赤平投影原理及讲解

1、一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是 楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及岩土工程勘察规范（GB50021 94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平 面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通 过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算 公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数， 那

2、就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包 括：1. 投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。2. 球面：投影球的表面称为球面。3. 赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。4. 大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中 ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中 PSFN）；当平面水

3、平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a ）中 NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中 ASBN）。5. 小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（ c）中 AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b ）中 DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（ b）中 AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b ）中 FG或图一（ c）中 PACB）。6. 极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（ F）。由上极射点（ P

4、）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。7. 极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也 就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、 B）。（二）平面的赤平投影 平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。1. 过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB）S；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径 （如图一

5、（ a）中的 NS）；水平面的赤平投影就是基圆 （如图一中的 NESW）。2. 不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三 KDH）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆 之内（如图三 FG）；当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；当倾斜小圆一 部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球 面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中 PACB的投影为 AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中 AB）， AB

6、是一个与基圆同心的圆。（三）直线的赤平投影直线 AB 的投影点就是其极点 A、B 和极射点 P的连线与赤平面的交点 A、B。铅直线的投影点位于基圆 中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个， 一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180（如图五）。（四）吴氏网及其 CAD 制作 目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴 氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网 上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等

7、，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随 着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成 的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其 优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反 映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。1. 吴氏网的结构及成图原理 吴氏网（图六）由基圆、南北经向大圆弧（ NGS）、东西纬向小圆弧（ ACB）等经纬线组成。标准吴氏网 的基圆直径为 20cm ，经、纬线间

8、的角距为 2。（1）基圆，由指北方向（ N）为 0顺,时针方向刻出 360 ，这些刻度起着量度方位角的作用；（2）经向大圆弧是由一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由0到 90 （角距间隔为 2）的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线 EW的交点到端点（ E点和 W 点）的距离分别代表各 平面的倾角。如图六中 GW 表示的大圆弧 NGS 所代表的平面向西倾斜，倾角为 30。（3）纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心O 愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心 O 愈近，则半径角距就愈大。相邻纬向小圆弧间的角距也

9、是 2，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。如图六所示，ED SH WGNF，角距都为 30 。2. 吴氏网的 CAD 图解 绘制吴氏网，其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样 是绘制出来的呢在没有 CAD 制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘 制过程很复杂。而在 CAD 制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过 程。（1）绘制大圆弧的原理与步骤要绘制大圆弧，应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B（如图二所示），其中 N、S 点是每条大圆弧都必须经过的，是已

10、知点。现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW 的交点 B，问题就迎刃而解。 计算 OB长度根据倾斜平面的倾角、基圆的直径，可按下式计算点O与点 B之间的距离（公式一）式中 R基圆的半径； 大圆弧所代表平面的倾角（ ）。 以基圆的圆心为圆心， OB长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线 EW 交于 B点。过 N、S、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。（2）绘制小圆弧的原理与步骤要绘制半径角距为 的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点（如图六所示的A、C、B 三个点）。根据吴氏网的结构与原理，可以通过 CAD制图确定 A、C、B 三个点的位置。确定点 C，首先用公式一计

11、算点 O与点 C间距离，但其中 为小圆弧的半径角距；然后以基圆的圆心为 圆心， OC长为半径画圆，该圆与基圆的南北径向线 NS交于 C点。 以基圆的圆心为基点， 将南北径线 ON 分别逆时针和顺时针旋转角度 ，得两条直线， 分别与基圆交于 A、 B 点。 过 A、C、 B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。三、赤平投影网 CAD 图解的应用 利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是：把透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上， 画基圆及“十”字网心，并用针固定于网心上，使透明纸能够绕网心旋转。然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北（ N）为 0，顺时针数到 360。东

12、西直径 EW确定倾角，一般是圆周为 0，至圆心为 90。这样做具有以 下缺点：一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而移位；三就是准确性不高；四是效率低。 如果用 CAD 制图，则可避免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基 圆及其南北径线和东西径线。1.平面赤平投影的 CAD 图解（如图七）例 1 ：一平面产状 12630，绘制其赤平投影图。（1）绘制一直径为 20cm 的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出 E、 S、W、N。后面的例子均需 要这一步，画法与之相同，所以不再重复。（2）平面的倾向是 126 ，则其走向为 36 。将南北径线

13、绕基圆的圆心 O 顺时针旋转 36到达 AB位置，与 基圆交于 A、B 两点，则 AB 就是平面的走向线。（3）以基圆的圆心 O为基点，将射线 ON顺时针旋转 126 到达 OD位置，与基圆相交于点 D，则 OD即为 该平面的倾向线。（4）用公式一计算线段 OC长度。以基圆的圆心 O为圆心， OC为半径画圆，交 OD于 C点。（5）采用三点法，即过 A、C、B 三点画圆，并切掉基圆外部分，所得大圆弧 ACB 即为该平面的赤平投影。2.直线赤平投影的 CAD 图解（如图八）例 2 ：一直线产状 33040，绘制其赤平投影图。（1）将 ON 绕圆心 O 顺时针旋转 330 后到达 OA 位置，与基

14、圆交于点 A，则 OA 即为该直线的倾伏向。（2）用公式一计算 OA值。以基圆的圆心 O为圆心， OA为半径画圆，交 OA于 A点，则点 A即为该直线 的赤平投影。3. 平面法线赤平投影的 CAD 图解（如图九）例 3 ：一平面产状为 10540，绘制其法线的赤平投影。（1）按例 1 所述方法，绘制产状为 105 40 平面的赤平投影大圆弧 NBS。（2）平面法线的倾角与平面的倾角之和等于 90 ，因此平面法线的倾角为 50 。用公式一计算 OA。以基圆 的圆心 O 为圆心， OA为半径画圆，交 BO的延长线于 A点，则 A点为该平面法线的赤面投影，也称其为平面 的极点。由于平面法线倾向与平面

15、倾向相反，相差 180，平面法线的倾角与平面的倾角之和等于 90，因此也可根 据平面法线产状与平面产状间的这种关系，首先计算法线的产状为 28550，然后再按例 2 方法绘制法线的 赤平投影。4. 相交两条直线所构成平面的产状例 4：已知两直线 180 20和 90相交，用赤平投影法求解这两条直线所构成平面的产状 （如图十（ a）、 （b）。（1）为很好地利用 CAD 制图解决这个问题，引入两条直线倾角与平面倾角间的关系式：tan2 sin2 =tan2 1+-2tatan n21tan 2co（s 公式 二） 式中两条相交直线所构成平面的倾角（ ）； 1、 2 分别为两条直线的倾伏角（ ）；

16、 两条直线倾向夹角（ ）。用公式二计算两条直线所构成平面的倾角为 =。（2）确定投影大圆弧的圆心 O，点 O应在线段 C F的垂直平分线上。要确定点 O的位置，需要用下列公 式计算平面的赤平投影大圆弧的半径 。计算出赤平投影大圆弧的半径 后，再以点 C或者点 F为圆心画圆，与线段 CF的垂直平分线相交于点 O。公式三）式中 R赤平投影大圆弧的半径 ;R基圆的半径。（3）确定平面的走向 AB：以 O为圆心，以为半径画圆，与基圆相交于两点 A、B，则 AB即为所求平面的 走向，为 30。由此算出该平面的倾向为 120。因此所求平面产状为 12036。此外，两条直线所构所平面的倾向，也可由下式计算确

17、定：公式四）式中平面倾向与直线 1 倾向之差；其余符号意义同公式二。5相交两条直线的夹角及其角平分线例 5：用赤平投影法求解例 4 两条直线的夹角及其角平分线（图十（ c）。（1）按例 4 作法，确定两条直线所构成平面的赤平投影，即大圆弧AF C，其B产状约为 120 36 。（2）量取大圆弧上 C与 F间的角距为 54，即相交两条直线的夹角为 54。该圆弧 CF段的角距平分点 G 27）就是相交两条直线夹角平分线的赤平投影，由此可以确定两条相交直线夹角平分线的产状为。除上述作图法外，还可用下式计算两条相交直线的夹角：公式五）式中两条相交直线的夹角（ ）； 其余符号的意义同前。6.平面上一直线

18、的倾伏和侧伏（如图十一）例 6：已知平面产状 180 （ 36），平面上一条直线 AC的侧伏向 E、侧伏角（ =44，是指 该平面走向线与该直线所夹的锐角），用赤平投影法求解该直线的倾伏向和倾伏角。（1）按例 1 做法，绘制平面的赤平投影大圆弧 EDW。（2）以 EW为南北向径线（假定），作半径角距等于（ =44的）纬向小圆弧 GDK（应为两条，另一条未画出），与平面的赤平投影大圆弧 EDW相交于 C点。连接点 O 与点 C，并延长，与基圆相交于 C点。（3）点 C即所求直线的赤平投影。图上量得线段 OC的长度，然后用公式一求得直线的倾伏角 。（4）点 C对应的角度为，即为所求直线的倾伏向。因

19、此该直线的产状为。平面上一条直线的倾伏或侧伏，可以相互换算，除采用上面的 CAD制 图方法外，也可用下列公式计算：公式六）公式七）式中平面倾角（ ）； 平面上直线的侧伏角（ ）；直线的倾伏角（ ）；平面倾向与直线倾向之差（ ）。7. 两个平面交线的产状（如图十二（ a）例 7 ：已知两个平面 70 40和 29030，用赤平投影法求解这两个平面交线产状。（1）按例 1做法，分别绘制出两个平面的赤面投影大圆弧 APB和 CPD，两条大圆弧相交于 P点，该点即 为两个平面交线的赤平投影。（2）连结 OP，并量得 OP的长度。然后用公式一求得交线的倾伏角为=；OP 所在径线方向即为交线的倾伏向，量得

20、交线的倾伏向为 。即两个平面交线产状为 。8两个平面的夹角及其夹角的等分面（如图十二（ b ）例 8：已知条件同例 7 ，用赤平投影法求解两个平面的夹角及其夹角的等分面。（1）绘制两个平面的公垂面，由于以点 P 为投影的直线就是公垂面的法线，因此公垂面的产状为 ， 按例 1 做法绘制公垂面的赤平投影大圆弧 FIHG ，与两个已知平面的赤平投影大圆弧分别相交于点H、点 I。这两点所代表的直线产状分为：直线 H为；直线 I 为。（2）点 H、点 I 所代表的两条直线的夹角就是两个平面的夹角，可根据两条直线的产状，由公式五计算 求得，结果为 。也可先用公式六分别求出两条直线在公垂面上的侧伏角，分别为

21、：直线H的侧伏角为 ；直线I 的侧伏角为 。则两条直线的夹角为 180（ ） 。（3）公垂面的投影大圆弧上点 H、点 I 间弧段的中点 K 在两个平面的等分面的投影大圆弧上，投影点 K 的直线产状 。点 P 也在等分面的投影大圆弧上，其产状也已求得（例7）。已知投影大圆弧上的两个点，就可按例 4 做法计算出等分平面的倾角和其赤平投影大圆弧的半径，并绘制出经过这两点的大圆弧QKM。该大圆弧对应的平面即为已知两个平面夹角的等分面，其产状为 。9.一条直线与一个平面的夹角（如图十三）例 9：一平面产状 12050，一直线产状 320 20，用赤平投影法求解直线与平面的夹角。（ 1）按例 1 做法绘制

22、已知平面的赤平投影大圆弧 ADB。（2）按例 2 做法绘制已知直线的赤平投影，即投影点C。（3）按例 3 做法绘制已知平面法线的投影极点 P。（4）按例 4 做法绘制经过点 C、P 的大圆弧 CPD，其所代表的平面与已知平面垂直，其产状为 。 用公式六分别求出直线 C和直线 P在平面 CPD上的侧伏角，直线 C的侧伏角为 ，直线 P的侧伏角为 ， 也就是平面法线与已知直线的夹角为 ，因此已知直线与平面的夹角为 。四、用赤平投影求解边坡稳定问题 在岩质边坡稳定性分析与计算中，赤平投影可用来初步判定边坡稳定性，求解边坡稳定性系数计算所需的 几何参数。（一）边坡稳定性初步判别 图十四所示的边坡楔体，

23、假定只有摩擦力抵抗滑动，且两个结构面的摩擦角相同，且都等于，则楔体可能 滑动的条件是两个结构面交线的赤平投影，即它的投影点应落在坡面大圆弧与摩擦圆所围成的范围内（图十四 （b） 中阴影部分），即（其中 为在正交交线视图上的坡面倾角； 为结构面交线倾角；为结构面内摩擦角）。据 此可以迅速判别楔体是否会产生滑动。（二）求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数 边坡稳定性系数计算所需的几何参数包括平面和直线的产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面 夹角等。除平面和直线的产状可现场量测外（平面和平面交线、平面法线也可用赤平投影法求解），其余几何 参数都可用赤平投影法求解。前面已经介绍过这些几何参数的

24、赤平投影求解方法，下面举例说明赤平投影在边 坡稳定性系数计算中的具体应用。如图十五所示的边坡楔体，坡面、坡顶面、结构面 A和 B等产状及其它技术 参数如表 1。计算楔体稳定系数之前，首先应绘制四个平面的赤平投影大圆弧以及两个结构面的法线投影极点(如图十 六)，并求得各交线及法线的产状如下：法线 PA：28545；法线 PB：5520；交线 1：；交线 2：；交线 3：； 交线 4：； 交线 5：。 然后，再用公式五计算楔体稳定分析所需的各角度参数值，计算结果如下： 两个结构面交线的倾角 : ； 两个结构面法线的夹角 : ；线 1 和线 3 的夹角： ；线 3 和线 5 的夹角： ； 线 1 和结构面 B 法线的夹角： ；