第6章离散系统状态空间分析

1、第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 第第6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 6.1 线性离散系统状态方程线性离散系统状态方程 离散时间系统可以用差分方程或脉冲传递函数来描述，离散时间系统可以用差分方程或脉冲传递函数来描述， 它们都是基于系统输入输出特性的描述。如何根据系统它们都是基于系统输入输出特性的描述。如何根据系统 的差分方程和的差分方程和Z传递函数描述得到它的基于输入传递函数描述得到它的基于输入状状 态态输出的状态空间描述，是本节所要讨论的内容。输出的状态空间描述，是本节所要讨论的内容。 第第6

2、 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 6.1.1 由高阶差分方程求状态方程由高阶差分方程求状态方程 设设n阶线性定常差分方程的一般形式为阶线性定常差分方程的一般形式为 式中式中ai，bj（i=1, ,2,n，j=0, ,1, , ,m）由系统结构参由系统结构参 数决定的常系数，一般有数决定的常系数，一般有nm。 1差分方程不含输入函数的高阶差分差分方程不含输入函数的高阶差分 当当m=0时，差分方程的形式为时，差分方程的形式为: 101 ()(1)( )()(1)( ) nm y kna y kna y kb u kmb u kmb u k 1 ()(1)( )( ) n y kn

3、a y kna y kbu k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 若选取状态变量为若选取状态变量为 则可得到离散状态方程和输出方程分别为则可得到离散状态方程和输出方程分别为 或或 1 21 32 1 ( )( ) ( )(1)(1) ( )(2)(1) ( )(1)(1) nn x ky k x ky kx k x ky kx k x ky knxk 12 23 1 11 1 (1)( ) (1)( ) (1)( ) (1)( )( )( ) ( )( ) nn nnn x kx k x kx k xkx k x ka x ka x kbu k y kx k (1)(

4、)( ) ( )( ) x kAx kBu k y kCx k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 式中式中x(k)是是n维状态向量，维状态向量，A、B、C 分别为分别为nn、n1、 1n矩阵称为系数矩阵。表示为矩阵称为系数矩阵。表示为 例例6.1 设线性定常差分方程为设线性定常差分方程为 试写出状态方程和输出方程。试写出状态方程和输出方程。 解：由已知条件知解：由已知条件知a a1 1= =5 5，a a2 2= =3 3，a a3 3= =6 6，b=b=2 2，得到状态方得到状态方 程和输出方程分别为程和输出方程分别为 1 2 11 010 ( ) 000 ( )

5、( ), 001 ( ) n nn x k x k x kA x k aaa 0 ,100 0 BC b (3)5 (2)3 (1)6 ( )2 ( )y ky ky ky ku k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 11 22 33 1 2 3 (1)010( )0 (1)001( )0( ) (1)635( )2 ( ) ( )100( ) ( ) x kx k x kx ku k x kx k x k y kx k x k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 2差分方程包含输入函数的高阶差分差分方程包含输入函数的高阶差分 当当m=n（也适用于

6、也适用于mn）时，差分方程的形式为时，差分方程的形式为 若选取状态变量为若选取状态变量为 其中其中 10 211 322 11 ( )( )( ) ( )(1)(1)( ) ( )(2)(1)( ) ( )(1)(1)( ) nnn x ky kb u k x ky kx khu k x ky kx kh u k x ky knxkhu k 101 ()(1)( )()(1)( ) nn y kna y kna y kb u knb u knb u k 111 0 222 01 1 333 02 11 2 01 12211 () () () nnnnnn hbab hba ba h hba b

7、a ha h hba bahaha h 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 其状态方程和输出方程可表示为其状态方程和输出方程可表示为 式中系数矩阵式中系数矩阵A、B、C、D分别为分别为 (1)( )( ) ( )( )( ) x kAx kBu k y kCx kDu k 1 2 1 11 0 010 000 , 001 100, n nnn h h AB h aaah CDb 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 以上针对线性定常差分方程介绍了状态方程的列写方法，以上针对线性定常差分方程介绍了状态方程的列写方法， 由于状态变量的选择不是惟一的，因此状

8、态方程也不是由于状态变量的选择不是惟一的，因此状态方程也不是 惟一的，上面只介绍了线性定常差分方程，而对于线性惟一的，上面只介绍了线性定常差分方程，而对于线性 时变差分方程也可以用上述类似的方法写出状态方程，时变差分方程也可以用上述类似的方法写出状态方程， 且可以得到形式上与时不变状态方程相同的时变状态方且可以得到形式上与时不变状态方程相同的时变状态方 程，只是由于时变差分方程的系数程，只是由于时变差分方程的系数ai，bj（i=1, ,2,n； j=0, ,1,m）都是都是k的函数，即的函数，即ai(k)，bj(k)，因此，系数因此，系数 矩阵矩阵A，B，C，D也都是也都是k的函数，即的函数，

9、即A(k)，B(k)，C(k)， D(k)。于是，对于线性时变差分方程所对应的状态方程于是，对于线性时变差分方程所对应的状态方程 和输出方程的一般形式为：和输出方程的一般形式为： (1)( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) x kA k x kB k u k y kC k x kD k u k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 6.1.2 由由Z传递函数求状态方程传递函数求状态方程 设离散系统的设离散系统的Z传递函数的一般形式为传递函数的一般形式为 式中式中nm，ai，bj为常系数。为常系数。 1 1并行程序法并行程序法 也称为部分分式法，当

10、也称为部分分式法，当Z Z传递函数传递函数G G( (z z) )的极点已知时，的极点已知时， 将将G G( (z z) )表示成部分分式和的形式，用这种方法比较简便。表示成部分分式和的形式，用这种方法比较简便。 下面分单极点和重极点两种情况，分别举例说明这种方下面分单极点和重极点两种情况，分别举例说明这种方 法求状态方程和输出方程。法求状态方程和输出方程。 1 011 1 11 ( ) ( ) ( ) mm mm nn nn b zb zbzbY z G z U zza zaza 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 例例6.3 设设Z传递函数为传递函数为 试用并行法求试

11、用并行法求 状态方程和输出方程。状态方程和输出方程。 解：将解：将G(z)表示成极点形式表示成极点形式 于是，得到于是，得到 则对应的方块图如图则对应的方块图如图6.1所示。所示。 2 2 ( )21 ( ) ( )56 Y zzz G z U zzz 2 2 ( )2114 ( )1 ( )5623 Y zzz G z U zzzzz 14 ( )( )( )( ) 23 Y zU zU zU z zz 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 选取的状态变量为选取的状态变量为 则对应的差分方程为则对应的差分方程为 图6.1 例6.3方块图 x1(z)Y(z) U(z) x2

12、(z) 1 -4 1 2z 1 2 1 ( )( ) 2 1 ( )( ) 3 x zU z z xzU z z 11 22 (1)2 ( )( ) (1)3( )( ) x kx ku k x kx ku k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 对应的状态方程为对应的状态方程为 系数矩阵系数矩阵A的对角线上的两个元素即为的对角线上的两个元素即为G(z)的两个极点。的两个极点。 由于由于 则有则有 于是得到输出方程为于是得到输出方程为 11 22 (1)( )201 ( ) (1)( )031 x kx k u k xkxk 12 14 ( )( )( )( )( )4(

13、 )( ) 23 Y zU zU zU zxzxzU z zz 12 ( )( )4( )( )y kx kxku k 1 2 ( ) ( )14( ) ( ) x k y ku k x k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 例例6.4 设设Z传递函数为传递函数为 试用并试用并 行法求状态方程和输出方程。行法求状态方程和输出方程。 解：将解：将G(z)表示成极点形式表示成极点形式 是，得到是，得到 则对应的方块图如图则对应的方块图如图6.2所示。所示。 2 ( )1 ( ) ( )(1) (2) Y z G z U zzz 2 ( )111 ( ) ( )2(1)1 Y

14、 z G z U zzzz 2 111 ( )( )( )( ) 2(1)1 Y zU zU zU z zzz 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 选取的状态变量为选取的状态变量为 x3(z) 图6.2 例6.4方块图 x1(z) Y(z) U(z) x2(z) -1 1 2z 1 1z 1 23 3 1 ( )( ) 2 1 ( )( ) 1 1 ( )( ) 1 x zU z z xzxz z xzU z z 1 1z 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 因而有关系式因而有关系式 对应的状态方程为对应的状态方程为 由于由于 则有则有 或或 11

15、223 33 ( )2( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) zx zx zU z zxzxzxz zxzxzU z 11 22 33 (1)200( )1 (1)011( )0( ) (1)001( )1 x kx k x kx ku k x kx k 2 123 111 ( )( )( )( ) 2(1)1 ( )( )( ) Y zU zU zU z zzz xzxzxz 123 ( )( )( )( )y kx kxkxk 1 2 3 ( ) ( )1 11( ) ( ) x k y kx k x k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 2串行程序法

16、串行程序法 串行程序法也叫迭代程序法，当串行程序法也叫迭代程序法，当G(z)的零极点都已知时，的零极点都已知时， 用这种方法比较方便。因此，在串行程序法中，应将用这种方法比较方便。因此，在串行程序法中，应将Z传传 递函数递函数G(z)表示成零极点形式。表示成零极点形式。 例例6.5 设设Z传递函数为传递函数为 试用串行法求试用串行法求 状态方程和输出方程。状态方程和输出方程。 解：将解：将G(z)表示成零极点形式表示成零极点形式 于是，得到于是，得到 则对应的方块图如图则对应的方块图如图6.3所示。所示。 2 2 ( )21 ( ) ( )56 Y zzz G z U zzz ( )35 /

17、3 ( )1 ( )23 Y zz G z U zzz 35 / 3 ( )( )( ) 23 z Y zU zU z zz 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 选取的状态变量为：选取的状态变量为： 对应的状态方程和输出方程为对应的状态方程和输出方程为 ： 图6.3 例6.5方块图 x1(z) Y(z) U(z) x2(z) 3 2z 5 / 3 3 z z 1 21 3 ( )( ) 2 5/3 ( )( ) 3 x zU z z z xzx z z 11 22 20 (1)( )3 ( ) 1 (1)( )33 3 x kx k u k xkxk 1 2 ( ) (

18、)01( ) ( ) x k y ku k xk 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 3直接程序法直接程序法 当当G(z)以有理分式表示，且零极点不便于求出时，用直以有理分式表示，且零极点不便于求出时，用直 接程序法比较方便。接程序法比较方便。 例例6.6 设设Z传递函数为传递函数为 试用直接程序法试用直接程序法 求状态方程和输出方程。求状态方程和输出方程。 解：将解：将G G( (z z) )表示成如下形式表示成如下形式 则则 由上式可得到由上式可得到 2 ( )4 ( ) ( )32 Y zz G z U zzz 12 12 ( )4 ( ) ( )132 Y zzz

19、 G z U zzz 1212 ( )( ) ( ) 4132 Y zU z Q z zzzz 12 12 ( )3( )2( )( ) ( )( )4( ) Q zz Q zz Q zU z Y zz Q zz Q z 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 则对应的方块图如图则对应的方块图如图6.4所示。所示。 选取的状态变量为选取的状态变量为 则对应的差分方程和输出方程为则对应的差分方程和输出方程为 Q(z) 图6.4 例6.6方块图 x1(z) Y(z)U(z) x2(z) -3 -2 4 1 z 1 z 1 12 1 2 ( )( ) ( )( ) x zzxz x

20、zz Q z 12 212 (1)( ) (1)2( )3( )( ) x kxk xkx kxku k 1 2 ( ) ( )41 ( ) x k y k xk 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 4嵌套程序法嵌套程序法 当当G(z)以有理分式表示，且零极点不便于求出时，除了可以有理分式表示，且零极点不便于求出时，除了可 用直接程序法外，还可以用嵌套程序法求状态方程。用直接程序法外，还可以用嵌套程序法求状态方程。 例例6.7 设设Z传递函数为传递函数为 试用嵌套程序试用嵌套程序 法求状态方程和输出方程。法求状态方程和输出方程。 解：将解：将G G( (z z) )表示成

21、如下形式表示成如下形式 则则 则对应的方块图如图则对应的方块图如图6.56.5所示。所示。 2 ( )4 ( ) ( )32 Y zz G z U zzz 12 12 ( )4 ( ) ( )132 Y zzz G z U zzz 11 ( )( )3 ( )4( )2 ( )Y zzU zY zzU zY z 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 于是得到对应的差分方程和输出方程为于是得到对应的差分方程和输出方程为 图6.5 例6.7方块图 x1(z) Y(z) U(z) x2(z) 4 -2 -3 1 z 1 z 11 22 1 2 (1)( )024 ( ) (1)(

22、 )131 ( ) ( )01 ( ) x kx k u k xkxk x k y k xk 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 6.2 连续状态方程的离散化连续状态方程的离散化 对于一个完整的计算机控制系统，除了有离散部分外对于一个完整的计算机控制系统，除了有离散部分外 还有连续部分，即它是由离散和连续两部分所组成的混合还有连续部分，即它是由离散和连续两部分所组成的混合 系统。如图系统。如图6.6所示是一个典型的计算机控制系统，它的离所示是一个典型的计算机控制系统，它的离 散部分是数字控制器，其状态方程可用上一节介绍的方法散部分是数字控制器，其状态方程可用上一节介绍的方

23、法 列写，它的连续部分是由零阶保持器与控制对象串联而成，列写，它的连续部分是由零阶保持器与控制对象串联而成， 其离散状态方程可由其离散化的差分方程或其离散状态方程可由其离散化的差分方程或Z传递函数用传递函数用 上一节介绍的方法列写，也可由其连续状态方程离散化得上一节介绍的方法列写，也可由其连续状态方程离散化得 到。本节介绍连续状态方程的离散化方法。到。本节介绍连续状态方程的离散化方法。 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 控制对象的输入信号是零阶保持器的输出信号控制对象的输入信号是零阶保持器的输出信号u(t)， 为梯形的分段常值的连续函数如图为梯形的分段常值的连续函数如图

24、6.7所示，所示， TT 数字控制 器 y(t)u(t) u*(t)u(kT)e(kT)r(t) 保 持 器 被控 对象 e*(t) e(t) 图6.6 典型计算机控制系统结构 图6.7 零阶保持器的输出特性 t0 u(t) 3T4T5T2TT 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 即有即有 ，其中，其中u(kT) 为在某一采样时刻为在某一采样时刻kT时的数字控制器的输出信号时的数字控制器的输出信号u*(t)在在 kT时刻的值。上式表示零阶保持器将数值控制器输出的时刻的值。上式表示零阶保持器将数值控制器输出的 数字信号在一个采样周期内保持恒定不变，直至下一个数字信号在一个采

25、样周期内保持恒定不变，直至下一个 采样时刻才变为新的数值。于是，连续状态方程的离散采样时刻才变为新的数值。于是，连续状态方程的离散 化问题就变成在阶梯信号作用下控制对象的连续状态方化问题就变成在阶梯信号作用下控制对象的连续状态方 程的离散化问题了。程的离散化问题了。 设控制对象的连续状态方程和输出方程为设控制对象的连续状态方程和输出方程为 式中式中x(t)为为n 1状态向量，状态向量，u(t)为为m 1控制向量，控制向量，y(t)为为p 1 输出向量，系数矩阵输出向量，系数矩阵F、G、C、D分别为分别为n n、n m、 p n、p m矩阵。矩阵。 ()() ,(1)u kTu kTkTkT (

26、 )( )( ) ( )( )( ) x tFx tGu t y tCx tDu t 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 设初始状态为设初始状态为x(t0)=x0 ，则可解得则可解得 考虑到在一个采样周期考虑到在一个采样周期T T的时间间隔内，有的时间间隔内，有 在此时间区间的开始时刻的初始状态是在此时间区间的开始时刻的初始状态是 为了确定这个时间区间结束时刻状态为了确定这个时间区间结束时刻状态x x( (t t) )可以将可以将t t0 0=KT=KT和和 t=t=( (k k+1)+1)T T代入，得到代入，得到 00 0 ()() 0 ( )( ) t F t tF

27、 t t t x texeGud ( )()(1)u tu kTkTtkT 0 ()()x tx kT (1) (1) (1) (1) (1) ( )() ( ) () kT FTFkT kT kT FTFkT kT x kTex keGu kT d ex keGdu kT 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 由于积分对所有由于积分对所有k值均成立。取变量置换值均成立。取变量置换t=(k+1)T- -， 则有则有dt=- -d，以及当以及当=kT时时t=0，故上式变为故上式变为 上式就是整个连续部分（包括零阶保持器和控制对象在上式就是整个连续部分（包括零阶保持器和控制对象

28、在 内）的离散化状态方程式。式中系数矩阵分别为内）的离散化状态方程式。式中系数矩阵分别为 0 (1) () () ( ) ()( ) () T FTFT x kTex kTeGdt u kT A T x kTB T u kT 0 ( ),( ) T FTFT A TeB Tedt G 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 显然，它们均与采样周期显然，它们均与采样周期T有关，是有关，是T的函数矩阵。但当的函数矩阵。但当 采样周期采样周期T为恒定值时，则为恒定值时，则A(T)和和B(T)就是常数矩阵，这就是常数矩阵，这 时仍然可表示成时仍然可表示成 A(T)=A，B(T)=B

29、的常数矩阵形式。的常数矩阵形式。 输出方程的离散化可以容易写出输出方程的离散化可以容易写出 y(kT)=Cx(kT)+Du(kT) 通常也把状态方程和输出方程简写为通常也把状态方程和输出方程简写为 (1)( )( ) ( )( )( ) x kAx kBu k y kCx kDu k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 例例6.8 设连续控制对象的状态空间方程为设连续控制对象的状态空间方程为 使用零阶保持器，采样周期使用零阶保持器，采样周期T=1秒，试求离散化状态空间秒，试求离散化状态空间 方程。方程。 解：由给定对象的连续状态方程可知解：由给定对象的连续状态方程可知 可

30、以求出连续状态转移矩阵可以求出连续状态转移矩阵 ( (t t) )为为 310 ( )( )( ) 201 ( )10( ) x tx tu t y tx t 310 ,10 201 FGC 1 1 22 22 31 ( ) 2 2 222 tttt tttt s tL s eeee eeee 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 离散化状态方程的系数矩阵为离散化状态方程的系数矩阵为 22 22 ( )( )( ) 2 222 FT t T TTTT TTTT A TTet eeee eeee 0 22 22 0 2 2 2 2 ( ) 02 1222 11 0 22 13

31、1 2 22 11 22 13 2 22 T FT tttt T tttt TT TT TT TT B TedtG eeee dt eeee ee ee ee ee 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 设设T=1秒，则得到秒，则得到 于是，得到离散化状态空间方程为于是，得到离散化状态空间方程为 0.09720.2325 (1) 0.46510.6004 0.1998 (1) 0.8319 AA BB 11 22 1 2 (1)( )0.09720.23250.1998 ( ) (1)( )0.46510.60040.8319 ( ) ( )10 ( ) x kx k u

32、k x kx k x k y k x k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 6.3 计算机控制系统的闭环离散状态方程计算机控制系统的闭环离散状态方程 由于计算机控制系统实质上是离散系统，下面以一由于计算机控制系统实质上是离散系统，下面以一 个离散系统个计算机控制系统为例，介绍闭环离散状态个离散系统个计算机控制系统为例，介绍闭环离散状态 方程的列写。方程的列写。 例例6.11 6.11 试列写图试列写图6.86.8离散系统的闭环离散状态方程。离散系统的闭环离散状态方程。 T r(t)e(t) u(t)y(t) ZOHK 图6.8 例6.11的离散系统 1 (1)s s 第

33、第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 解：对于给定的连续控制对象的传递函数所对应的连续解：对于给定的连续控制对象的传递函数所对应的连续 状态方程和输出方程为状态方程和输出方程为 由于控制对象的输入信号是零阶保持器的输出信号由于控制对象的输入信号是零阶保持器的输出信号 u(t)，它是阶梯形分段常值的连续函数，因此，可用上节它是阶梯形分段常值的连续函数，因此，可用上节 的方法求连续部分的离散化状态方程。求得系数矩阵为的方法求连续部分的离散化状态方程。求得系数矩阵为 11 22 1 ( )( )010 ( ) ( )( )01 ( )( ) x tx t u t x tx tk y

34、 tx t 00 11 ( ) 0 011 ( ) 0 (1) (1) T FT T t TT FT t T T e A Te e e B TeGdtdt ke k Te ke 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 于是，得到连续部分的离散化状态方程为于是，得到连续部分的离散化状态方程为 式中考虑了在一个采样周期式中考虑了在一个采样周期T内，零阶保持器的输出内，零阶保持器的输出u(t) 的值恒定不变，且等于采样周期的值恒定不变，且等于采样周期T的时间区间的开始瞬时的时间区间的开始瞬时 的的e(kT)的值。的值。 将将e e( (kTkT) )=r=r( (kTkT)-)-y

35、 y( (kTkT) )和和y y( (kTkT) )=x=x1 1( (kTkT) )代入上式，便代入上式，便 可得到闭环离散状态方程为可得到闭环离散状态方程为 11 22 (1) ()11(1) () (1) ()0(1) TT TT xkTx kTek Te u kT xkTx kTeke 11 22 1 2 (1) ()11(1) ()() (1) ()0(1) ()1(1)1(1) () ()(1)(1) TT TT TTT TTT xkTx kTek Te r kTy kT xkTx kTeke x kTk Teek Te r kT x kTkeeke 第第6 6章章 离散系统状态

36、空间分析离散系统状态空间分析 其输出方程为其输出方程为 例例6.12 试列写图试列写图6.9离散系统的闭环离散状态方程。离散系统的闭环离散状态方程。 1 1 2 () ()()10 () x kT y kTx kT x kT T r(t)e(t) u(t) y(t) T u(kT) ZOH k1s 图6.9 例6.12的离散系统 k2 1 1 1.20.4 10.25 z z 1 (1)(2)ss 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 解：先求数字控制器的状态方程。用直接程序法得解：先求数字控制器的状态方程。用直接程序法得 设数字控制器的状态变量为设数字控制器的状态变量为x

37、3(kT)，则可求得其状态则可求得其状态 方程为：方程为： 数字控制器的输出方程为：数字控制器的输出方程为： 再求连续部分的状态方程，即求零阶保持器与控制对象再求连续部分的状态方程，即求零阶保持器与控制对象 串联的离散化状态方程。得到串联的离散化状态方程。得到 11 11 ( )1.20.40.7 ( )1.2 ( )10.2510.25 U zzz D z E zzz 33 (1) 0.25()()xkTxkTe kT 3 ()0.7()1.2 ()u kTxkTe kT 11 22 2 ( )( )320 ( ) ( )( )101 ( )( ) x tx t u t x tx t y t

38、x t 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 由于由于u(kT)是分段常值函数，故可用上节的方法求得是分段常值函数，故可用上节的方法求得 上式的离散化状态方程和输出方程为上式的离散化状态方程和输出方程为 为了书写简单起见，可以表示为为了书写简单起见，可以表示为 其中其中 2 22 11 222 22 2 (1) ()222 () 11 (1) ()2 ) 22 ()() TT TTTT TTTTTT ee xkTx kTeeee u kT xkTxkTeeee ee y kTxkT 1111211 2212222 (1) () () (1) () xkTaax kTb u

39、kT xkTaax kTb 2 11 2 12 2 21 22 22 2 1 2 2 2 22 2 11 22 TT TT TT TT TT TT aee aee aee aee bee bee 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 则可得到闭环离散状态方程为则可得到闭环离散状态方程为 111121211111 211222221222 3213 (1) 1.21.20.7()1.2 (1) 1.21.20.7()1.2() (1) 0.25()1 xkTab kab kbx kTb xkTab kab kbxkTbr kT xkTkkxkT 第第6 6章章 离散系统状态空

40、间分析离散系统状态空间分析 6.4 离散系统的传递函数矩阵与特征值离散系统的传递函数矩阵与特征值 设线性定常离散系统状态方程和输出方程的一般形式为设线性定常离散系统状态方程和输出方程的一般形式为 式中式中x x( (k k) )为为n n维状态向量，维状态向量，u u( (k k) )为为m m维控制向量，维控制向量，y y( (k k) )为为p p 维输出向量，系数矩阵维输出向量，系数矩阵A A，B B，C C，D D分别为分别为n n n n，n n m m，p p n n 和和p p m m矩阵。设初始状态矩阵。设初始状态x x(0)(0)= =0 0，对上式取对上式取Z Z变换，得到

41、变换，得到 (1)( )( ) ( )( )( ) x kAx kbu k y kCx kDu k 1 1 ( )( I)( ) ( )( I)( ) x zzABU z Y zC zABD U z 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 采用如下记号采用如下记号 则称矩阵则称矩阵Gx(z)为输入为输入状态传递函数矩阵，矩阵状态传递函数矩阵，矩阵Gy(z) 为输入为输入输出传递函数矩阵，而方程输出传递函数矩阵，而方程det(zI- -A)=0称为称为 离散系统的特征方程。特征方程的根即为特征值也为系离散系统的特征方程。特征方程的根即为特征值也为系 统的极点。统的极点。 1 1

42、 ( )( I) ( )( I) ( )( ) x y y G zzAB GzC zABD G zGz 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 例例6.13 设已知离散系统的状态空间表达式为设已知离散系统的状态空间表达式为 试求试求Z传递函数传递函数 。 解：由已知条件得到系数矩阵分别为解：由已知条件得到系数矩阵分别为 可以求得逆矩阵为可以求得逆矩阵为 11 22 1 2 (1)( )011 ( ) (1)( )0.1611 ( ) ( )11 ( ) x kx k u k x kx k x k y k x k 01 0.161 1 1 11 A B C 1 11 0.16

43、( I) (0.2)(0.8) z z zA zz 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 本例为单输入单输出离散系统，因此，输出与输入本例为单输入单输出离散系统，因此，输出与输入 之间的之间的Z传递函数矩阵就是通常的传递函数矩阵就是通常的Z传递函数，是标量函传递函数，是标量函 数而不是函数矩阵。其传递函数求得如下数而不是函数矩阵。其传递函数求得如下 1 ( ) ( ) ( ) ( I) 11 10.16 11 1(0.2)(0.8) 2(1.08 ) (0.2)(0.8) Y z G z U z C zAB z z zz zz zz 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散

44、系统状态空间分析 例例6.14 设已知离散系统的状态空间方程为设已知离散系统的状态空间方程为 试求试求Z传递函数矩阵传递函数矩阵 解：由已知条件得到系数矩阵分别为解：由已知条件得到系数矩阵分别为 11 22 33 1 2 3 (1)0.200( )12 (1)00.40( )21( ) (1)000.6( )12 ( ) 101 ( )( ) 122 ( ) x kx k x kx ku k x kx k x k y kx k x k 1 ( )( I)G zC zAB 0.200 00.40 000.6 12 21 12 101 122 A B C 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系

45、统状态空间分析 可以求得逆矩阵为可以求得逆矩阵为 于是，得到于是，得到Z传递函数矩阵传递函数矩阵G(z)为为 1 1 0.200 ( I)00.40 000.6 1 00 0.2 1 00 0.4 1 00 0.6 z zAz z z z z 1 22 22 22 ( )( I) 20.841.6 0.80.120.80.12 75.40.88861.04 0.80.120.80.12 G zC zAB zz zzzz zzzz zzzz 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 6.5离散状态方程的求解离散状态方程的求解 6.5.1 6.5.1 递推法递推法 设线性定常离散状

46、态空间方程的一般形式为设线性定常离散状态空间方程的一般形式为 式中式中x x( (k k) )为为n n维状态向量，维状态向量，u u( (k k) )为为m m维控制向量，维控制向量，y y( (k k) )为为p p 维输出向量，系数矩阵维输出向量，系数矩阵A A，B B，C C，D D分别为分别为n n n n，n n m m，p p n n 和和p p m m矩阵。在状态方程中，设给定初始条件为矩阵。在状态方程中，设给定初始条件为x x(0)(0)和和 u u(0)(0)，给定给定u u( (k k) )则依次取则依次取k=k=0,1,2,0,1,2,便可用递推法得到便可用递推法得到

47、(1)( )( ) ( )( )( ) x kAx kBu k y kCx kDu k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 或表示成或表示成 或或 由上式可见，由状态方程的解所表达的状态轨迹是离散由上式可见，由状态方程的解所表达的状态轨迹是离散 轨迹，由初始状态和输入控制作用两部分所引起的状态轨迹，由初始状态和输入控制作用两部分所引起的状态 转移而构成。在第转移而构成。在第k k时刻的状态只由时刻的状态只由k k时刻以前的输入决时刻以前的输入决 定，而与第定，而与第k k时刻及其后的输入无关，这正是物理可实现时刻及其后的输入无关，这正是物理可实现 的基本条件。的基本条件。

48、 2 12 (1)(0)(0) (2)(1)(1)(0)(0)(1) ( )(0)(0)(1)(2)(1) KKK xAxBu xAxBuA xABuBu x kA xABuABuABu kBu k 1 1 0 ( )(0)( ) k KKj j x kA xABu j 1 0 ( )(0)(1) k Ki i x kA xA Bu ki 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 在上式中，若用记号在上式中，若用记号 表示的矩阵称为离散状态表示的矩阵称为离散状态 转移矩阵，且有转移矩阵，且有 成立，则上式可表示为成立，则上式可表示为 或或 将上式代入输出方程，得到将上式代入输出

49、方程，得到 或或 ( ) k kA (1)( ) (0)I kAk 1 0 ( )( ) (0)(1)( ) k j x kk xkjBu j 1 0 ( )( ) (0)( )(1) k i x kk xi Bu ki 1 0 ( )( ) (0)(1)( )( ) k j y kCk xCkjBu jDu k 1 0 ( )( ) (0)( )(1)( ) k i y kCk xCi Bu kiDu k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 例例6.15 试用递推法求例试用递推法求例6.11的闭环离散状态方程的解，设的闭环离散状态方程的解，设 k=1，T=1秒，秒，x1

50、(0)=x2(0)=0，r(kT)=1。 解：该闭环离散状态方程和输出方程为解：该闭环离散状态方程和输出方程为 根据给定的根据给定的x1(0)=x2(0)=0，和和r(kT)=1，令令k=0, ,1, ,2,对对 状态方程进行迭代求解，则可得到状态方程进行迭代求解，则可得到 11 22 1 (1)( )0.6320.6320.368 ( ) (1)( )0.6320.3680.632 ( )( ) x kx k r k x kx k y kx k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 1 2 1 2 1 2 (1)0.6320.63200.3680.368 (1)0.632

51、0.36800.6320.632 (2)0.6320.6320.3680.3681 (2)0.6320.3680.6320.6320.632 (3)0.6320. (3) x x x x x x 1 2 1 2 63210.3681.399 0.6320.3680.6320.6320.233 (4)0.6320.6321.3990.3681.399 (4)0.6320.3680.2330.6320.166 (5)0.6320.632 (5)0.6320.368 x x x x 1 2 1.3990.3681.147 0.1660.6320.313 (6)0.6320.6321.1470.368

52、0.895 (6)0.6320.3680.3130.6320.203 x x 于是，根据输出方程，便可得到于是，根据输出方程，便可得到 ( )0,0.368,1,1.399,1.399,1.147,0.895,y k 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 6.5.2 Z变换法变换法 将离散状态方程将离散状态方程 两边取两边取Z Z变换，得变换，得 两边取两边取Z Z反变换得反变换得 则应有则应有 (1)( )( )x kAx kBu k 11 ( )( I)(0)( I)( )x zzAzxzABU z 1111 ( )(I)(0)(I)( )x kzAzxzABU z Z

53、 ZZ Z 11 1 111 0 ( I) ( )( I)( ) k k kj j AzAz ABU jzABU z Z Z Z Z 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 例例6.17 试用试用Z Z变换法求如下状态方程的解变换法求如下状态方程的解 设设 解：解： 11 22 (1)( )011 ( ) (1)( )0.1611 x kx k u k xkxk 1 2 (0)1 ,( )1 (0)1 x u k x 11 1 1 ( )( I) 1 0.161 4( 0.2)( 0.8)5( 0.2)( 0.8) 1 3 0.8( 0.8)( 0.2) 4( 0.8)( 0

54、.2) k kkkk kkkk AkzAz z z z Z Z Z Z 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 于是可以算出于是可以算出 解得解得 11 11 4( 0.2)( 0.8)1 ( I)(0) 3 0.2( 0.2)3.2( 0.8) 151025 ( 0.2)( 0.8) 6918 ( I)( )(0) 187 ( 0.2)( 0.8) 2918 kk kk kk kk zAz x zABU zx Z Z Z Z 172225 ( 0.2)( 0.8) 6918 ( ) 3.417.67 ( 0.2)( 0.8) 6918 kk kk x k 第第6 6章章 离

55、散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 6.6 线性离散系统的稳定性、可控性和可线性离散系统的稳定性、可控性和可 测性测性 在自动控制系统中，被控对象是由控制器发出的控制信在自动控制系统中，被控对象是由控制器发出的控制信 息控制的，而这个控制信息又是控制器根据被控对象的息控制的，而这个控制信息又是控制器根据被控对象的 输出信息以及所规定的控制规律产生的。显然，要使上输出信息以及所规定的控制规律产生的。显然，要使上 述控制过程成为物理上可实现的，就面临着这样两个基述控制过程成为物理上可实现的，就面临着这样两个基 本问题：本问题： 第一，控制作用是否必然可使系统在有限时间内从起始第一，控制作用是否

56、必然可使系统在有限时间内从起始 状态指引到所要求的状态。即状态指引到所要求的状态。即可控性问题可控性问题 。 第二，是否能够通过观测有限时间内输出的观测值来识第二，是否能够通过观测有限时间内输出的观测值来识 别系统的状态，以便反馈。即别系统的状态，以便反馈。即可测性问题。可测性问题。 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 6.6.1 线性离散系统的稳定性线性离散系统的稳定性 在第三章中已知，线性离散系统稳定的充要条件是系统在第三章中已知，线性离散系统稳定的充要条件是系统 的全部特征值位于单位圆内，或全部特征值的模小于的全部特征值位于单位圆内，或全部特征值的模小于1。 设线性

57、离散系统的特征方程为设线性离散系统的特征方程为 其特征值为其特征值为zi，则线性离散系统稳定的充要条件是则线性离散系统稳定的充要条件是 zi1。 det( I)0zA 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 例例6.18 试确定例试确定例6.11中离散系统在如下情况下的稳定性。中离散系统在如下情况下的稳定性。 (1) k=1，T=1 (2) k=5，T=1 (3) k=1，T=4 (4) k=1，T=0.1 (5) k=5，T=0.1 解：求得闭环离散系统的系数矩阵为解：求得闭环离散系统的系数矩阵为 则系统的特征方程为则系统的特征方程为 1(1)1 (1) TT TT k T

58、ee A k ee 2 (1)11 det( I) (1) (1)(1)1(1)0 TT TT TT zk Tee zA keze zkek TzkkkT e 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 (1) 当当k=1，T=1时，该闭环系统的特征值为时，该闭环系统的特征值为 此时有此时有z1, ,2=0.7951，故该系统是不稳定的。故该系统是不稳定的。 (3) 当当k=1，T=4时，该闭环系统的特征值为时，该闭环系统的特征值为 此时有此时有z2=1.2351，故该系统是不稳定的。故该系统是不稳定的。 1,2 0.50.618zj 1,2 0.2361.728zj 12 0.765,1.235zz 第第6 6章章 离散系统状态空间分析离散系统状态空间分析 (4) 当当k=1，T=0.1时，该闭环系统的特征值为时，该闭环系统的特征值为 此时有此时有z1, ,2=0.9541，且且z1, ,2几乎在正实轴上，故该系几乎在正实轴上，故该系 统是稳定的且几乎没有超调。统是稳定的且几乎没有超调。 (5) 当当k=5，T=0.1时，该闭环系统的特征值为时，该闭环系统的特征值为 此时有此时有z1, ,2=0.96