广东省广州市白云区汇侨中学中考数学专题复习《规律性问题的探索》课件

1、 泰姬陵坐落于印度古都泰姬陵坐落于印度古都 阿格，是十七世纪莫卧儿帝阿格，是十七世纪莫卧儿帝 国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建，她宏伟壮观，纯白大所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫理石砌建而成的主体建筑叫 人心醉神迷，成为世界七大人心醉神迷，成为世界七大 奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，奇迹之一。陵寝以宝石镶饰， 图案之细致令人叫绝。图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角传说陵寝中有一个三角 形图案，以相同大小的圆宝形图案，以相同大小的圆宝 石镶饰而成，共有石镶饰而成，共有100层层 （见下图），奢靡程度，可（见下图），奢靡程度，可 见一斑。见一斑。 1 2

2、 3 4 5 陵寝中有一个三角形图陵寝中有一个三角形图 案，以相同大小的圆宝石案，以相同大小的圆宝石 镶饰而成，共有镶饰而成，共有100层（见层（见 左图）。左图）。 你知道这个图案一共你知道这个图案一共 花了多少宝石吗？花了多少宝石吗？ 100 99 100 99 98 1 1 2 3 100 算一算宝石有多少颗算一算宝石有多少颗? ? 5050个个 如图如图,一串黑白相间，其排列有一定规律的珠子，一串黑白相间，其排列有一定规律的珠子， 被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的 部分有部分有_ 颗颗.27 24黑黑3白白 你能发现其中的规律吗？你能发现

3、其中的规律吗？ 规律探索试题是中考中的一棵常青树，一直 受到命题者的青睐，主要原因是这类试题没有固 定的形式和方法，要求学生通过观察、分析、比 较、概括、推理、判断等探索活动来解决问题 根据表格，数式或数列等的变化，根据表格，数式或数列等的变化， 从中总结数据的变化所反映的规律从中总结数据的变化所反映的规律。 一、数的规律一、数的规律 根据表格中数的变化，根据表格中数的变化， 从中总结数据的变化所反从中总结数据的变化所反 映的规律。映的规律。 探究探究1：表格规律：表格规律 2 1 5 2 10 3 17 4 26 5 例例1.（2009重庆）重庆）小王利用计算机设计小王利用计算机设计 了一个

4、计算程序，输入和输出的数据如了一个计算程序，输入和输出的数据如 下表：下表： 输输 入入 12345 输输 出出 那么，当输入数据是那么，当输入数据是8 8时，输出时，输出 的数据是（的数据是（ ） 8 6 5 第第1列列 第第2列列 第第3列列 第第4列列 第第5列列 第第1行行 2468 第第2行行 16141210 第第3行行18202224 例例2：将正偶数按下表排成将正偶数按下表排成5列列 根据上面排列规律，则根据上面排列规律，则2000应在应在 第第 行，第行，第 列列 2501 拓展拓展1：（：（0909嵊州嵊州）将自然数表按以下规律排将自然数表按以下规律排 列，则位于第六行第四

5、十五列的数是列，则位于第六行第四十五列的数是_。 第一列第一列 第二列第二列 第三列第三列 第四列第四列 第一行第一行 1 1 2 9 10 2 9 10 第二行第二行 4 34 3 8 8 11 11 第三行第三行 5 5 6 6 7 7 12 12 第四行第四行 16 1516 15 14 14 13 13 第五行第五行 17 17 2010 探索表格规律的一般解法探索表格规律的一般解法 横看、竖看横看、竖看 、斜看寻找、斜看寻找 规律规律 猜想，确定猜想，确定 字母字母n写出写出 一般式一般式 代入验证，代入验证， 写出答案写出答案 探究探究2：数式规律：数式规律 通常给定一些数字、代通

6、常给定一些数字、代 数式、等式或者不等式，然后数式、等式或者不等式，然后 探索探索其中蕴含的规律。其中蕴含的规律。 例例3 (泰州市泰州市2010年年)观察等式观察等式: 按照这种规律写出第按照这种规律写出第n个等式：个等式： 4219 25146 49168 )22(2112 2 nnn 数式规律数式规律 数式规律数式规律 例4：(2008(2008北京北京) )一组按规律排列的式子： （ab0）， 其中第7个式子是 ， 第n个式子是 （n为正整数） 25811 234 , , , bbbb aaaa 归纳与猜想归纳与猜想 探索数式规律探索数式规律一般解法是：一般解法是： 横比横比或或纵比纵

7、比 找出各部分找出各部分 的特征的特征 比较同一等式比较同一等式 中不同部分的中不同部分的 数量关系数量关系 比较不同比较不同 等式间相等式间相 同位置的同位置的 数量关系数量关系 确定字母确定字母n， 猜想一般式猜想一般式 代入代入验证验证， 写出答案写出答案 探究探究3：数列规律数列规律 通过给出按一定次序排列的通过给出按一定次序排列的 一列数，其中缺少一项一列数，其中缺少一项, ,要求填要求填 补空缺项补空缺项, ,使之符合原数列的排使之符合原数列的排 列规律列规律 数列规律数列规律 例5：(2008 (2008 湖北十堰湖北十堰) )观察下面两行数： 2， 4， 8， 16， 32，

8、64， 5， 7， 11， 19， 35， 67， 根据你发现的规律，取每行数的第10个数， 求得它们的和是（ ） 10 21024 分析：分析：第一行的第10个数是 , 第二行的每个数总比第一行同一位置上的数大每个数总比第一行同一位置上的数大 3 3，所以第二行的第，所以第二行的第1010个数是个数是1024+3=1027.1024+3=1027. 2051 归纳与猜想归纳与猜想 变变：观察一列数：观察一列数：3，8，13，18， 23，28，依次规律，依次规律，在此在此 一列数一列数中比中比2000大的数最小整数大的数最小整数 是是 。2003 探索数列规律探索数列规律一般解法是：一般解法

9、是： 观察排列规律观察排列规律, 找符合自然数找符合自然数 （正整数）特征（正整数）特征 的数学形式的数学形式 确定字母确定字母n， 猜想一般式猜想一般式 代入代入验证验证， 写出答案写出答案 根据一组相关图形的变化规律，从中根据一组相关图形的变化规律，从中 总结通过图形的变化所反映的规律。总结通过图形的变化所反映的规律。 其中以图形为载体的数字规律最常见其中以图形为载体的数字规律最常见 二、形的规律二、形的规律 例例6(09福州福州)一串有趣的图案按一定规律排一串有趣的图案按一定规律排 列请仔细观察，按此规律画出的第列请仔细观察，按此规律画出的第10个图案个图案 是是 ； 在前在前16个图案

10、中有个图案中有 个个 第第2010个图案是个图案是 . 5 例例7（06温州温州）在边长为在边长为l的正方形网格中，按下列的正方形网格中，按下列 方式得到方式得到“L”形图形第形图形第1个个“L”形图形的周长是形图形的周长是 8，第，第2个个“L”形图形的周长是形图形的周长是12， 则第则第n个个 “L”形图形的周长是形图形的周长是 . 4（n+1） 归纳与猜想归纳与猜想 例例8 8（0909海南海南）用同样大小的黑色棋子按图所示的方）用同样大小的黑色棋子按图所示的方 式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n n个图形需个图形需 棋子棋子 枚（用含枚（用含n

11、n的代数式表示）的代数式表示）. . 第1个图第2个图第3个图 方法一方法一: :除第一个图形有除第一个图形有4 4枚棋子外枚棋子外, ,每多一个图形每多一个图形, , 多多3 3枚棋子枚棋子. . 4 43 3（n n1 1）=3=3 n+1+1 归纳与猜想归纳与猜想 例例8 8 （0909海南海南）用同样大小的黑色棋子按图所示的）用同样大小的黑色棋子按图所示的 方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n n个图形个图形 需棋子需棋子 枚（用含枚（用含n n的代数式表示）的代数式表示）. . 第1个图第2个图第3个图 方法三方法三: 2n+(n+1)=3n

12、+1: 2n+(n+1)=3n+1 方法总结： 认真观察 研究图案（形） 提取 数式信息 仿照数式规 律得到结论 归纳与猜想归纳与猜想 拓展拓展2：根据下列根据下列5 5个图形及相应个图形及相应 点的个数的变化规律：猜想第点的个数的变化规律：猜想第6 6 个图形有个图形有 个点，个点， 第第n n个个 图形中有图形中有 个点个点. . 31 n2-(n-1) 例例9. (2006年山东省青岛市年山东省青岛市)如图，下列几何体是由棱长为如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体的小立方体 按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（

13、底面不涂 色），则第色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 个个 【分析及简解分析及简解】本题涂色的问题实际上是在这个空间图形中找露出两个表面本题涂色的问题实际上是在这个空间图形中找露出两个表面 的小立方体的个数，这样可在几何体中从上而下分层的找出规律：第一层四的小立方体的个数，这样可在几何体中从上而下分层的找出规律：第一层四 边中，每边上除两端的小立方体外都是露出两个面的，以下几层都是每层四边中，每边上除两端的小立方体外都是露出两个面的，以下几层都是每层四 端的小立方体有两个面露出。所以第端的小立方体有两个面露出。所以第n个几何体露出两个面的

14、可以分第一层个几何体露出两个面的可以分第一层 有有4（n-1）个，以下几层共有）个，以下几层共有4n个，故答案为个，故答案为8n-4。 8n-4 思维体操思维体操 例例10. .如图，已知如图，已知 。则点。则点 的坐标为的坐标为_ 【分析及简解分析及简解】本题要解决本题要解决A2011的坐标，首先要知道它在第几象限。从图的坐标，首先要知道它在第几象限。从图 中中A点变化趋势中能够找出这样的规律：以点变化趋势中能够找出这样的规律：以A2，A3，A4，A5为起始点分别为起始点分别 向坐标的的四个象限延伸，同一象限内相邻的两点之间相隔向坐标的的四个象限延伸，同一象限内相邻的两点之间相隔4个点，且相

15、邻个点，且相邻 的两点之间的纵横坐标逐一递减或递增。而的两点之间的纵横坐标逐一递减或递增。而2011=4 502+3所以是以所以是以 为为 起始点且在第二象限的第起始点且在第二象限的第503个点，又个点，又 的坐标为（的坐标为（-1，1），故），故 的的 坐标为坐标为 （-503，503）。）。 3 A 3 A 2010 A （-503，503） 2011 A 、，、110 , 1 21 AA1)-(2A 1)-(-1A1)(-1A 543 ，、，、， 挑战极限挑战极限 探索图形规律的一般解法探索图形规律的一般解法 把图形中把图形中 有关数量有关数量 关系列式关系列式 或列表或列表 横比横比或

16、或纵比纵比 找出各部分找出各部分 的特征的特征 确定字母确定字母n， 猜想一般式猜想一般式 带入带入验证验证， 写出答案写出答案 特殊入手特殊入手 一般结论一般结论 归纳猜想归纳猜想 探索探索 观察观察 比较比较 总结总结 验证验证 回答回答 推理推理 分析分析 猜想猜想 探索规律的一般思路：探索规律的一般思路： 简记为：简记为：一看一看，二猜二猜，三验三验 数中的规律数中的规律 形中的规律形中的规律 数式规律数式规律 数列规律数列规律 生活图形中的规律生活图形中的规律 游戏图形中的规律游戏图形中的规律 几何图形中的规律几何图形中的规律 坐标系中的规律坐标系中的规律 数表规律数表规律 作 业

17、浙江中考P227 聆听六月的召唤聆听六月的召唤 插上腾飞的翅膀 插上腾飞的翅膀 努力拼搏 努力拼搏 成就梦想 成就梦想 点 正六 边形 三角形 梯 形 圆 数 面积 1.1.（2010衡阳市）下图是一组有规律的图 案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个 图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个 基础图形组成，第5个图案中由 个 基础图形组成第n个呢？ 1616 3n1 (1)(2) (3) 2 2、(08(08南安市南安市) )观察分析下列数据，寻找规律：观察分析下列数据，寻找规律： 0 0， ， ，3 3，2 2 ， ,3 ,3 ，那么第那么第1010个数个数 据应是据应是 . . 3

18、6 3152 33 3、（、（09乐山市）乐山市）观察下列数表：根据数列所反映的规观察下列数表：根据数列所反映的规 律，第律，第n行第行第n列交叉点上的数应为列交叉点上的数应为 . 第 四 列 第 三 列 第 二 列 第 一 列 第四行 4 5 6 7 第三行 3 4 5 6 第二行 2 3 4 5 第一行 1 2 3 4 2n-1 4、 (08年无锡市年无锡市)探索规律：根据下图中箭头指探索规律：根据下图中箭头指 向的规律，从向的规律，从2008到到2009再到再到2010，箭头的方，箭头的方 向是（）向是（）D 5、（、（10成都市）成都市）如图，如果以正方形如图，如果以正方形ABCD的对

19、角线的对角线 AC为边作第二个正方形为边作第二个正方形ACEF，再以对角线，再以对角线AE为边作为边作 第三个正方形第三个正方形AEGH，如此下去，如此下去，已知正方形，已知正方形 ABCD的面积为的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依，按上述方法所作的正方形的面积依 次为，次为，（，（n为正整数），那么第为正整数），那么第8个正方形的面积个正方形的面积 _。 A B CD E F G H I J 128 0 1357911 13 S1 S2 S3 S4 图6 6、如图、如图6，AOB=450，过，过OA到点到点O 的距离分别为的距离分别为1，3，5，7，9，11，- -的点作的点作OA的

20、垂线与的垂线与OB相交，得到并相交，得到并 标出一组黑色梯形，它们的面积分别标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为为S1、S2、S3、S4- 观察图中的规律，求出第观察图中的规律，求出第10个黑色梯个黑色梯 形的面积形的面积 S10=_ 76 8、一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，、一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据， -中得到巴尔末公式，从而打中得到巴尔末公式，从而打 开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出 第第n(n1)个数据是个数据是_. , 32 36 , 21 25 , 12 16 , 5 9 22 2 2)2) (4)(2)4 nn

21、 n nn （ 或 9、柜台上放着一堆罐头，它们摆放在的形状见右 图： 第一层有听罐头； 第二层有听罐头； 第三层有听罐头。 根据这堆罐头排列规律，第n（n为正整数）层有 听罐头（用含n的式子表示） n2+3n+2 1 1 2 3 5 . 10、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有 这样一组数：这样一组数：1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313， 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这 组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：组数

22、中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形： 序号 周长6101626 再分别依次从左到右取再分别依次从左到右取2个、个、3个、个、4个、个、5个个, ,正方形拼成如下矩正方形拼成如下矩 形并记为、形并记为、.相应矩形的周长如下表所示：相应矩形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为的矩形周长是若按此规律继续作矩形，则序号为的矩形周长是 。466 111111 12, 23, 34,. 334455 0、观察下列各式：、观察下列各式： 请你将发现的规律用含自然数请你将发现的规律用含自然数n(n1)的等式表示出的等式表示出 来来 2 1 ) 1( 2 1 n n n n 1、下列图案是由

23、边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼 接而成。依此规律，第接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为个图案中小正方形的个数为_。41 12、根据下列图形的排列规律，第、根据下列图形的排列规律，第2008个图形个图形 是是 (填序号即可填序号即可). (；.) （） 13、按如下规律摆放三角形：、按如下规律摆放三角形： 则第（则第（4）堆三角形的个数为）堆三角形的个数为_； 第第(n)堆三角形的个数为堆三角形的个数为_ n+2 复练复练1： 返表一返表一 复练复练2： 例例7 7: :(20082008黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨) )观察下

24、列图形：观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，它们是按一定规律排列的，依照此规律， 第第2020个图形共有个图形共有 个个 三角形每条边上 的星数相同,再减 去三个顶点的数 方法一方法一: : 3(n+1)-3=3n3(n+1)-3=3n 3n 归纳与猜想归纳与猜想2.2.游戏图形中的规律游戏图形中的规律 例例7 7 : :(20082008黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨) )观察下列图形观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律它们是按一定规律排列的，依照此规律 ，第，第2020个图形共有个图形共有 个个 3 36 69 9 1212 3n 归纳与猜想归纳与猜想 游戏图形中的规律游戏图形中的规律 6 6、( 2006( 2006年泉州市年泉州市) )在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整 数的点称为整点请你观察图中正方形数的点称为整点请你观察图中正方形A1B1C1D1A1B1C1D1、A2B2C2D2A2B2C2D2、 A3B3C3D3A3B3C3D3每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形 A10B10C10D10A10B10C10D10四条边上的整点共有