一元二次方程培优专题讲义

1、数学培优专题讲义：一元二次 方程 一. 知识的拓广延伸及相关史料 1. 一元二次方程几种解法之间的关系 解一元二次方程有下列几种常用方 法： (1) 配方法：如X2 6x 70，经配 方得(x 3)22，再直接用幵 平方法； (2) 公式法； (3) 因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平 方法，实际也是因式分解法，解方程 x2 6x 7 0，只要变形为 (x 3)2 (厨20即可，或原方程 x26 x 70经配方化为(x 3)22，再 求解时，还是归到用平方差公式的因 式分解法，所以配方法归为用因式分 解法的手段。公式法在推导公式过程 中用的是配方法和直接开平方法，因 此，它还是归到

2、因式分解法，所不同 的是，公式法用一元二次方程的系数 来表示根，因而可以作为公式。由此 可见，对因式分解法应予以足够的重 视。因式分解法还可推广到高次方程。 2. 我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联 系起来。事实上，过去代数的中心问题就 是对方程的研究。我国古代对代数的研究， 特别是对方程解法的研究有着优良的传 统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在 1275 年提出的一个问题：”直田积(矩形面积) 八百六十四步(平方步),只云阔(宽)不 及长一十二步(宽比长少一十二步)，问 阔及长各几步？ ”答：”阔二十四步，长 三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法，只用

3、已 学过的知识解决上面的问题 上面的问题选自杨辉所着的田亩比 类乘除算法。原题另一个提法是：“直田 积八百六十四步，只云阔与长共六十步， 问阔及长各几步”这个问题同样可以类 似求解 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主 要有转化思想、类比思想、降次法、配方 (1) 转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地 通过变形把原方程转化为与它等价的最 简单方程的过程。因此，转化思想就是解 方程过程中思维活动的主导思想。 在本章， 转化无所不在，无处不有，可以说这是本 章的精髓和特色之一，其表现主要有以下 方面： 未知转化为已知，这是解方程 的基本思路： 一元二次方程

4、转化为一元一 次方程，这是通过将原方程降 次达到的： 特殊转化为一般，一般转化为 特殊。 例如，通过用配方法解数字系数的一 元二次方程x2 6x 70归纳出用配方 法解一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0的方法，进而得出一元二 次方程的求根公式，而用公式法又可以解 各种具体的一元二次方程，推导出一元二 次方程根与系数的关系。又如，通过设未 知数，找出等量关系，列方程，把实际问 题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解 决很多其他方程问题，如高次方程转化为 一元一次或一元二次方程，分式方程转化 为整式方程，无理方程转化为有理方程， 二元二次方程组转化为二元一次方程组，

5、 总之，本章学习的关键之一是学会如何” 转化”. 练习: 1.a是方程x2 5x 10的一根，求a2乙的值 a (2) 类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的 联系,在新旧知识间进行对比，以利于更 快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时，可类 比平方根的概念和意义，列一元二次方程 解应用题,可类比列一元一次方程解应用 题的思路和一般步骤. 小红在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是一9和一1.你知 道原来的方程是什么吗 6.二次三项式的因式分解 我们把形如ax2 bx c(a 0)的多 类比思想是联系新旧知识的纽带， 有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径 和方法，

6、有利于掌握新知识、巩固旧知识, 学习时应特别重视。 掌握了类比和转化这两大数学思想， 项式叫做x的二次三项式。在了解了形 如x2 ( p q)x pq的二次三项式分解 因式的方法的基础上，现在介绍利用 求出一元二次方程的根的方法，将一 般的二次三项式分解因式。 举一反三，还可解决许多方程的相关问题。 我们来看下面两个例子。 例1.解分式方程 22 b C 2 ax bx c a(x -x -) a x (x x,)x x冷 a(x x1)(x x,). a a 这就是说，在分解二次三项式 x 2 x2 4x 4 例2.解方程组 y 7 12 ax2 bx c(a 0)的因式时，可先求出 方程a

7、x2 bx c 0的两个根冷雀，然后 再写成 ax2 bx c a(x X1)(x X2). xy 例:在实数范围内分解因式: 4.配方法的妙用 所谓配方，就是把一个多项式经过适 当变形配成完全平方式。配方法除一元二 次方程求根公式推导这一典型应用外，在 因式分解、化简二次根式、证明恒等式、 解方程、求代数式最值等问题中都有广泛 应用，是一种很重要、很基本的数学方法。 (1) x2 2x 1(2) 3x2 x 1 (3) 2x2 8x 3(4) 2 2 x 3xy 2 y 例1 . 分解因式x2 120 x 3456 例2.化简,7 2.五 例3.解方程 42 x 15x10 x 240 例4

8、.求 4x2 y2 2y 4x 15 的最 小值 二、拓展性问题 1 .回答下列问题： (1) 若方程(m2 2)x2 1 0有一个根是 1,则m的的值是多少？ (2) 已知2和一1是方程 2x2 mx n 0的两个根，求m和n的 值。 2 (3) 若方程3x 5x 2 0有一个根 2 是a,则6a 10a的值是多少 2 5.怎样巧用韦达定理解“看错数” 问题 小红和小明一起做作业，在解一道一 元二次方程时，小明在化简过程中写错了 常数项，因而得方程的两个根是 8和2; (4) 已知方程ax bx c(a 0)的一 个根是1，那么a b c的值是多 少 2.解方程 2 2 2 (1) (3y

9、y) 3(3y y) 2 元、 元、 (2) (t2 t 1)(t2 t 2)4 3. 已知m n是二次方程 x2 1999x 70的两个根，求 2 2 (m 1999m 6)(n2000n 8)的值。 4. 已知关于x方程 (a 2)x2 2(a 1) (a 1) 0 , a 为何 非负整数时，(1)方程只有一个实数 根(2)方程有两个相等的实数根？ (3) 方程有两个不相等的实数根 5. 在实数范围内分解因式: (1) 2x2 4x 3( 2) 4x2 4x 1 6. 对于向上抛的物体，在没有空气 阻力的条件下，有这样的关系: h vt 1 gt2 ,其中h是上升咼度，v是 初速，g是重力

10、加速度(为方便起见， 本题目g取10m/s2), t抛出后所经历的 时间,如果将一物体以v 25m/s的初 速度向上抛，物体何时处在离抛出点 20m高的地方 7. 某零售商购进一批单价为16元的玩具, 销售一段时间后，为了获得更多的利润， 商店决定提高销售价格.经过试验发现， 若按每件20元的价格销售时，每月能卖 360件;若按每件25元的价格销售时，每 月能卖210件,假定每月销售件数为(y件) 是价格y (元/件)的一次函数. (1) 试求y与x之间的关系式； (2) 在商品不积压且不考虑其他因素 的条件下，问销售价定为多少时，才能使 每月获得最大利润每月的最大利润是多 少 8. 根与系数

11、的关系： ( 2012内江市)若方程x2 px q 0的 两根分另I是x* ,那么 x! x PM1X2 q ,请根据以上结论, 解决下列问题： 已知关于x的方程x2 mx n 6(n0), 求出一个一元二次方程，使它的两个根分 别是已知方程两根的倒数 已知a, b 满 足 2 2 a 15a 50,b15b 5 0,求- -的 b a 值； 已知a,b,c满足a b c 0,abc 16,求 正数c的最小值. (2012孝感)已知关于x的方程 2 x (m 3)x m 10 求证:无论m为何值时，原方程总有 两个不相等的实数根. 若X1,X2是原方程的两根，且 x x222 ,求m的值和此时方程的 两根. 三、数学思考 小明有5张人民币，面值合计20元 (1) 小明