9矩阵位移法习题解答,重庆大学,文国治版教材课后答案.

1、第9章矩阵位移法习题解答习题9.1是非判断题（1） 矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。（）（2） 矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。（）（3） 单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。（）（4） 在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。（）（5） 结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。（）（6） 原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。（）【解】（1）正确。（2）错误。位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。（3）错误。不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。（4）正确。（5）错误。结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，

2、但单元或结点编码则不会。（6）错误。二者只产生相同的结点位移。习题9.2填空题（1） 矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的 ，其二是分析，其三是分析。（2） 已知某单元 的定位向量为3 5 6 7 8 9T，则单元刚度系数k35应叠加到结构刚度 矩阵的元素中去。（3） 将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是 。（4 ）矩阵位移法 中，在求解结点 位移之前，主要工作是形成矩阵和列阵。（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为=匕V2 nT=0.8 0.3 0.5T，单元的始、末端结点码为 3、2，单元定位向量为 f =0 0 0 3 4 5t，设单元与 x轴之间的夹角为二，则2（6

3、 ）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为eTF =7.5 -48 -70.9 7.5 48 121.09，则该单元的轴力 Fn=kN。【解】（1）离散化，单元，整体；（2）k68；（3）结点位移相等；（4）结构刚度，综合结点荷载；（5）00 00.3-0.8 0.5t；（6）-7.5。习题9.3根据单元刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.3图所示刚架的K中元素R、k23、的值以及K(1)中元素kF、k2?、k35)的值。1 ol,E, A,ly习题9.3图【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。因此，各刚度系数的值为kUEA/l，斤2(3)=6EI /I2， k3

4、5)=-6EI/l2 ；kJ =12EI/I3，k23)=0，k35)=O。(i)k231f y(1)(b) k23的物理意义_(1)(a) kii的物理意义(d) k1(1)的物理意义(e) k23)的物理意义习题解9.3图习题9.4根据结构刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.4图所示刚架结构刚度矩阵中的元素kn、k21、k32的值。各杆E、lx【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.4图所示。因此，各刚度系数的值为kn12EI EAk21 =0，kii1习题解9.4图理意义。1x123y9.5图所示。22213习题9.5图(a) kii和k2i的物理意义【解】各刚度系数的物理意义如习题解

5、习题9.5用简图表示习题9.5图所示刚架的单元刚度矩阵K中元素K中元素的物(a) k23)的物理意义(b) k44)的物理意义$門1屮2 1c(b) k32的物理意义习题解9.5图习题9.6习题9.6图所示刚架各单元杆长为I, EA、EI为常数。根据单元刚度矩阵元素的物理意义，写出单元刚度矩阵 K(1)、K的第3列和第5列元素。习题9.6图【解】各列刚度系数的物理意义如习题解9.6图所示。因而K(1)中第3列元素：06EI 2EIK (1)中第5列元素：012EI 6EI0罕卑I3I24EI6EI2EI T0l-12 0lT0 0EA 小01K中第3列元素：岁0K中第5列元素：0 -岂(d)

6、K(2)第5列元素的物理意义习题解9.6图习题9.7用先处理法，对习题 9.7图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码,并写出各单元的定位向量。习题9.7图【解】离散化结果如习题解9.7图所示。因而，各单元定位向量为= 1 0 0 2 3 4 T ,芒=5 6 7 0 0 9 T严-2345 6 7 I , F - 15 6 8 001(1, 0,0)2(2,3,4)ly 3(5,6,7)5(0,0,9)x2 _| 4(5，6，8)|6(0,0,0)0。习题解9.7图本题可有多种离散化方法，因此上述答案不是唯一的正确答案。习题9.8用先处理法形成习题 9.8图所示结构的综合结点荷载列

7、阵。4kN【解】离散化如习题解9.8图所示。1(1,0,2)3(6,7,8)2(3,4,5) T435(0,0,0)习题解9.8图非结点荷载引起的单元固端力为F2) =b -12 0128T，-10-9-4.5 0-9 4.5各单元的等效结点荷载列阵为(2) 兀T345678PF T 乍P2)F(2)-F p 二:1.0128012打(3)A T678090pE3) T 乍P3)(3) -Fp 二094.509-4.5 r集成为结构的等效结点荷载列阵Pe - 1.0 0 0 12 8 0 21-3.5 9 T直接结点荷载列阵为Pd - 10-5 0 4 00 00 0 综合结点荷载列阵为P P

8、e - 0-5 0 16 8 0 21-3.5 9 f习题9.9用先处理法求习题9.9图所示连续梁的结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。已知：El=2.4 104kN m2。8kN 8kN5kN m6kN/mIE 24El 1El3 El 1 44m2m 2m 2m . 5m习题9.9图【解】离散化如习题解9.9图所示。本题无需坐标转换。先求结构刚度矩阵。各单元的单刚为K 7 1；2集成即可得到结构刚度矩阵K(2)=EI 2/31/32K =EI 4/5|(1/32/33，2/5232/5 34/5 41/200 12.41.20.00.0 15/31/3044.00.80.0=10对22/

9、152/53.520.96称4/5称1.92I对2334Pe=10.67-10.67 FPE3)=fl2.5-12.5 T集成为结构的等效结点荷载列阵Pe =1.0 10.671.83 12.5 F再求综合结点荷载列阵。非结点荷载作用单元的等效结点荷载列阵为综合结点荷载列阵为P =PjPe - 5 0 0 oh：； Pe-5 10.67 1.83 12.5T习题9.10用先处理法求习题EI =5 105kN m2。9.10图所示结构刚度矩阵。忽略杆件的轴向变形。各杆320302/5 2K二 El 11/2 2K 二El 11/231 004/5 3|1/2|1/21所以本题只涉及转角位移未知量

10、,【解】离散化如习题解9.10图所示。因为不计各杆轴向变形, 无需坐标转换。各单元的单刚为1 2 24/5 2/5 14/5K =EIK =EI2/5 4/5-2，2/5集成即可得到结构刚度矩阵2/50 142013/52/5=1052132|2/59/50294/5K = El 2/5_0习题9.11用先处理法建立习题9.11图所示结构的矩阵位移法方程。已知：各杆EA=4 105kN ,El =5 104kN m2。习题9.11图【解】1 )离散化如习题解 9.11(a )图所示。(a)离散化习题解9.11 图2)计算结构刚度矩阵各单元单刚分别为：单元K(1) = K(1) =1040一 1

11、3.3302.2223.3333.3336.667-13.33-2.2223.333-13.33013.33333303.3330-2.222-3.3332.222-3.3333.3333.333-3.3336.6674单元23450610.0000：-J10.000000.93751.8751 0-0.93751.87501.8755.000048752.500110.00一_0_0rY0dd6一飞-一0-0.9375-J.875i 00.9375-1.87501.8752.500048755.0001234506K =K =104单元2340000.93750-J.875-0.93750-

12、1.87512010.000:01-10.0003-1.87505.000；1.875102.5004-0.937501.8750.937501.87500-J0.000:0110.0000L-1.87502.5001.87505.0001K =T T K T =104集成为总刚-2.2220-2.2223.33300 1024.270-1.875-10.000-2.222013.16-1.45801.875K = 1043.333L.875445816.6702.5000L0.000010.000001.8752.50005.0002）计算综合结点荷载列阵除可以按照习题 做法如下：9.8的方

13、法计算外，还可以直接根据其物理意义形成综合结点荷载列阵。具体将原结构上各结点位移未知量利用附加约束限制住后，施以原结构所受荷载。这一过程可理解成在矩阵位移法（先处理法）的基本结构上，作用外荷载，形成如习题解9.11（b）图所示的矩阵位移法基本体系。由此，可得各附加约束上的反力为因此，综合结点荷载列阵为P - -Fp - 80183）列出结构刚度方程 K = P-2.2220-2.2223.33324.270-1.875413.161.4581016.67对称-习题9.12用先处理法计算习题9.12 图所示刚架=口 018-12012】12 0-12 T00!-8 1-10.000U2001.8

14、751802.500021210.000U305.000L如1T2的结构刚度矩阵。已知:EA=3.2 疋10 kN，EI =4.8 104kN m2。m3SW-I5m习题9.12图【解】离散化如习题解9.12图所示。各单元单刚分别为2(2,3,4)1(0,1,0)b3(0,0,0)Ory习题解9.12 图单元6.4000单元K =K =104-6.4000.90000(2)T (2)4K T K T =10集成为总刚1.8003401000 ；-6.40000 120.46081.152 :10-0.46081.15231.1523.840 :0-1.1521.92040 一一6.40d_一一

15、6一一0-0.4608L.152 ；i00.4608-1.15211.1521.920 i0-1.1523.84I0340000-1.800；-0.900001.80018.00000-8.000004.800；1.80002.40023401.800 :0.900001.800-8.000008.00002-0.9000-1.8002.400 |1.8004.8004K =10习题9.13用先处理法计算习题_0.46089.137.300-0.4608-1.152 18.461-1.8001.1528.640图所示组合结构的刚度矩阵K。已知:梁杆单元的54EA=3.2 10 kN， EI =

16、4.8 10 kN m链杆单元的 EA=2.4 105kN。A习题9.13图【解】离散化如习题解 9.13图所示。这里利用一般单元来计算链杆单元，令其EI为零，则该单元的杆端转角为无意义的杆端位移，可为任意值。单元的杆端位移编码如习题解9.13图所示,其杆端转角在结点 4处为“ 0”，表示无杆端转角；在结点 2处为3”表示与单元和在该端的转角相同。点位移分量统一编码应给为“各单元单刚分别为单元和(1)单元K 二K 二K(1) =104T8.00000-8.00000(3)T (3)K T K T =10(3)T (3)00123扎23040九00-8.000001.100.9001.80010

17、-0.9001.800201.8004.8000-1.8002.400300018.0000001-0.900L.80000.900-1.800421.8002.4000-1.8004.800!03000123一 3.0722.3040:七.072-2.3040102.3041.7280=-2.304-1.72800000=0000-3.072-2.30403.0722.30401-2.304-1.7280:2.30411.72802-000000 一3集成为总刚一 19.074K =102.3043.528009.6000-0.900-1.8000.900有多少个?234需79习题9.14图

18、x3(4,5,6)1(0,0,0)fy7(0,0,0)【解】离散化如习题解9.14图所示，则各单元定位向量为5(8,9,10)4(4,5,7)2(1,2,3)2 P习题解9.14图=12 3 00 0T , =1 2(3)3 4 5 6T , (3) = 89 10 4 5 7丁=45 7 00 0T ,(5)二8 910 0 0 11T根据单元定位向量,判定各结点位移分量间的相关性。这里参考【例10.2】的方法，具体为:位移分量13、6均与位移分量 711无关，得到无关分量 20对；位移分量4、5、7与位移分量11无关，得到无关分量 3对；合计无关分量共 23对。说明K上半三角中，至少有23

19、个元素为零，因此整个K中至少应有46个零元素。习题9.15试用矩阵位移法计算习题9.15图所示连续梁，并画出弯矩图。各杆20kN IEI=常数。yiA6kN/m1川川川_TBJCD4m 2m 2m4m习题9.15图【解】1 )离散化如习题解 9.15(a)图所示。连续梁无需坐标转换。3(2)4(0)1(0) 2(1) 10.8(b) M 图(kN -m)13.23.6(a)离散化习题解9.15图2)计算总刚各单元刚度矩阵为011220K=EI1/ 20 K =EI1I1/ 21K=EI I11/ 221/ 211，1/ 21 2 ?1/ 21 0集成为总刚 2 1/2K 二EI|1/2 23）

20、计算综合结点荷载列阵按照习题9.11中综合结点荷载列阵的解法，在2、3两结点上附加刚臂，易求得F P - Fpi Fp2【m8-10 T因此，综合结点荷载列阵为P - -FP -丨-810 T4 )解结构刚度方程K = P,得1 1-5.6 6.4 f El5）求单元杆端力根据F K乍二得（1）F (1)二 K ”FP1）二K/-F P1)=EI_1/121/2 很丄J 0 +81=严.81 El 1-5.6 18 I 2.4(2)二K (2-.(2) -F P2)二 EI1；21/2丄曲 1 . 0 J2*41El 6.4 2 |03.6F (3)=K (3L(3)F P3)1汩1/2,(3

21、)1/2丄 6.4 2 .= -3.61El |L 010 .1113.24m【解】1 )离散化如习题解 9.16 (a)图所示。(a)离散化2)计算总刚(c) Fq图(kN)习题解9.16 图单元无需坐标转换，其单元刚度矩阵为单元的坐标转换矩阵为00012312000 200001.1252.25-V0-1.1252.2502.2561Tr0-2.253-1200011200004125-2.25 J01.125-2.2502.253r0-2.2560.8-0.60 ；000 10.60.80 5000001 =000000 ；0.8-0.60000 :10.60.80000 -001K(1

22、) =K(1) =104T (2)1000123则其刚度矩阵为00012361.65-45.80.864 :-61.6545.80.864-45.834.931.15245.834.931.1520.8641.1524.81-0.864-1.1522.4-61.6545.8-0.864 :161.65-45.8-0.86445.8-34.937.152 :-45.834.93-1.1520.8641.1522.4:-0.864-1.1524.81K =T T K T =104000123集成为总刚K =104181.6.45.8-0.864_45.836.05-3.402-0.864-3.40

23、210.83）计算综合结点荷载列阵各单元的等效结点荷载列阵为pE1)(1)扎T=-FP1 - 10 1610.670163T-10.67 集成得结构的等效结点荷载列阵16-10.67 f综合结点荷载列阵为p =PEPPE 讨05 0 f - 10 21-10.67 T4 ）解结构刚度方程 K = P,得1.85137.4810-7.37195）求单元杆端力根据 Fe =T e(K.e) - Fpe，得F 二 K (1-(1) - F=1041200-1201201.1252.25-1.1252.252.250-1.1250120-2.250-2.2501.125-2.25 0 10 -0 1-

24、22.22 001678.500+70.6774.561.85131022.227.4810216T3.50-7.3719 _3 10.67 _1-必6 一02.2510占单元定位向量-2.250.8 -0.6 0 0 0 00.60.80：000001I000M4 mm = KBI0 0 0 : 0.8-0.601061.65-45.80.864工1.6545.80.864-0-45.834.931.15245.8 -0.86461.65-1.152-45.8-2.4-0.8640.8001 一45.80.864-34.931.152-1.1522.4-45.8-0.86434.93-1.152-1.1524.8!000500：101.851317.48102-.37193丿单元定位向量-128.87-1.47-2.79-28.871.47-4.56 T6)绘内力图，如习题解 9.16(b)(d)图所示。习题9.17用矩阵位移法计算习题9.17图所示平面桁架的内力。已知： e=3 107kN/ m2，各杆2A =0.1m。AR习题9.17图【解】1 )离散化如习题解 9.17(a)图所示。10008单元和无需坐标转换,2)计算总刚00120034.50! -7