弹簧-质量-阻尼模型

1、弹簧-质量-阻尼系统 1研究背景及意义 弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技 也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量 的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变 结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究 弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。 2弹簧-质量-阻尼模型的建立 数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的 数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力 学

2、的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所 以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，列写机械振动系统 的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。 弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示， 图2.1弹簧-质量-阻尼系统简图 其中mi，m2表示小车的质量，Ci表示缓冲器的粘滞摩擦系数，表示弹簧的弹性系 数，Fi（t）表示小车所受的外力，是系统的输入即 5 （t）=Fi（t） ,Xj（t）表示小车的位移, 是系统的输出，即 Y（t）=Xi （t），i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中 m1

3、 =1kg， m2 =2kg， k1= k3=100N/cm， k2 =300N/cm， C1 = C3 =3N ? s/cm， C2=6N?s/cm。 由图2.1，根据牛顿第二定律，建立系统的动力学模型如下： 对m1有: (2-1) m角 + cj + 勺用一 c2k2 + (lq + k2x2 =F1tJ 对m2有: (2-2) m 區 + (cs + c3)x2 匸衣 i + (k, + k3Jxs k2x1 = F2 (t) r i 賈 1 + (cj 十 c2)xt czx2 + (k1 + k,)x1 kaxz = F2(t) m2x, + (c3 + c3)x2 一 c.Kj +

4、 k2 +k3)x3 k徉丄=r2(t) 3建立状态空间表达式 令X3 X1, x4 瘗，ui Fi,u2 F2,则原式可化为： mi0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5 B=0 0;0 0;1 0;0 0.5 C=1 0 0 0;0 1 0 0 P,J=eig(A) 求得结果： p = 0.0007 - 0.0402i -0.0171 + 0.0157i 0.8650 -0.3442 - 0.3621i 0.0007 + 0.0402i -0.0171 - 0.0157i 0.8650 -0.3442 + 0.3621i 0.0401 - 0.0698i

5、0.0176 - 0.0792i 0.6682 + 0.2084i 0.7050 0.0401 + 0.0698i 0.0176 + 0.0792i 0.6682 - 0.2084i 0.7050 0.3667 +21.5183i 0 0 0 0 0.3667 -21.5183i 0 0 0 0 1.8833 + 8.4864i 0 0 0 0 1.8833 - 8.4864i (2) P矩阵求逆 PN=i nv(P) 求得结果： PN = 3.4167 + 9.7803i 3.4167 - 9.7803i -3.3554 + 3.4224i -3.3554 - 3.4224i -2.1017

6、 - 9.2399i -2.1017 + 9.2399i 3.7199 + 3.2032i 3.7199 - 3.2032i 0.3466 - 0.2323i 0.3466 + 0.2323i 0.2886 - 0.0353i 0.2886 + 0.0353i -0.4703 - 0.1054i -0.4703 + 0.1054i 0.5337 - 0.2409i 0.5337 + 0.2409i (3 )带入公式B PNB C CP 解得对角标准型为: 0.3667 21.5183i 0 0 0 0.3466-0.2323i -0.2352-0.0527i - 0 0.3667 21.518

7、3i 0 0 - 0.3466+ 0.2323i -0.2352 +0.0527i x x u 0 0 1.8833 8.4864i 0 0.2886-0.0353i 0.2669-0.1205i 0 0 0 1.8833-8.4864i 0.2886 +0.0353i 0.2669+ 0.1205i 0.0007- 0.0402i0.0007+0.0402i0.0401-0.0698i0.0401+ 0.0698i y -0.0171 + 0.0157i -0.0171-0.0157i 0.0176-0.0792i 0.0176+0.0792i U 5求状态空间表达式的解 (1)求状态转移矩

8、阵 T 1AT At e t Te T 其中，T为特征向量 At e 0.0007 - 0.0402i -0.01710.0157i 0.8650 0.00070.0402i -0.0171- 0.0157i 0.8650 0.0401-0.0698i 0.0176-0.0792i 0.66820.2084i 0.04010.0698i 0.01760.0792i 0.6682 - 0.2084i -0.3442 -0.3621i -0.34420.3621i 0.7050 0.7050 0.366721.5183it 0 0 0 0 0.3667 -21.5183it e 0 0 0 0 1

9、.88338.4864it e 0 1.8833 -8.4864it e 3.4167 + 9.7803i -2.1017 -9.2399i 0.3466 -0.2323i -0.4703-0.1054i 3.4167 -9.7803i -2.1017+ 9.2399i 0.3466 + 0.2323i -0.4703+ 0.1054i -3.3554 +3.4224i 3.7199+ 3.2032i 0.2886 -0.0353i 0.5337 - 0.2409i -3.3554 -3.4224i 3.7199-3.2032i 0.2886 + 0.0353i 0.5337 + 0.2409

10、i 状态转移矩阵为： -5.5977 -0.6477 +0.0000i At e -4.4097 -0.0000i -12.5772 + 0.0000i -0.5817 +0.0000i -29.8835-0.0000i 0.1999 0.2247 + 0.0000i -2.4502 0.4493 0.5509 + 0.0000i -1.4700-0.0000i -7.2316 + 0.0000i -42.7799-0.0000i -0.7350 -0.0000i -1.7127 -0.0000i 5可控性与可观性 不同于经典控制理论，能控性和能观性， 是一个具有实际意义的概念，经典控制理论中

11、用传 递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出 量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要能控能观性的提出。但是现代控制 理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础上的，状态方程描述输入 u( t)引起状态x( t) 的变化过程，输出方程描述有状态变化引起的输出 ) y At)的变化d能控能观便是定性的描述 输入u(t)对状态x(t)的控制能力,输出ey%)对状1态x (t)的反应能力，他们分别回答了 “输入能否控制状态的变化”-可控性 “状态的变化能否有输出反映出来” 可观性 另外在工程上常用状态变量作为反馈信息， tl可是状态x(t)的值通常是

12、难测的， 往往需要从 测量到的y (t)中估计出状态,eA如果输出 y eA)1不能完全反映出系统的状态 x(t)，那么就 无法实现对状态的估计。 能控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入 量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。有状态 方程 x (t)=Ax(t)+Bu(t) 其解为： 如果有限的时间内0 t B eAA可写成有限级数：1 n-l(t) 如果方程有解，等式右边左侧矩阵应满秩=n，此时系统是可控的。 求可控性: 0 xg) eAtx(00) 0eA9)Bu( )d Qc 0 0 00.5 32.25 B A

13、B A*AB y伸 Ce A9X( 3 FT)Bi(5)d 0 0.5 32.25 163.580.875 n=4 满秩所以系统是可控的 可观性定义：当系统用状态方程描述时，给定控制后，如果系统的每一个初始状态x(0-) 都可以在有限的时间内通过系统的输出y(t)唯一确定，则称系统完全可观。若只能确定部分 初始状态，则称系统部分可观。有状态方程x (t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t) 其解为 eAtx(0 )01 eA(t)Bu( )d 0 x(0 )：e A Bu ( )d 由于在讨论能观性问题时，输入是给定的，上式右侧第二项是确知的，设u(t)=0。 y(t)=CeAtx(

14、0-)。根据凯莱哈米尔顿定理，e-At、eAt可写成有限级数： 如果方程有解，等式右侧中间侧矩阵应满秩。 其中，秩=n（系统的阶数） 求可观性： 1 0 0 0 C 0 1 0 0 0 0 1 0 QoCA CA* A 0 0 0 1 400 300 9 6 150 200 3 6 n=4满秩所以系统是可观的 ，其中包含四个传递函数 6求系统的输入输出传递函数 对于两输入两输出的系统求得的传递函数是一个二阶的传递函数阵 Yi（sUi（s）Y 1（S）/U 2（s） Y2（SUi（S）Y2（S）/U 2（s） Tran sfer function from in put 1 to output.

15、 sA2 + 4.5 s + 200 #1: sA4 - 4.5 sA3 + 541.5 sA2 - 1800 s + 3.5e004 e AtC0($+C址)A C2 (t)A2 n 1 Cn 1(t)An 1Ci(t)Ai i 0 #2: sA4 - 4.5 sA3 + 541.5 sA2 - 1800 s + 3.5e004 y(t) Co(t)l 0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5 B=0 0;0 0;1 0;0 0.5 C=1 0 0 0;0 1 0 0 D=0; G=ss(A,B,C,D) Gc=tf(G) Po= -1.1001+64.554

16、9i-1.1001-64.5549i -5.6499-25.4952i K=place(A,B,Po) a=A-B*K -5.6499+25.4952i g=ss(a,B,C,D) gc=tf(g) eig (a) P1=-1.4668+86.0732i -7.5332-33.9456i L=place(A,C,P1) est=estim(G ,L) step(est) tf(est) -1.4668-86.0732i -7.5332+33.9456i 结束语：这次大作业是把正本现代控制理论书的内容串联起来，现代控制理论是从状态 空间表达式出发研究一个系统的稳定性和控制品质，而自动控制原理则是从输入输出出发来 研究一个系统的，这份大作业的最终目的是要设计一个状态观测器去改变系统的