件25

14、 性质性质6 将行列式某一行（列）的各元素乘以同 一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列 式的值不变即第 行乘 加到第 行上，有ik j 1112111121 1212 112212 1212 nn iiiniiin jijijninjjjn nnnnnnnn aaaaaa aaaaaa akaakaakaaaa aaaaaa 课件26 为叙述方便，引进以下记号： （1）交换行列式的 两行（列），记 为 ； （2）第 行（列）乘以 ，记作 ， 第 行（列）提出公因子 ，记作 ； （3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行 （列）上，记为 , i j () ijij rr cc i k ()

15、ii rk ck () ii rk ck j () jiji rkr ckc i k ik 课件27 例例1 计算 解解 1201 1350 0156 1234 d 322141 120112011201 015101510151 015601560007 123400330033 rrrrrr d 34 1201 0151 21 0033 0007 rr 课件28 例例2 计算 解解 abbb babb d bbab bbba 12341 (3 ) 31 31 (3 ) 31 31 cccccab abbbbbbb ababbabb dab abbabbab abbbabba 1 3 2,3

16、,4 1 000 (3 )(3 )() 000 000 i rr i bbb ab abab ab ab ab 课件29 例例3计算 解解从第1列开始，前列减后列，然后再在前 3列中，前列减后列 2222 2222 2222 2222 (4)(3)(2)(1) (4)(3)(2)(1) (4)(3)(2)(1) (4)(3)(2)(1) aaaa bbbb d cccc dddd 12 23 34 2 2 2 2 272523(1) 272523(1) 272523(1) 272523(1) cc cc cc aaaa bbbb d cccc dddd 课件30 12 23 2 2 2 2 2

17、223(1) 2223(1) 0 2223(1) 2223(1) cc cc aa bb cc dd 课件31 例例4计算 阶行列式n 112131 12232 1233 123 n n nn n xaaa xxaa dxxxa xxxx 解解从第1行开始前行乘加到后行上，得 课件32 21 32 43 1 112131 212231321 32332 1 0 00 000 nn n rr rr nn rr nnn rr nnn xaaa xaaaaa dxaaa xa 12123231 ()()() nnn x xaxaxa 11, 2 () n iii i xxa 其中记号“”表示全体同类

18、因子的乘积 课件33 1.4 行列式按行（列）展开 课件34 1.4.1 行列式按某一行（列）展开 定义定义5 在 阶行列式中，将元素 所在的第 行 和第 列划去，剩下的元素按原排列构成的 阶行列式，称为 的余子式，记为 ；称 为元素 的代数余子式 引理引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素 均为零，则此行列式等于 与它的代数余子式的 乘积，即 nij ai j 1n ij a ij m 1 ij ijij am ij a inij a ij a 1111 1 00 jn ijijij nnjnn aaa ada a aaa 课件35 定理定理3 行列式等于它的任意一行（列）的各 或 1

19、122 (1,2, ) iiiiinin da aa aa ain 1122 (1,2, ) jjjjnjnj da aa aa ajn 课件36 例例1 计算 解解 21 12 21 12 n d 12 1001 12 21 12 n n rrr d 课件37 从而解得 1 11 21121 121 111 2112 121 n nn 按第一行展开 1 1 n d 1 n dn 课件38 例例2计算 解解按第1行展开，有 2n ab ab d cd cd 1 2 2 00 ( 1) 00 0000 n n abab abab dabcdcd cdcd dc 课件39 以此作递推公式，得 21

20、 1 2(1)2(1)2(1) ( 1)() n nnn addbcdadbc d 2 22(1)2(2) ()() nnn dadbc dadbcd 11 2 ()()() nnn ab adbcdadbcadbc cd 课件40 例例3证明范德蒙德（vander-monde）行列 式 证证对行列式阶数用数学归纳法当 时， 12 222 12 1 111 12 111 () n nnij j in nnn n xxx dxxxxx xxx (2)n 2n 221 112 11 () ij j i dxxxx xx 2 ， 课件41 结论成立假设对 阶范德蒙德行列式结论 成立，往证 阶范德蒙德

21、行列式也成立 从第 行开始，后行减前行的 倍，得 按第1列展开，并提出每一列的公因子 ， 1n n n 1 x 21311 2213311 222 2213311 1111 0 0()()() 0()()() n nnn nnn nn xxxxxx dx xxx xxxxx xxxxxxxxx 1 () i xx 课件42 有 上式右端的行列式是一个 阶范德蒙德行列 式，由归纳法假设，它等于所有 因子的乘 积，其中 ，即 23 222 2131123 222 23 111 ()()() n nnn nnn n xxx dxxxxxxxxx xxx 1n () ij xx 2jin 21311

22、()()()()() nnijij j inj in dxxxxxxxxxx 21 课件43 推论推论 行列式一行（列）的各元素与另一行 （列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零， 即 或 1122 0 () ijijinjn a aa aa aij 1122 0 () ijijninj a aa aa aij 课件44 结合定理3及推论，得到代数余子式的重要性 质： 或 其中 1 , () 0, () n ikjkij k dij a ad ij 1 , () 0, () n kikjij k dij a ad ij 1, () 0, () ij ij ij 课件45 1.5 克拉默（cramer）法则 课件46 设含有 个未知数， 个方程的线性方程组 为 (1.5.1) 阶行列式 称为方程组(1.5.1)的系数行列式 n 11 112211 21 122222 1 122 , , . nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa d aaa n n 课件47 定理定理5（克拉默法则）（克拉默法则）若线性方程组(1.5.1) 的系数行列式 ，则方程组有惟一解 (1.5.2