大学高等数学上册1.1 数列的极限[中小学堂]

1、第第1 1章章 数列极限与数列极限与 数项级数数项级数 1.1 数列的极限数列的极限 1课堂特制 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 引例引例1 1、割圆术：、割圆术： 播放播放刘徽刘徽 1.1.1 数列极限的定义数列极限的定义 2课堂特制 R 正六边形的面积正六边形的面积 1 A 正十二边形的面积正十二边形的面积 2 A 正正 形的面积形的面积 1 26 n n A , 321n AAAA S 3课堂特制 引例引例2 2、截丈问题：、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰

2、，日截其半，万世不竭” ; 2 1 1 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为 ; 2 1 2 1 2 2 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和 ; 2 1 2 1 2 1 2n n Xn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第 n n X 2 1 1 1 4课堂特制 定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 , 21n xxx (1) 称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数 列的列的项项, n x 称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为 n x . 例如例如 ;,2 , 8

3、 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n 5课堂特制 注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一 动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取., 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 1 1 n )1( 1 n ;, )1( , 3 4 , 2 1 , 2 1 n n n )1( 1 n n n ,333,33, 3 6课堂特制 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 播

4、放播放 数列的极限的定义 7课堂特制 问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一 确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定? n xn . 1 )1( 1, 1 无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 n xn n n 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言 刻划它刻划它. 1 n x nn n 11 )1( 1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: 8课堂特制 , 100 1 给定给定, 100 11 n 由由,100时时只要只要 n, 100 1 1 n x有有 , 1000 1 给

5、定给定,1000时时只要只要 n , 10000 1 1 n x有有, 10000 1 给定给定,10000时时只要只要 n , 1000 1 1 n x有有 , 0 给定给定 ,) 1 (时时只要只要 Nn.1成立成立有有 n x 9课堂特制 定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么 小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切 n x, , 不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列 n x的极限的极限, ,或者称数列或者称数列 n x收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxn

6、n 或或).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散的发散的. 注意：注意： ;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axax nn . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N 10课堂特制 x 1 x 2 x 2 N x 1 N x 3 x 几何解释几何解释: 2 a a a .)( ,),(, 落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个 内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当 N aaxNn n :定定义义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 lim0,0,. nn n x

7、aNnNxa 使使恒恒有有 11课堂特制 n 123 1N + + 4 N1N - -2N + + n x a a+ + a- - 3N + +4N + + 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：注意： 几何解释几何解释: 12课堂特制 例例1. 已知已知, ) 1( n n x n n 证明数列证明数列 n x的极限为的极限为1. 证证: 1 n x 1 ) 1( n n n n 1 ,0欲使欲使,1 n x即即, 1 n 只要只要 1 n 因此因此 , 取取, 1 N则当则当Nn 时时, 就有就有 (1) 1 n n n + -+ - - N 时时, 就有

8、就有 0 1n q 故故 0lim 1 n n q . ln ln 1 q n 的极限为的极限为 0 . 1 n q 15课堂特制 2 3ba a b 22 ab n ab ax 1.1.2 收敛数列的性质收敛数列的性质 证证: 用反证法用反证法.axn n lim及及,limbxn n 且且 . ba 取取, 2 ab 因因,limaxn n 故存在故存在 N1 , , 2 ab n ax 从而从而 2 ba n x 同理同理, 因因,limbxn n 故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有 2 ba n x 定理定理1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一. 使当使当

9、n N1 时时, 2 ba 2 ab 2 ab 假设假设 22 ab n ab bx n ba x 22 3ab , 2 ab n bx 从而从而 2 ba n x 矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一. 则当则当 n N 时时, ,max 21 NNN 取 故假设不真故假设不真 ! n x满足的不等式满足的不等式 16课堂特制 定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. . 证证,limaxn n 设设由定义由定义, 1 取取 , 1, axNnN n 时恒有时恒有使得当使得当则则 . 11axa n 即有 , 1,max 1 axxM N 记 ,Mxn n

10、 皆皆有有则则对对一一切切自自然然数数 .有界有界故故 n x 注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件. 推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. . 1 )1( n 虽有界但不收敛虽有界但不收敛 .数列数列 17课堂特制 定理定理3. 收敛数列的保序性收敛数列的保序性. 证证: 取取,0 2 b- a ，则 11 n,NNN axn有 2 b-a n x0 2 a a .yxn ,bylim,lim nn n nn 时，有 ，则，且若 N Nbaax n N ， 22 n,NNN byn有， 2 b-a ，从而 2 ba n y时，所以，当maxNn 21 NN

11、 nnnn yxx 2 ba y ，即有 18课堂特制 .bxbxn, b(,lim. 1 nn n ）（或时，有 ），则或且若推论 NN abaaxn N .byxn, lim,lim.2 nn n aNN byax nn ，则时，有 ，且若推论 N .0 x0 xn, 0(0,lim.3 nn n ）（或时，有 ），则或且若推论 NN aaax n N 19课堂特制 1.1.3 1.1.3 收敛数列的四则运算收敛数列的四则运算 定理定理4 . 若,lim,limByAx n n n n 则有 )(lim) 1 ( nn n yx nn n yx lim)2( ,00)3(时且当Byn B

12、A y x n n n lim BA BA 20课堂特制 1.1.4 1.1.4 数列数列收敛的判别法收敛的判别法 ).( ,limCClim. 4 nn 为常数）（推论Cxx nn ).( ,)lim ( )(lim. 5 n k n 为常数推论kxx k nn 例5.例6 见书。 21课堂特制 azy n n n n limlim)2( 准则1 (夹逼定理夹逼定理) ),2, 1() 1 (nzxy nnn axn n lim 证证: 由条件 (2) ,0, 1 N 当 1 Nn 时, ayn 当时, 令 ,max 21 NNN 则当Nn 时, 有 ,aya n ,aza n 由条件 (1

13、) nnn zxya a 即,axn故 .limaxn n , 2 N 2 Nn azn 22课堂特制 例例7. 证明1 1 2 11 lim 222 nnnn n n 证证: 利用夹逼准则 . nnnn n 222 1 2 11 2 2 n n 且 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n 1 n n lim nnnn 222 1 2 11 1 由 nn n n 2 2 lim 2 1 1 lim n n nn n 2 2 1 23课堂特制 准则2 (单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ) mxxxx nn 121 )(limMaxn n )(limmbxn n x m

14、n x 1n x 1 x 2 x x ( 证明略 ) a b 121nn xxxxM M 1 x 2 x 1n x n x 24课堂特制 例例8. 设, ),2, 1()1 ( 1 nx n n n 证明数列 n x 极限存在 . 证证: 利用二项式公式 , 有 n n n x)1 ( 1 1 n n 1 ! 12 1 !2 ) 1( n nn 3 1 !3 )2)(1( n nnn n n n nnnn 1 ! ) 1() 1( 11 ) 1( 1 ! 1 nn ) 1( 2 n ) 1( 1 n n )1( 1 !2 1 n )1( 1 !3 1 n )1( 2 n 25课堂特制 11 n

15、 x ) 1( 1 ! 1 nn ) 1( 2 n ) 1( 1 n n )1( 1 !2 1 n )1( 1 !3 1 n )1( 2 n 11 1n x)1( 1 1 !2 1 n )1)(1( 1 2 1 1 !3 1 nn )1()1)(1( 11 2 1 1 ! ) 1( 1 n n nnn 大大 大大 正正 ),2, 1( 1 nxx nn 11)1 ( 1 n n n x !2 1 !3 1 ! 1 n 又 比较可知 26课堂特制 根据准则 2 可知数列 n x 记此极限为 e , e n n n )1 (lim 1 e 为无理数 , 其值为 590457182818284. 2

16、e 即 有极限 . 11)1 ( 1 n n n x !2 1 !3 1 ! 1 n 11 2 1 2 2 1 1 2 1 n 又 3 2 1 2 1 1 1 1 n 1 2 1 3 n 1.1.51.1.5 子数列的子数列的收敛性收敛性 27课堂特制 * ,ax k n 定理定理7. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证证: 设数列设数列 k n x是数列是数列 n x的任一子数列的任一子数列 . 若若 ,limax n n 则则 ,0 ,N 当当 Nn 时时, 有有 axn 现取正整数现取正整数 K , 使使 ,NnK 于是当于是当 Kk 时时, 有

17、有 k n K n N 从而有从而有 由此证明由此证明 .limax k n k * N K n N x K n x 28课堂特制 由此性质可知由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极若数列有两个子数列收敛于不同的极 限限 , 例如，例如， ),2, 1() 1( 1 nx n n ; 1lim 12 k k x1lim 2 k k x 发散发散 ! 则原数列一定发散则原数列一定发散 . 说明说明: 定理定理9. 9. 任意有界数列必有收敛的子数列。任意有界数列必有收敛的子数列。 （证明略）（证明略） 29课堂特制 思考与练习思考与练习 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋

18、于的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知),2, 1(21,1 11 nxxx nn , 求 n n x lim 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设,limaxn n 由递推式两边取极限得 aa211a 不对不对!此处 n n xlim 30课堂特制 故极限存在， 备用题备用题 1.1.设 )( 2 1 1 n nn x a xx ),2,1(n ,0a ,0 1 x, 且 求.lim n n x 解：解： 设 Axn n lim 则由递推公式有 )( 2 1 A a AAaA )( 2 1 1 n nn x a xx n x n x a a n n x x 1

19、 )1( 2 1 2 n x a )1( 2 1 a a 1 数列单调递减有下界， ,0 1 x故axn n lim 利用极限存在准则 ,0 n x 31课堂特制 2. 设, ),2, 1(0iai 证证: 显然, 1 nn xx 证明下述数列有极限 . )1 ()1)(1 ()1)(1 (1 2121 2 1 1 n n aaa a aa a a a n x ),2, 1(n 即 n x 单调增, 又 n k k k n aa a x 1 1 )1 ()1 ( 1 1 1 1 a 1(1) n k k aa2 11 )1 ()1 ( 1 )1 ()1 ( 1 1k aa )1 ()1 ( 1

20、 1 1n aa 1 n n x lim存在 “拆项相消拆项相消” 法法 32课堂特制 刘徽刘徽(约约225 295年年) 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要 极限思想 . 的方法 : 33课堂特制 柯西柯西(17

21、89 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积 分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 34课堂特制 1 1、割圆术：、割圆术： “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 刘徽刘徽 35课堂特制 1

22、1、割圆术：、割圆术： “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 刘徽刘徽 36课堂特制 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 37课堂特制 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 38课堂特制 “割之弥细

23、，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 39课堂特制 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 40课堂特制 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 41课堂特制 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之