根据其它数学模型建立状态空间模型

1、1 Ch.2 Ch.2 控制系统的状态空控制系统的状态空 间模型间模型 2 2.3 根据其它数学模型建立状态空间模型根据其它数学模型建立状态空间模型 本节讨论由描述线性定常系统的其它数学模型, 通过选择适当 的状态变量建立系统的状态空间模型. 由系统的输入输出关系模型求其状态空间模型的问题称为系 统的实现问题 本节的内容为： 由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型 由系统方框图建立状态空间模型由系统方框图建立状态空间模型 3 2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型 本节主要讨论

2、由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统 的状态空间模型,分别讨论由 不含输入量导数项和不含输入量导数项和 含输入量导数项的含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型. 本节关键问题: 如何选择状态变量 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变 4 微分方程中不包含输入量的导数项(1/9) 1. 微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项 q 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含 有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为 y(n) a1y(n-1) any bu (2.1) 其中y和u分别为系统的输出和输入, n为系统的阶次. 这里所要研究的是建立上述常微

3、分方程描述的动态系 统的如下状态空间模型 本节问题的关键是如何选择状态变量 AB CD xxu yxu 5 微分方程中不包含输入量的导数项(2/9) q 由微分方程理论知, 若初始时刻t0的初值y(t0), y(t0), , y(n1)(t0)已知, 则对给定的输入u(t), 微分方程(2.1)有唯一解, 也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定. 因此,选择状态变量如下 x1(t) y(t), x2(t) y(t), , xn(t) y(n-1)(t) 可完全刻划系统的动态特性 取输出 y 及其各阶导数为状态变量,物理意义明确,易于 接受 6 微分方程中不包含输入量的导数项(3/9) q

4、 将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下 状态方程 12 1 11 . . nn nnn xx xx xa xa xbu 和输出方程 y x1 7 微分方程中不包含输入量的导数项(4/9) q 将上述状态方程和输出方程写 成矩阵形式有 其中x x1, x2, , xnT, u u, y y. xy uxx 0001 0 0 0 1000 0100 0010 121 baaaa nnn 12 1 11 . . nn nnn xx xx xa xa xbu 微分方程: y(n) a1y(n-1) any bu 状态变量: x1 y, x2 y(1), , xn y(n-1) 8 微分

5、方程中不包含输入量的导数项(5/9) q 该状态空间模型可简记为: 其中 AB C xxu yx 001 0 0 100 010 11 C b B aaa A nn 9 微分方程中不包含输入量的导数项(6/9) 上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程 (2.1)中的系数a1, a2, an之间,输入矩阵B与方程(2.1)中系数 b之间的对应关系. 通常将上述取输出y及其各阶导数为状态变量称为相变量. 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后 一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个 n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵. 10 微分方程中

6、不包含输入量的导数项(7/9) q 上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示 b u -a1 1 -a2 2 -an-1 -an n x u xn xn-1 x2 x1 y 12 1 11 . . nn nnn xx xx xa xa xbu y x1 11 微分方程中不包含输入量的导数项(8/9) q 例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y” 6y” 11y 6y 2u q 解 本例中 a1 6, a2 11, a3 6, b 2 因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时, 可得状态空间模型如下 xy uxx 001 2 0 0 6116 100 010 12 微

7、分方程中不包含输入量的导数项(9/9) 其系统结构图如下所示 6 -6 1 -11 2 -6 3 x u x3 x2 x1 y xy uxx 001 2 0 0 6116 100 010 13 微分方程中包含输入量的导数项(1/10) 2. 微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项 q 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方 程的一般表达式为 y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu 本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间数学模型-状态空间模型 AB CD xxu yxu 建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量 14

8、 微分方程中包含输入量的导数项(2/10) q 若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t) y(t), x2(t) y(t), , xn(t) y(n-1)(t) 则可得如下状态方程 121 ( ) 110 . . nn n nnnn xxxx xa xa xb ub u 上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微 分方程解的存在性和唯一性的条件不成立. 因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接 将输出y的各阶导数项取作状态变量. 15 微分方程中包含输入量的导数项(3/10) q 为避免状态方程中显式地出现输入的导数,通常, 可利用输出y和输入u以及其各阶导

9、数的线性组合来组 成状态变量,其原则是: 使状态方程中不显含输入u的各阶导数 基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面只介绍一 种 16 微分方程中包含输入量的导数项(4/10) q 根据上述原则,选择状态变量如下 其中i(i=0,1,n)为待定系数。对各式两边求导数得到: )( 021 )( 1 )1( 032 )1( 1 23012 1201 n nn n n nn n nn n n uuuyx uxuuuyx uxuuyx uxuyx )1( 021 )1( 0123 012 01 n nn n n uuuyx uuuyx uuyx uyx y(n)+a1y(n-1)+any = b0u

10、(n)+bnu 17 微分方程中包含输入量的导数项(5/10) 因此,有 )( 0 )1( 1 )2( 21 )( 0 )1( 1 )2( 21 01 0121 )2( 03212 )1( 0 )2( 1211 )( 021 )( 01 1 )1( 1 )( )( )( )( nnn n nnn nn n n n nnn nn nnn n nn n nn nn n n uuuu ububububub uxa uuxa uuuxa uuuuxa uuuububub yayayax )1( 021 )1( 0123 012 01 n nn n n uuuyx uuuyx uuyx uyx 18 微

11、分方程中包含输入量的导数项(6/10) 因此,有 )( 0 )1( 1 )2( 21 )( 0 )1( 1 )2( 21 01 011121 )2( 02322212 )1( 01 )2( 1121111 nnn n nnn nn nn nnn n nnn nn nnnn uuuu ububububub uaxa uauaxa uauauaxa uauauauaxax 0 0 0 0 n 19 微分方程中包含输入量的导数项(7/10) 若待定系数i(i 0,1,n)满足如下关系式 0 b0 1 b1 a10 2 b2 a11 a20 n1 bn1 a1n2 an1 0 则有 uaaaab xa

12、xaxaxa ubuauauaua xaxaxaxax nnnnn nnnn nnnnn nnnnn 0112211 121121 0112211 121121 n 20 微分方程中包含输入量的导数项(8/10) i (i 0,1,n)满足: 0 b0 1 b1 a10 2 b2 a11 a20 n1 bn1 a1n2 an1 0 n bn a1n1 an1 1 an 0 xi 满足: uxx uxx uxx nnn11 232 121 uxaxaxaxax nnnnnn 121121 21 微分方程中包含输入量的导数项(9/10) 待定系数: 状态方程: 输出方程: nnnnn b b b

13、b aaa aa a 2 1 0 2 1 0 21 12 1 1 01 001 0001 u aaaa n n nnn 1 2 1 121 1000 0100 0010 xx uuxy 001 0001 x 微分方程: y(n)+a1y(n-1)+any = b0u(n)+bnu )1( 021 )1( 0123 012 01 n nn n n uuuyx uuuyx uuyx uyx 状态变量： 22 微分方程中包含输入量的导数项(10/10) q 上述实现状 态空间模型 的模拟结构 图如右图所 示 -a1 -an-1 -an n x xn x1 n u n-1 1 1n x x2 y 0

14、1 x u aaaa n n nnn 1 2 1 121 1000 0100 0010 xxuuxy 001 0001 x 23 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(1/5) 2.3.2 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型 q 下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的 状态空间模型 关键问题: 1. 如何选择状态变量 2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变 q 由于传递函数与线性常系数常微分方程有直接的对应关系, 故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方 法同样适用于将传递函数模型变换为状态空间模型. 类似地,本节讨论的由传递函数

15、建立状态空间模型的方 法亦适用于对微分方程建立状态空间模型. 24 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(2/5) q 实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母 多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数. 而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真 有理传递函数. q 本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动 态行为的如下传递函数 1 01 0 1 01 . ( )(0) . nn n nn n b sb sb G sa a sa sa 25 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(3/5) 对上述传递函数,由长除法,有

16、1 01 1 01 1 110000 0 1 010 . ( ) . /./ . ( ) nn n nn n n nn nn n b sb sb G s a sa sa ba b asba b a b a sa saa G sd 其中 0 0 00 0 1 1 1 1 . . )( a abb b a a a a b d asas bsb sG ii i i i n nn n n 26 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(4/5) 本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的 状态空间模型(A,B,C,D) q 上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D

17、; 严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的 (A,B,C), 即 S G(s) (A,B,C) d D 27 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(5/5) q 下面分传递函数 极点互异和极点互异和 有重极点有重极点 两种情况讨论如何建立状态空间模型 28 传递函数中极点互异时的变换(1/8) 1. 传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换 q 对于传递函数G(s),其特征方程为 sn+a1sn-1+an= 0 若其特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异,则用部分分式法可 将G(s)表示为如下并联分解 其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式

18、为 1 112 1212 . ( ). ( - )( - ).( - )- n nn nn b sbkkk G s s ss ss ss ss ss s i ssii sssGk )-)( 29 传递函数中极点互异时的变换(2/8) q 下面以k1计算式的推导过程为例说明的ki的计算式 将G(s)乘以s-s1,有 因此,由于特征根s1,s2,sn互异, 有 )-( - . - )-)( 1 2 2 11 ss ss k ss k ksssG n n 1 )-)( 11ss sssGk q 下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型 30 传递函数中极点互异时的变换(3/8) q 考虑到,输

19、出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足 因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足 则,经反变换可得系统状态方程为 )( - .)( - )( - )()()( 2 2 1 1 sU ss k sU ss k sU ss k sUsGsY n n nisU ss sX i i ,.,2 , 1)( - 1 )( 1,2,., iii xs xuin 31 传递函数： 传递函数中极点互异时的变换(4/8) q 相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为 Y(s) = k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s) 因此,经拉氏反变换可得如下输出方程 y = k1x1+k2x2+knxn q 整理上

20、述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型 1 2 12 0.01 0.01 . 00.1 . n n s s s kkk xxu yx 1 112 1212 . ( ). ( - )( - ).( - )- n nn nn b sbkkk G s s ss ss ss ss ss s )( - 1 )(sU ss sX i i 状态变量： i ssii sssGk )-)( 32 传递函数中极点互异时的变换(5/8) q 上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个 重要特征,即A为对角线矩阵 u xn x1 k1 k2 kn y x2 1 s-s1 1 s-s2 1 s-sn 系统矩

21、阵A具有上述对角线 形式的状态空间模型即为 下一节将详细讨论的所谓 对角线规范形 事实上, 对角线规范形其实对角线规范形其实 是将系统转换为是将系统转换为n个一阶子个一阶子 系统系统(惯性环节惯性环节)的并联的并联, 如 右图所示 对角线规范形的结构图 33 传递函数中极点互异时的变换(6/8) q 例 用部分分式法将2.3.1节例子中微分方程对应的下述传递 函数变换为状态空间模型 32 2 ( ) 6116 G s sss 34 传递函数中极点互异时的变换(7/8) q 解解 由系统特征多项式 s3 6s2 11s 6 可求得系统极点为 s1 1 s2 2 s3 3 于是有 3 3 2 2

22、1 1 321 )()( 2 )( ss k ss k ss k ssssss sG 其中 11 22 33 ( )(1)1 ( )(2)2 ( )(3)1 s s s kG s s kG s s kG s s )3)(2)(1( 2 )( sss sG 35 传递函数中极点互异时的变换(8/8) q 故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节 的输出, 可得如下状态空间模型 1001 0201 0031 121 xxu yx q 将上述结果与2.3.1节例子的结果相比较可知,即使对同一个系 统,采用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态 空间模型。 即,状态空间模型不具

23、有唯一性。 36 传递函数中有重极点时的变换(1/13) 2. 传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换 q 当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式 n n ss k ss k ss k sG - . - )( 2 2 1 1 的情况,亦得不到只有单极点情形时的对角线规范形状态方程 q 不失一般性, 为清楚地叙述变换方法, 以下设系统特征方程有6 个根,其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1为3重极点,s5为2重极点. 相应地,用部分分式法可将所对应的传递函数表示为 37 传递函数中有重极点时的变换(2/13) 其中kij为待定系数,其计算公式为 5 52 2

24、 5 51 4 41 1 13 2 1 12 3 1 11 2 54 3 1 54 5 1 -)-(-)-()-( )-)(-()-( . )( ss k ss k ss k ss k ss k ss k ssssss bsbsb sG ljsssG sj k i ss l i j j ij ,.,2 , 1)-)( d d )!1-( 1 1 - 1 - 其中l为极点si的重数. 38 传递函数中有重极点时的变换(3/13) q 下面以系数k13的计算公式的推导为例来说明kij的计算式 将G(s)的两端乘以(s-s1)3 ,有 32 111121131 3515241 1 2 455 ( )

25、( - )( - )( - ) ( - ) -( - )- G s s skks sks s kkk s s s ss ss s 1 2 3 131 2 1 d ( )( - ) 2!d s s kG s s s s 对等式两边求2次导数后 22 33515241 1131 222 455 dd ( )( - )2( - ) dd-( - )- kkk G s s sks s sss ss ss s 因此，有 39 传递函数中有重极点时的变换(4/13) q 下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型 q 如何选择状态变量如何选择状态变量? 考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足

26、 )( - )( )-( )( - )( - )( )-( )( )-( )()()( 5 52 2 5 51 4 41 1 13 2 1 12 3 1 11 sU ss k sU ss k sU ss k sU ss k sU ss k sU ss k sUsGsY 40 传递函数中有重极点时的变换(5/13) q 选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足 )( - 1 )()( )-( 1 )( )( - 1 )( )( - 1 )()( )-( 1 )()( )-( 1 )( 5 6 2 5 5 4 4 1 3 2 1 2 3 1 1 sU ss sXsU ss sX sU ss sX s

27、U ss sXsU ss sXsU ss sX 则有 )( - 1 )( )-( 1 - 1 )( 2 1 2 11 1 sX ss sU ssss sX )( - 1 )( )-( 1 - 1 )( 3 111 2 sX ss sU ssss sX )( - 1 )( )-( 1 - 1 )( 6 555 5 sX ss sU ssss sX 41 传递函数中有重极点时的变换(6/13) 即有 则经反变换可得系统状态方程为 12233 111 4 4 566 55 111 ( )( )( )( )( )( ) - 1 ( )( ) - 11 ( )( )( )( ) - X sXsXsXsX

28、sU s s ss ss s XsU s s s XsXsXsU s s ss s 11122123313 444 5556656 xs xxxs xxxs xu xs xu xs xxxs xu 42 传递函数中有重极点时的变换(7/13) q 相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为 Y(s) k11X1(s) k12X2(s) k13X3(s) k41X4(s) k51X5(s) k52X6(s) 经拉氏反变换可得如下输出方程 y k11x1 k12x2 k13x3 k41x4 k51x5 k52x6 43 传递函数中有重极点时的变换(8/13) q 因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型

29、 1 1 1 4 5 5 111213415152 10 10 1 1 10 1 s s s s s s kkkkkk xxu yx 44 传递函数中有重极点时的变换(9/13) q 上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个 重要特征,即A为块对角矩阵,且每个矩阵方块为只有一个重特 征值的特定矩阵块(约旦块)。 系统矩阵A具有上述特定块对角形式的状态空间模型即 为下一节还将介绍的所谓约旦规范形。 事实上, 约旦规范形是将系统转换为多个子系统(惯性环 节)的串-并联。 如下图所示。 45 传递函数中有重极点时的变换(10/13) 1 s-s1 x3 x6 x5 x4 x2 x1 k1

30、1 k12 k13 k41 k52 k51 u y 1 s-s5 1 s-s5 1 s-s4 1 s-s1 1 s-s1 46 传递函数中有重极点时的变换(11/13) q 例 用部分分式法将下述传递函数变换为状态空间模型 485 24142 )( 23 2 sss ss sG 47 传递函数中有重极点时的变换(12/13) q 解解 由系统特征多项式 s3+5s2+8s+4 可求得系统有二重极点s12和单极点s21,于是有 3 31 1 12 2 1 11 )( )( ss k ss k ss k sG 其中 12)1)( 10)2)( d d 4)2)( 131 2 2 12 2 2 11 s s s ssGk ssG s k ssGk 48 传递函数中有重极点时的变换(13/13) q 故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环 节的输出,可得如下状态空间模型 2100 0201 0011 41012 xxu yx 49 由系统方框图建立状态空间模型由系统方框图建立状态空间模型(1/5) 2.3.3 由系统方框图建立状态空