2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)(46)

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷） 理科 一、选择题 1. 设集合 M 二x|x2 二 x， N=x|lgx_0，则 MUN 二 A. 10,1 B . （0,1 C . 0,1） D . （：,1 【答案】A 【解析】因为M =0,1, N =x 0 1 12.对二次函数f (x) =ax2+bx+c ( a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有 且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(). A. -1是f (x)的零点 B . 1是f(x)的极值点 C. 3是f (x)的极值 D. 点(2,8)在曲线y = f(x)上 【答案】A 【解析】由题意可知四个选项中，必有3

2、个同时正确假设(B) , ( C) , ( D)正确，由(B), 2 (C)正确，可设f(X )=a(x1 ) +3，将点(2,8)代入函数得a = 5，符合题意，即假设 正确，所以结论(A)必错 二、填空题 13. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 【答案】5 【解析】设该数列为乩1 ,首、末项为a1,an ,当n为奇数2k 1时，有 a1 a2k 1 =2ak 1=2 1010 ,得 a 5 ；当 n 为偶数 2k 时，有 a1 a?k =ak ak 1 = 2 1 0 ,得印=5. 14. 若抛物线y2=2px(p 0)的准线经过双曲线 x2-y2

3、=1的一个焦点，贝U p=. 【答案】 2.2 【解析】因为双曲线x2y2=1中，a2=b2=1，所以c = 2 . 依题意，直线x =-经过点(- 2,0)，所以-卫二72，得p = 22 . 2 2 1 15. 设曲线y =ex在点(0,1 )处的切线与曲线 y =-(x . 0)上点P处的切线垂直，则 P的 x 坐标为 【答案】(1,1) 1 【解析】 由yex，得曲线y二ex在点(0,1)处的切线斜率等于 e0 =1.又对y 求导， x 111 得 y 2，设 P(m, )(m 0)，则 2 = -1，解得 m = 1，于是 P(1,1). xmm 16. 如图，一横截面为等腰梯形的水

4、渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中 虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】6 5 【解析】由高及腰与水平面夹角等于45，知等腰梯形的下底边长为10 - 2 2 = 6，所以 1 梯形的面积S1(10 6) 2=16.以下底边中点为原点，向右为x轴正方向建立直角坐标 2 系，则抛物线方程为y=2x2 (-5_x_5),那么有泥沙时水流量的面积 25 5 2 240S16 S2 =22 5x dx.故原始最大流量与当前最大流量的比值为- 0 253S25 三、解答题(本大题共6小题，共70分解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤) 17. (本小题满分12分)

5、 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a , b , c 向量陰=a,*3b与n= cosA,sinB 平行. (I)求 A; (n)若 a 一7 , b=2，求 ABC 的面积. 解：(I)因为 m / n，所以 a sin B -,；3bcos A 二 0 , 由正弦定理，得 sin As in B - . 3 s in B cos A 二 0 , 又 sin B = 0，从而 tan A = - 3 , 环 由于0 ： A二，所以A . 3 (n)解法一由余弦定理，得a2二b2 c2-2bccosA, 得 7 = 4+c2 2c,即卩 c2 2c 3 = 0, _ 33 2 . LJ 而

6、 a = 7, b=2 , A = 3， 因为c 0，所以c =3. 1 故ABC的面积为-bcsin A 2 解法 由正弦定理，得一丄 sin B sin 3 J21 ，从而 sin B =- 7 又由a b，知A . B，所以cosB 故 si nC 二sin (A B)二si n(B ) 所以 ABC的面积为absinC二兰 2 2 18.(本小题满分12分) 二 sin BcoscosBsin 3 3 21 -14 JT 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC , . BAD = , AB 二 BC = 1 , 2 AD的中点，O是AC与BE的交点将 ABE沿BE折起到.A1B

7、E的 位置，如图2 (I)证明：CD 平面A,OC ； (n)若平面 ABE _平面BCDE，求平面 ABC与平面A1CD夹角的 余弦值. 解：(I)在图1中，因为AB二BC =1, AD =2 , E是AD的中点， 算 BAD ，所以 BE _ AC . 2 即在图2中，BE _OA1,BE _OC,从而BE _平面AOC , 又CD/BE，所以CD _平面AOC . (n)由已知平面 ABE _平面BCDE，又由(I)知， BE _ OA,BE _ OC, it 所以 AOC为二面角A - BE -C的平面角，所以 AOC . 2 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为AB = AE

8、=BC =ED =1 , BC/ED , 2 2 二 BE = -、2,0,0 . 得BC - 设平面A1BC的法向量 2 2 2 2 所以B唾,0,0 ,E 迈 ,0,0 ,A 0,0,= ,C 0, = ,0 , ，平面ACD的法向量= x2,y2,z2，平面ABC mLBC =0,/曰 与平面ACD夹角为日，则$4二4得叫 LA1C 0, 严+“ 00,取：=(1,1,1)； % -乙=0, 占竺二0, n2LA|C = 0, 得X2 P 72 -z0, 取 n 0,1,1, 从而 cos日=cos n,巳 绍=-r=尸 2=6 3 23 即平面A1BC与平面ACD夹角的余弦值为一 3

9、19.(本小题满分12分) 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T , T只与道路畅通状况有关， 对其容量为100 的样本进行统计，结果如下： T (分钟) 25 30 35 40 频数(次) 20 30 40 10 (I)求T的分布列与数学期望 ET ; (H)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校 区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解：(I)由统计结果可得 T的概率分布为 T (分钟) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T的分布列为 T 25 30 35 40 P 0.2

10、 0.3 0.4 0.1 从而 ET =25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 =32 (分钟) (U)设壬“2分别表示往、返所需时间，h,T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.设 事件A表示“刘教授共用时间不超过 120分钟”，由于讲座时间为 50分钟，所以事件 A对 应于“刘教授在路途中的时间不超过 70分钟”. 解法一 P(A)二 P(T1 T2 乞 70) = P(T1 -25,T2 45) P(T30,T2 40) P(h =35,T2 乞 35) P(T1 -40,T2 30) = 0.2 1 0.3 1 0.4 0.9 0.1 0.5 = 0.91. 解法二 P

11、(A)二 P(T1 T2 70) = P(T1 二 35,T2 = 40) P(X 二 40卫二 35) P(T1 -40,T2 -40) = 0.4 0.1 0.1 0.4 0.1 0.1 =0.09. 故 P(A) =1 -P(A)=0.91 . 20.(本小题满分12分) 2 2 已知椭圆E:务斗=1 ( a b 0)的半焦距为c ,原点O到经过 a b 1 两点c,0 ,0,b的直线的距离为丄c . 2 (I)求椭圆E的离心率； 5 (n)如图，AB是圆M: x，2 y-1的一条直径，若椭 圆E经过代B两点，求椭圆E的方程. 解：(I)过点 c,0 ,0,b的直线方程为bx，cy-bc

12、 = 0 , bc bc c _3 a 一 2 则原点O到该直线的距离d爲， 由d = *,得a = 2b =2、.、a2 -c2，解得离心率 (n)解法一 由(I)知，椭圆 E的方程为x2 4y4b2. 依题意，圆心 M(-2,1)是线段AB的中点，且 AB =10. 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y = k(x 2) 1，代入得 (1 4k2)x2 8k(2k 1)x 4(2k 1)2 _4b2 =0. 58k(2k+1)4(2k+1)2-4b2 设 A(X1, y1), B(X2, y2)，则为 x?2 公风： 1 +4k 8k(2k+1),初沖,1 =-4，得24，解得k . 1

13、+4k22 = 8-2b2. 由 x-ix2 从而x-x2 1 2 由 AB =710，得 J10(b2 2 )=710，解得 b2 =3 AB 为x2 = -j(X1 +X2 ) 4x1x2 1 4k2 ,10 b2-2 . 2 2 故椭圆E的方程为y 1. 123 解法二 由(I)知，椭圆 E的方程为x24y2 =4b2. 依题意，点A,B关于圆心M(-2,1)对称，且 AB 10. 设 A(X1,yJ B(X22)，则 X2 4y2=4b2,x； 4y；=4b2, 两式相减并结合为 x2- -4 ,y1y2，得-4(x x2)8(- y2)= 0. 易知AB与x轴不垂直，则xi = x2

14、 , 所以AB的斜率kAB二必一士. 片x22 因此直线 AB的方程为y =1(x 2) 1，代入得x2 4x 8-2b2 = 0. 所以 x x2 =-4 , X1X2 =8-2b2. AB = 1百 由 AB =710，得 Jio(b2 2 )=怖，解得 b2 =3 X X2 X1 X2 2 4x1X2 二 10 b2 - 2 . 2 故椭圆E的方程为L 12 21.(本小题满分12分) fn X是等比数列1， 2 -1. 3 I)证明 x , x2，xn的各项和，其中x 0, n匚,n-2 . :函数Fn x = fn x -2在丄，1内有且仅有 2 个零点(记为xn ),且 1 1 n

15、 1 Xn =十 一 Y n ; 2 2 (H)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn X，比较fn X和gn X的大小，并加以证明. 解: (I) Fn x = fn x -1 x xH xn -2, 则 Fn 1-1 0, n“1 1 (1 ) +- + - 2辽丿 了+川+ 辽丿 彳1 n1 - ) 12 丿 1 t -2=笃-厂0, 11 2 2 所以Fn X在i 1,1 J内至少存在一个零点 12丿 又Fn/ x=12x|nxnJ 0,故Fn x在1,1内单调递增, 所以 Fn(X )在.J,1内有且仅有一个零点 X 1 _X 因为Xn是Fn X

16、的零点，所以Fn Xn =0,即 匚- 2 = 0 ,故X, 1 -Xn 2 设 h x 二 fn(x) - gn x =1 x X2 IH Xn _(n 1)(1 X),x 0. (n)解法一由题设，gn x (n 1)(1 X) 当 x =1 时，fn(X)二 gn X 当 x=1 时，h x =1 2x 川 nxnJ n(n 1)X 若 0 ：. x :：: 1, h/ x2x2 III nxnd n(n 1)xnJn(n 1) nn(n 1)xnJ x 若 x 1,h/ x ：xn2xn 山 nxn4 0. 2 2 2 n(n +1)xnJn(n +1) n_i n(n +1)xn*

17、X 2 2 所以h x在0,1上递增，在1, ：上递减， 所以 h X : h 1 =0 ,即 fn(X)5 X 综上所述，当 X1 时，fn(X)=gn X ；当 X = 1 时，fn(X)：gn X 由题设，fn(x) =1 x x2 III xn, gn x -(n 1)(1 x ),x 0. 解法 2 当 X 时，fn(X)二 gn X 当x =1时，用数学归纳法证明fn(x) ： gn X . 1 2 当 n =2时，f2(x) - g? x = - 1 -x ： 0 ,所以 f2(x) ： g? x 成立 假设n二k(k -2)时，不等式成立，即fk(x)： gk x 那么，当n

18、=k 1时， 2xk1 (k 1)xk k 1 k 1k 1 (k 1)(1 X) k 1 fk 1(x) = fk X Xgk X XX 口2xk4r+(k+1)xk+k+1 kxk+(k+1)xk+1 又 gk 1 (x) - 令 h x 二 kxk 1 -(k 1)xk 1(x0), /kk 1k 1 则 h x=k(k 1)x -k(k 1)x=k(k 1)x (x-1). 所以当0 : x : 1时，h/ x : 0 , hk x在0,1上递减； 当x 1时，h/ x，0, hk x在1：上递增. 2xk 1 (k 1)xk k 1 所以 h xhk 1 =0，从而 gk 1 (x)

19、 2 故fk 1(x) ： gk 1(x)，即n = k 1时不等式也成立. 由和知，对一切 n _2的整数，都有 解法三由已知，记等差数列为 曲, n fn(x) ： gn x . 等比数列为bk/,k =1,2JH,n4 则 a1 bi = 1,an 1 = bn 1 = X , xn _1 所以 ak =1 (k -1)(2 乞 k 汕)，bk n (k1)(xn 一1) n 所以 fn(X)二 gn X . Lnxn-(k-1)xk，=(k-1)x2(xni -1). n 而 2 岂 k 乞 n，所以 k1 0, n -k 1 _ 1. 若 0 x : 1,xn 1 : 1,mk (x

20、) : 0 ；若 x 1,xn A 1 1,mk(x) 0, 从而mk x在0,1上递减，在1,上递增， 所以 mk x g 1 =0, 所以当 x 0且 x=1 时，akbk(i n), 又 a1 - bi, an 1 - bn 1, 故 fn(X)： gn X 令 m/x) p -bk -1 当 x =1 时，ak =bk, 当 x = 1 时，mk/(x)= k 1 =x (2 zk z n), -xkx 0(2 込 k 込 n), 2B 综上所述，当 X=1 时，fn(x)二gn x ；当 X = 1 时，fn(X)X . 请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图，AB切L O于点B ,直线AO交L O于D, E两点， BC DE，垂足为C (I)证明： CBD DBA; (n)若 AD =3DC , BC = -、2，求 L O 的直径. 解: ( I)因为DE为L O直径， 则 BED EDB =90, 又 BC DE，所以 CBD EDB =90，从而.CBD BED . 又AB切L O于点B，得 DBA二BED , 所以 CBDDBA. (n)由(I)知 BD 平分.CBA , 则 BA = -AD = 3，又 BC -2