8.4-光子气体--热力学统计物理汪志诚

1、1 热力学热力学统计物理统计物理 回顾回顾 Chap.7 Chap.7 玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计 Chap.8 Chap.8 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计 8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 8.2 8.2 弱简并理想弱简并理想BoseBose气体和气体和FermiFermi气体气体 8.3 Bose Einstein 8.3 Bose Einstein 凝聚凝聚 新课新课 8.4 8.4 光子气体光子气体 2 知识回顾知识回顾: : 第七章第七章 Chap.7 Chap.7 玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计 粒子的配分函数粒子的配分函数Z1Z1 基本热力学函数、内能、基

2、本热力学函数、内能、 物态方程、熵、自由能物态方程、熵、自由能 系统的全部平衡性质系统的全部平衡性质 3 l eZ l l 1 1 ZeeeN l l l 1 lnZNeeU l l ll 1 lnZ V N p )ln(ln 11 ZZNkS !ln)ln(ln 11 NkZZNkS 1 lnZNkTF !lnln 1 NkTZNkTF lnkS 满足经典极限条件满足经典极限条件 的玻色和费米系统的玻色和费米系统 知识回顾知识回顾: : 第七章第七章 4 Chap.8 Chap.8 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计 8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 抛弃粒子轨道的

3、概念抛弃粒子轨道的概念 （1 1）微观粒子的能量和动量是不连续的）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2 2）微观全同粒子不可分辨）微观全同粒子不可分辨 （3 3）微观粒子的行为要满足不确定关系）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4 4）费米子受泡利不相容原理的限制）费米子受泡利不相容原理的限制 知识回顾知识回顾: : 8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 5 Bose Bose 系统系统FermiFermi系统系统 l l ll l e 1 l l ll l e 1 ln N ln U )lnln(ln kS )(lnUNk ln 1 y Y ln 1 V p lnkT N

4、TSUJ lnkS 知识回顾知识回顾: : 8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 6 知识回顾：知识回顾： 8.28.2弱简并理想玻色和费米气体弱简并理想玻色和费米气体 Chap.8 Chap.8 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计 Chap.7Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：中的经典极限条件（非简并条件）： 1 e 1 l l a 1 3 n ) 1( e 所谓所谓“弱简并条件弱简并条件”即气体的即气体的 1 e 2/3 2 1 ) 2 ( h mkT N V N Z e 很大很大 3 n很小，但不可忽略！很小，但不可忽略！ 7 知识回顾：知识回顾： 8.2

5、8.2弱简并理想玻色和费米气体弱简并理想玻色和费米气体 BoseBose气体气体 FermiFermi气体气体 BoltzmannBoltzmann气体气体 弱简并条件下的系统弱简并条件下的系统 内能的差异内能的差异 3 24 1 1 2 3 n g NkTU （1 1）第一项是根据）第一项是根据BoltzmannBoltzmann分布得到的内能分布得到的内能 （2 2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能，）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况下附加内能很小；弱简并的情况下附加内能很小； Fermi Fermi气体附加内能为正气体附加内能为正 等效的排斥作用等效的排斥作用 B

6、ose Bose 气体附加内能为负气体附加内能为负 -等效的吸引作用等效的吸引作用 8 一、理想一、理想Bose气体的化学势和临界温度气体的化学势和临界温度 Tc 二二. Bose Einstein 凝聚凝聚 三三. .TTc时，理想时，理想Bose气体的内能和热容量气体的内能和热容量 四四. .Bose凝聚条件凝聚条件 知识回顾：知识回顾： 8.3 Bose Einstein 8.3 Bose Einstein 凝聚凝聚 3/2 2 3/2 )612. 2( 2 n mk Tc 0 TTc时，就有宏观量级的粒子在能级时，就有宏观量级的粒子在能级=0凝聚，凝聚， 这一现象称为这一现象称为Bos

7、e-EinsteinBose-Einstein凝聚，简称凝聚，简称BoseBose凝聚。凝聚。 BoseBose凝聚体的凝聚体的E=0; ; P动量动量=0; S=0; P压强压强=0 T T TcTc时：时： n e d m h Tn kT 0 2/1 2/3 3 0 1 )2( 2 )( 2/3 0 770. 0 c T T NkTU 2/3 925. 1 2 5 cV v T T Nk T U T U C 612. 2 3 n 9 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 作为玻色统计的重要应用，本节根据作为玻色统计的重要应用，本节根据BoseBose分布讨分布讨 论平衡辐射问题。在

8、平衡辐射中，光子数不守恒。论平衡辐射问题。在平衡辐射中，光子数不守恒。 8.4 8.4 光子气体光子气体 热力学的结论：平衡辐热力学的结论：平衡辐 射的内能密度和内能密射的内能密度和内能密 度的频率分布只与温度度的频率分布只与温度 有关；有关；u=aT 4 。 能量均分定理给出：能量均分定理给出： 内能的频率分布在低内能的频率分布在低 频部分与实验相符；频部分与实验相符； 高频存在高频存在“紫外灾紫外灾 难难”。 10 一、普朗克公式一、普朗克公式 二二. .光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 1.1.辐射场模型和光子气体的化学势辐射场模型和光子气体的化学势 2.2.光子气体的量子态数光

9、子气体的量子态数 3.3.平均光子数平均光子数 4.4.辐射场的内能普朗克公式辐射场的内能普朗克公式 5.5.空窖辐射的内能空窖辐射的内能 6.6.维恩位移定律维恩位移定律(1893)(1893) 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 11 平衡辐射：考虑一个封闭的空窖，窖壁原子不断地平衡辐射：考虑一个封闭的空窖，窖壁原子不断地 向空窖发射并从空窖吸收电磁波，经过一定的时间向空窖发射并从空窖吸收电磁波，经过一定的时间 以后，空窖内的电磁辐射与窖壁达到平衡，称为以后，空窖内的电磁辐射与窖壁达到平衡，称为 “平衡辐射平衡辐射”，二者具有共同的温度，二者具有共同的温度T. 平衡辐射可以分解为

10、无穷多个单色平面波的叠加。平衡辐射可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。 对于电磁波，有对于电磁波，有 pk ck /k c 2 2 cp 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 一、普朗克公式一、普朗克公式 1. 1.辐射场模型和光子气体的化学势辐射场模型和光子气体的化学势 12 光子是光子是BoseBose子，达到平衡后遵从子，达到平衡后遵从BoseBose分布分布; ; 由于空窖不断地发射和吸收光子，光子气体中的由于空窖不断地发射和吸收光子，光子气体中的 光子数是不守恒的光子数是不守恒的-拉格朗日乘子只需引入拉格朗日乘子只需引入 。 光子气体的统计分布：光子气体的统计分布： 1 l

11、e a l l 1 l e a l l 1 1 l e a l l ?附加结论：附加结论： -光子气体的化学势为零光子气体的化学势为零. . kT 0 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 13 一、普朗克公式一、普朗克公式 二二. .光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 1.1.辐射场模型和光子气体的化学势辐射场模型和光子气体的化学势 2.2.光子气体的量子态数光子气体的量子态数 3.3.平均光子数平均光子数 4.4.辐射场的内能普朗克公式辐射场的内能普朗克公式 5.5.空窖辐射的内能空窖辐射的内能 6.6.维恩位移定律维恩位移定律(1893)(1893) 新课：新课：8.4 8

12、.4 光子气体光子气体 14 2. 2.光子气体的量子态数光子气体的量子态数 3 2 h dpdpVdp zyx 3 3 2 h dkdkdkV zyx 3 4 zyx dkdkVdk 3 2 4 sin dkddVk kp 辐射场的振动自由度：辐射场的振动自由度： d c V dD 2 32 )( ck 2 0 0 3 2 4 sindkddVk 辐射场的量子态数：辐射场的量子态数： d c V dD 2 32 )( 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 15 一、普朗克公式一、普朗克公式 二二. .光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 1.1.辐射场模型和光子气体的化学势辐射场

13、模型和光子气体的化学势 2.2.光子气体的量子态数光子气体的量子态数 3.3.平均光子数平均光子数 4.4.辐射场的内能普朗克公式辐射场的内能普朗克公式 5.5.空窖辐射的内能空窖辐射的内能 6.6.维恩位移定律维恩位移定律(1893)(1893) 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 16 3. 3.平均光子数平均光子数 d c V dD 2 32 )( 1 1 l e a l l 1 / 2 32 kT e d c V 4. 4.辐射场的内能普朗克公式辐射场的内能普朗克公式 1 ),( / 3 32 kT e d c V dTU 不同温度下的内能不同温度下的内能 随频率的分布随频率

14、的分布 普朗克公式普朗克公式 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 17 辐射场的内能普朗克公式辐射场的内能普朗克公式 1 ),( / 3 32 kT e d c V dTU 低频极限：低频极限： kT e kT 1 / kTd c V dTU 2 32 ),( 瑞利瑞利(1900)-(1900)-金斯金斯(1905)(1905)公式公式 高频极限：高频极限： 1 / kT e de c V dTU kT/3 32 ),( 维恩维恩(1896)(1896)公式公式 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 18 kTd c V dTU 2 32 ),( 瑞利瑞利(1900)-(19

15、00)-金斯金斯(1905)(1905)公式公式 de c V dTU kT/3 32 ),( 维恩维恩(1896)(1896)公式公式 说明：说明： 低频极限低频极限 能级间距能级间距 经典理论适用经典理论适用 kT e kT 1 / 1 / kT e 能级间距能级间距 的高频自由度被的高频自由度被 冻结在基态冻结在基态 kT kT 高频极限高频极限 需要量子理论需要量子理论 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 19 一、普朗克公式一、普朗克公式 二二. .光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 1.1.辐射场模型和光子气体的化学势辐射场模型和光子气体的化学势 2.2.光子气体的

16、量子态数光子气体的量子态数 3.3.平均光子数平均光子数 4.4.辐射场的内能普朗克公式辐射场的内能普朗克公式 5.5.空窖辐射的内能空窖辐射的内能 6.6.维恩位移定律维恩位移定律(1893)(1893) 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 20 5. 5.空窖辐射的内能空窖辐射的内能 0 3 4 32 1 x e dxxkT c V U 0 / 3 32 1 kT e d c V U kTx/ 1 ),( / 3 32 kT e d c V dTU )14.( 90 6 1 4 0 3 C e dxx x 4 33 42 15 VT c k U 4 aTu P66(2.6.3)P

17、66(2.6.3) 斯特藩斯特藩- -玻耳兹曼定律玻耳兹曼定律( ( ) ) 4 TJ u 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 21 一、普朗克公式一、普朗克公式 二二. .光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 1.1.辐射场模型和光子气体的化学势辐射场模型和光子气体的化学势 2.2.光子气体的量子态数光子气体的量子态数 3.3.平均光子数平均光子数 4.4.辐射场的内能普朗克公式辐射场的内能普朗克公式 5.5.空窖辐射的内能空窖辐射的内能 6.6.维恩位移定律维恩位移定律(1893)(1893) 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 22 6. 6.维恩位移定律维恩位移

18、定律(1893)(1893) T T=Constant =Constant 时，辐射场内能时，辐射场内能U U 随随 分布的极大值分布的极大值 1 ),( 3 4 32 x e dxxkT c V dTU 0 1 3 x e x dx d 0 1 ) 1(3 2 32 x xx e exex 033 xx xee 822. 2/kTxxe x 33 m与温度与温度T成正比成正比-维恩位移定律维恩位移定律(1893)(1893) 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 23 一、普朗克公式一、普朗克公式 二二. .光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 1.1.辐射场模型和光子气体的化学

19、势辐射场模型和光子气体的化学势 2.2.光子气体的量子态数光子气体的量子态数 3.3.平均光子数平均光子数 4.4.辐射场的内能普朗克公式辐射场的内能普朗克公式 5.5.空窖辐射的内能空窖辐射的内能 6.6.维恩位移定律维恩位移定律(1893)(1893) 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 24 二二. .光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 巨配分函数的对数巨配分函数的对数 d c V dD 2 32 )( l l l e)1ln(ln 0 2 32 )1ln( de c V kTx/ 0 2 332 )1ln( 1 lndxex c V x 采用分部积分采用分部积分 0 2

20、 )1ln(dxex x 3 ,ln(1) 3 x x uvvdvvdu uve 0 3 0 3 13 1 )1ln( 3 x x e dxx e x 0 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 25 0 2 332 )1ln( 1 lndxex c V x )14.( 90 6 1 4 0 3 C e dxx x 33 2 1 45 ln c V 0 3 0 2 13 1 )1ln( x x e dxx dxex 4 33 42 15 lnT V c k U 24 4 33 1 ln 45 k pT Vc up 3 1 0 3 0 3 0 2 13 1 )1ln( 3 )1ln( x

21、xx e dxx e x dxex 0 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 26 33 2 1 45 ln c V 4 33 42 15 lnT V c k U lnln kS Ukln 24 3 33 4 45 k V T c 0; 0ST 光子气体的熵随温度的趋于零而趋于零，符合光子气体的熵随温度的趋于零而趋于零，符合 热力学第三定律要求（热力学第三定律要求（P128P128，4.8.14.8.1式）式） 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 27 V Uc Ju 4 4 32 42 60 T c k Ju 平衡辐射的通量密度与内能密度的关系：平衡辐射的通量密度与内能密度

22、的关系： （P66P66，2.6.72.6.7式）式） 光子气体的辐射通量密度：光子气体的辐射通量密度： 也可通过计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁也可通过计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁 上光子所携带的能量，直截求得上光子所携带的能量，直截求得JuJu（参作业（参作业8.118.11题）。题）。 4 33 42 15 lnT V c k U （8.4.148.4.14式）式） 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 28 一、普朗克公式一、普朗克公式 二二. .光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 1.1.辐射场模型和光子气体的化学势辐射场模型和光子气体的化学势 2.2.

23、光子气体的量子态数光子气体的量子态数 3.3.平均光子数平均光子数 4.4.辐射场的内能普朗克公式辐射场的内能普朗克公式 5.5.空窖辐射的内能空窖辐射的内能 6.6.维恩位移定律维恩位移定律(1893)(1893) 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气体 29 小结：小结： 8.4 8.4 光子气体光子气体 d c V dD 2 32 )( 1 ),( / 3 32 kT e d c V dTU 低频极限：低频极限： kTd c V dTU 2 32 ),( 瑞利瑞利(1900)-(1900)-金斯金斯(1905)(1905)公式公式 高频极限：高频极限： de c V dTU kT/

24、3 32 ),( 维恩维恩(1896)(1896)公式公式 1 1 l e a l l 普朗克公式普朗克公式 30 小结：小结：8.4 8.4 光子气体光子气体 1 ),( / 3 32 kT e d c V dTU 空窖辐射的内能空窖辐射的内能 0 / 3 32 1 kT e d c V U 4 33 42 15 VT c k U 4 aTu 822. 2/kTx m 斯特藩斯特藩- -玻耳兹曼定律玻耳兹曼定律 m与温度与温度T成正比成正比-维恩位移定律维恩位移定律(1893)(1893) 31 33 2 1 45 ln c V 4 33 42 15 lnT V c k U 24 4 33

25、1 ln 45 k pT Vc up 3 1 l l l e)1ln(ln 光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 24 3 33 4 lnln 45 k V SkT c 0; 0ST 小结：小结： 8.4 8.4 光子气体光子气体 32 3 2 sin h ddpdVp 光子气体的统计分布为：光子气体的统计分布为： 例：证明（例：证明（8.118.11题）：题）： 1 l e a l l 体积体积V内，动量大小在内，动量大小在p到到pdp之间，动量方向在之间，动量方向在 d ， d范围内，自由粒子可能的微观态数范围内，自由粒子可能的微观态数 为：为： 单位体积内，动量大小在单位体积内，动量大小在p到到pdp之间，动量方向在之间，动量方向在 d ， d范围内，平衡辐射的光子数为：范围内，平衡辐射的光子数为： 1 sin2 2 3 cp e ddpdp h 新课：新课：8.4 8.4 光子气体光子气