三角形射影定理

1、附件1: 论文编号： （由教研室统一按市、县编码编号） 贵州省教育学会2018年教育教学科研论文、教学（活 动）设计征集评选登记表（征文封面） 学科类别（不要以编号代替）:中学数学 论文题目 斜三角形射影定理的证明及应用教学设计 作者姓名 瞿小蛮学校名称贵州省盘州市第二中学 课题组 成员姓名 学校地址 六盘水市盘州市双凤镇 联系电话 移动电话在高中数学里，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边、角关系的两个最常 用、最重要的定理。斜三角形的射影定理也是沟通边、角关系的重要定理。有 时解题，应用射影定理，比较正弦定理和余弦定理，更加方便、简洁，本 文将介绍斜三角形射 影定理的

2、内容、证明方法及应用。射影定理三角形的任意 一边等于其余两边在这边上的射影之和。即任意三角形的射影定理可表示成： （1） a =b cosC+c cosB。 （2） b =c cosA+a cosCD （3） c = 个人诚信承诺（在括号内打丁 ”）： lo所写论文为本人原创，并非从网上直接下载或抄袭他人（丁） 2o所写案例真实，源于本人亲历的课堂（丁） 教材分析 学情分析 斜三角形射影定理的证明及应用 学生已经学习了正弦定理和余弦定理及向量的相关知识，在此基础上进行探 讨斜 三角形的射影定理知识，符合学生的认知规律。 重点和难点： 重点：斜三角形射影定理的证明方法和应用。难点：斜三角形射影定

3、理的理 解和应用。 教学目标：知识与技能：掌握斜三角形射影定理的内容和几种证明方法。数 学思考：在学习正弦定理和余弦定理之后，通过对解三角形求角问题的思考， 对一类求角问题进行思考，从而斜三角形射影定理。 在锐角 ABC中， 过点A作BC边上 的高AD则AB在BC 边上的射影为BD, AC在BC边上的射 影为 CD, BC=BD+C 即 D 在 Rt AABC 中, B=90 ,则 AB 在 BC 边上的射影为点B (D) , AC在EC边上 的射影CD,而 BC-BD+C, D 即 a= 在钝角 ABC中， 过点A作BC边上 的高AD,则AB在 BC边上的射影 BD, AC在BC边上 的射影

4、DC,而BC= CD-BD,即 a= 设计意图：理解斜三角形射影定理几何意义，从而使学生更容易理解解斜三角 形射影定理。 5、斜三角形射影定理的变形 在厶 ABCb 2 c2 中，b cosC-c cosB=b c , 22 _ c cosA-a cosC= c _a b 22 (3)a cosB-b cosA= a c 设计意图：T解斜三角形射影定理变形。 二、三角形射影定理的应用 1、在厶AEC中，角A, B,C所对的边分别是a, b, c,满足: 3a cosA=c cosB+b cosC, 贝Q cosA= o 理知 c cosB+b cosC=a,所以 3a cosA=a,即 cos

5、A= 1 2、在厶AEC中，角A, B,C所对的边分别是a, b, c,满足(2b- c) cosA=a cosC,贝【J A= o 解：由(2bc) cosA=a cosC,得 2b cosA=a cosC+ c cosA,射影定理知 a cosC+ c cosA=b 所以 cosA= o 2 则 A= 60 o 3、在厶AEC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,满(cosA- 2cosC)b=cosB(2ca), 则 c 解：由(cosA-2cosC) b=cosB (2ca)得,a cosB+b cosA=2 (b cosC +c cosb),射影定理知，a cosB+b

6、cosA=c, b cosC+c cosB,所以 c=2a,即 al o c2 4、在厶AEC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,满a cosC= (2bc) cosA,贝！J A= o 解：由 a cosC= (2bc) cosA 得 a cosC+c cosA=2b cosA,射影定理知 1 a cosC+c cosA=b 所以 cosA=,所以 A=60。 2 5、在厶AEC中，角A, B,C所对的边分别是a, b, c,满足 a=b cosC+c sinB 贝lj B=。 解：由射影定理知 c cosB+b cosC=a,所以 c cosB+b cosC= b cosC+

7、c sinB ,所以cosB= sinB ,所以B=45。设计意图：学生能 够熟练的理解斜三角形射影定理，并能用来处理求角求值问题。 三、知识小结 1、斜三角形射影定理 在厶AEC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c: a=b cosC + c cosB, b = c cosA+a cosC, c = a cosB+b cosAo 2、斜三角形射影定理的证明 3、斜三角形射影定理的应用 设计意图:进一步理解斜三角形射影定理。 四、布置作业 1、在厶AEC中，角A, B,C所对的边分别是a, b, c,已知 (2a+b) cosC+c cosB=0o ( I ) 求角 C 的大小？(

8、 II )、若 c=3,则 ABC的面积的最大值是多少？ 2、在厶AEC中，角A, B,C所对的边分别是a, b, c,已知2cosC (a cosB+b cosA) =co (I )、求角C的大小？ (II)、若c 7, AABC的面积为33 ,求厶AEC的周长？ 2 3、在厶AEC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且b sinC+c cos) =ao ( I )、求角C的大小？ (II ) 若b=4, c=3,求厶AEC的面积。 在厶AEC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,若向量m= (b2c, cosB), 向量 n= (-a, cosA) (I )、求角

9、A的大小？ II)已知 AEC的外接圆的半径为23 , AABC的面积为53 ,求厶AEC的周 34 在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,若向量m= (cosC, 1),向量 n= (-2, acosB+bcosA),且向量 m丄向量 n (I )、若 c 7b , Saabc 2 3,求 b (II )若sinAcosA = sinA +cosA ,求实数的取值范围。在厶ABC中，角 A, B, C所对的边分别是a, b, c,且2a cosC=2b+c ( I )求角A的大小； (II)若c 2 ,角B的平分线BD 3 ,求厶ABC的周长。 在厶ABC中，角A, B

10、, C所对的边分别是a, b, c,且2a cosC=2b+c ( I )求 角A的大小； (ID b c 2 , D 为 AC 上一点，且 2AD=DC 求，BD. 在厶ABC中，角A, B,C所对的边分别是 a, b, c, c=2b=2, 2b cosA+a cosC+c cosA=0 (I)求a及角A的大小；(II )求AD的长度。 在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且2a cosB=2c-b I)求角A的大小; II)若厶ABC的面积S 7, D为BC的中点，AD 罗,求b+c。 在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且b sinC+c

11、 cosB=a (I) 求角C； (II) 若b=4, c=3,求厶ABC的面积。 在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c, 3a b (sinC 3 cosA) o (I )求角B的大小； (II )若b二2,求a+c的取值范围。 在厶AEC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且ctanC二3 (a cosB bcosA) o ( I )求角C的大小； (II)若c二2 3,求厶ABC面积的最大值。 在厶ABC中，角A, B,C所对的边分别是a, b, c,已知 C ,(2a b) cosA acosB c 0。 (I )求 E (II)若c=2,求厶ABC面积 (注：待优生完成第(I )问即可)