分式运算中的常用技巧与方法

1、分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明-、整体通分法例1 化简:-A-a-1a 1分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。2 2解:3=(a+1)=a 1a 1222a - (a 1)(a 1) = a (a 1) = 1i 1 a 1 a 1 a 1二、逐项通分法例2计算2b 4b2a2 b2 a4 b4分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：312b 4b (a b) (a b)a b a b a2 b2 a4 b4a2 b2ba

2、2 b22b2b 4b 2b(a b ) 2b(a b )322224b3a2 b24a b a ba4 b4a4 b44 b?必=0a4 b4a4 b44b3a4 b4三、先约分，后通分2例3.计算：乙+2a2 4a 4分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算2 _2a 4=2222解:a 6a + a4= a(a 6) +(a 2)(a 2) =a 6 +aa2 2a a2 4a 4 a(a 2) (a 2)2 a 2 a 2 a四、整体代入法例4 已知1 +丄=5求2x 5xy 2y的值x yx 2xy y解法1: 1+仁5A xyz 0，所以2x 5xy 2y_yxy2 1 1

3、-2() 5 x x yrrrxy255 5解法2:由+=5得,xy3=5,xyx+y=5xy.2x 5xy 2y_2(x y)5xy 2x 2xy y (x y) 2xy 5xy 2xy 7xy5xy 5xy _ 5xy _ 57五、运用公式变形法例5 已知a2-5a+1=0,计算a4+Aa 解：由已知条件可得azO, a+_L=5aj2-2 2-2=(5 2-2)a4 2 1 2a + -4+-2) 2=(a+ a a乞2=527六、设辅助参数法例6 .已知LI二处,a bb c a c a ft?：设二二a ba+b=ck；把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k二心，计算

4、：也cb二 k,贝 U b+c=ak； a+c=bk； :cb)(b c)(cabca)若 a+b+c=O, a+b= -c,贝 U k= -1若 a+b+cz 0,则 k=2(a b)(b c)(c a) = ak bk ck 二 FL abcabc当k=-1时，原式二-1当k=2时，原式二8七、应用倒 数变换法的值例7.已知一=7,a a 1解:由条件知azO, 7,即a+l = 8a71549aa2 a4 a21=4915八、取常数值法例 8 .已知：xyz 工 O,x+y+z=O,计算-+ _ + x y z解：根据条件可设x=1 ,y=1 ,z=-2.则u+=3当然本题也可以设为其他

5、合适的常数xyz九、把未知数当成已知数法2 22 例 9 . 已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:山ab be ac解:把c当作已知数，用c表示a,b得,a=3c, b=2c.a2 b2 c2 =14c2 =142 .ab be ac 11 c11十、巧用因式分解法例10.已知a+b+c=O,计算肓+2C2a bc 2b ac 2& ab角军军： a+b+c=O, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2222 2a +bc=a +a +bc=a +a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)同理可得 2b2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)2 ,22-J?_+-?- a-+2222a be 2b ac 2c ab (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)222222abc _a (b c) b (a c) c (a b)_十(a-b)(a-c)(a-b)(b-c)(c-a)(c-b)(a b)(a c)(b c)222222a(bc)babccacb = a (b c) a(b c)(b c) bc(b c) (a b)(a