数值分析典型例题

1、第一章典型例题 例3 In2=0.69314718，精确到10_3的近似值是多少? 解 精确到10_3= 0.001，即绝对误差限是 匸0.0005,故至少要保 留小数点后三位才可以。In 20.693 第二章典型例题 例1用顺序消去法解线性方程组 11XT：；X . ? 4x ；=-: 3X + 2Xr + x3= 4 x + 2x ? + 4x $ = -1 解顺序消元 -11 4 2 4r （/2） E出（/2） 1+ -1 214 A =3 2 1 12 4 214-1 - 214-1 1 0 0.5-55.5 E 七（，-3）. 0 0.5-55.5 0 1.52-0.5 1 001

2、717 于是有同解方程组 |2x1 x2 4x3 - -1 0.5x2 -5x3 =5.5 17x3 =17 回代得解 x3= 1, X2=1,X = 1,原线性方程组的解为X = (1,1, 1)T 例2取初始向量X()=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组 jxf：；，:x、_= 一 解建立迭代格式 X（宀=-2x2k） +2x3k） +1 %宀-x3k） +3 （k=1,2,3，） 越宀=-2x1k）_2x2k）+5 第1次迭代,k=0 X(0) = 0,得到 X(1)= (1,3,5)t 第2次迭代，k=1 ；12) =2c3+2x5 +1 =5 *x；2) =1 5 + 3

3、 = d x32) = 2d 2汉3+5 = / X =(5, 3, 3)t 第3次迭代，k=2 ，13) =2汇(；)+2汉(；)十1 =1 x23)=-(d) +3=1 x32) = 2 疋5 2汉(一3) +5=1 X =(1,1,1)t 第4次迭代，k=3 ，12)=-2 疋 1 +2疋1 +1=1 =x2)=-1-1+3=1 x32)=-2X1 2X1 十5=1 X =(1,1,1)t 例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯-赛 德尔迭代法发散。 证明例2中线性方程组的系数矩阵为 12-2 A=111 221一 于是 D = 0 1 0 0 0 1一 1 0 0 雅可比迭

4、代矩阵为 0 0 0 D = D L = 1 0 0 2 2 0一 _0 U = 0 【 2 -2 - 1 0 0 0 2 _2 0 2 _2 Bo= D(L +U)= 0 1 0 1 0 1 =_ 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 一 2 2 0 一 0 -2 -1 1 0 -1 0 0 0 1 -2 0 J_0 0 0 0 2 -2 0 -21 3 一2 -I - G 解得特征根为 丸2 0 -2 00 -2 3 .-2 = ( -2)2 = 0 1=0,兀2,3=2。由迭代基本疋理 知，高斯-赛德尔迭 代发散。 例5填空选择题： 1.用高斯列主元消去法解线性方程组 xt：z：；匕x

5、、 x ； = 二X * 沁八 - X -x、= ? 作第 1 次消元后的第 2 ,3 个方程分别 为。 答案：严2-0.5；3厂；5 -2x2 +1.5x3 =3.5 解答 选a2i=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2xi+2x2+3x3=3, 消元得到 x2 0.5x3 = -1.5 2x2 +1.5x3 = 3.5 是应填写的内容 3.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组 X | X、_ ：x ; = 1 XX广、 乂|：；匕X、. X ;=、 的迭代格式中x2“ =（k=0,1,2,） 答案：3x1k1） x3k） 解答：高斯-赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求X2 的值时应该

6、用上Xi的新值。 第三章典型例题 例1已知函数y=f（x）的观察数据为 Xk 2 0 4 5 yk 5 1 3 1 试构造拉格朗日插值多项式Pn （x），并计算f（ 1）的近似值 只给4对数据，求得的多项式不超过3次 解先构造基函数 l（X） _ x（x - ：）（x - 订 = x（x - ：）（x - 订 I .（X）二（x：）（x- ：）（x- J = （x J（x- ：）（X- J -）（:!（ 一二）（4 - （ 一）-i. (x + 2)x(x 5)= x(x +2)(x 5) 亠一(4+ 2)( 4 0)(4 5) 一24 (x 2)x(x _4) (x 2)x(x _4) ”3

7、 =(52)(5 -0)(5 -4) 35 所求三次多项式为 n Ps(x)=- ykik(x) k=0 一 _、X(X J)(x -+ S4 (x Jx(x - ) (x J(x 一 ：)(x 一 3 40 (弋 x(x：)(X -、)+ 24 35 _ 、： 一 XXX 421421 S 15534 f(-小(1)=-7 例3设X”X,X【.,Xn是n+1个互异的插值节点，lk(x)(k =,.,n)是 拉格朗日插值基函数，证明: (1) lk(x)二-(2) lkgxj = xm(m f n) kk=0 n 证明(1) Pn(x)二yolo(x)+yili(x)+ynln(x)= yk(

8、x) k=0 Rn(x(n J! n m- 1 时，f(n+1) (x)=0, Rn(x)=0，所以 n xmlk(x)三 xm y. 注意：对于次数不超过n的多项式Qn(x)二anxn - an=xn= . a x a, 利用上结果，有 Qn(x) =anXn an_xn=. ax a,- nnnn 二anTkgx； an_lk(x)xL a、Tk(x)Xklk(x) j k0 , f(1)= sin 10(x 0 , 1),故 f(x) = 0 在区间0 , 1内有唯 实根 给定误差限=0.5X 10 4，有 In(b -a) -In ； n ln 二 ln 二 -1 = 13.2S7 只

9、要取n= 14。 例2用迭代法求方程x5 4x 2= 0的最小正根。计算过程保留4 位小数。 分析容易判断1, 2是方程的有根区间。若建立迭代格式 X = X 一亠，即申(x) = X -亠严x ： =:注 #1.5185 取 X 1.5185 例3试建立计算 冷的牛顿迭代格式，并求二.亠的近似值，要 求迭代误差不超过10 5 分析首先建立迭代格式。确定取几位小数，求到两个近似解之差 的绝对值不超过105。 解 令x八a, f (x)二x - a =匚，求X的值。牛顿迭代格式为 XkXk鵲=Xk篙兀土g 迭代误差不超过10_5,计算结果应保留小数点后6位。 当 x=7 或 8 时，x3=343

10、 或 512, f ( )f ”()：匚,而f ( )f ( ) i ,取 xo=8, 有 xX旦二匚一二丁 7.478 078 .x ；.：- 2a7宀 卄411.7917 c c匚厂 x、二 一 x.7.439 956 X X - X、= . 1 二: 2 a 2 r 411.791- x x.7.439760 .：-x .：,：:m X/X= 0.000196 2 a 2 “411.791 x x.7.439760 43 J 333X 7.4397602 于是，取 x 7.439760 例4用弦截法求方程X3 X2- 1 = 0,在x=1.5附近的根。计算中 保留5位小数点。 分析先确定有根区间。再代公式。 解 f(x)= x3 x2 1, f(1)= 1, f(2)=3，有根区间取1,2 取X1=1,迭代公式为 Xn 二 Xn 点念产x*1,2,) Xixi-X。十 X。耳 1 *5 一 1 *5 一 1 X7 d 十7662 (1.H - 1.48881 1.376621.376622- 1 m 一厂-二“ X ；Z. L13-1.4SSS12-1 、(】.d_ 1.46348 x-：、“46553 取 X 1.46553, f(1.46553) - 0.000145 例4选择