缓和曲线坐标计算新法概要

1、第34卷第5期 2009年9月 测绘科学 Science of Survey ing and M app ing Vol 134No 15 Sep 1 % 作者简介：殷海峰（19772 ,男,安徽枞阳,在读工程硕士 ,清华大学土木工程 系地球空间信息研究所,研究方向：GPS接收机的二次开发（软件。E 2mail:l n telYi n1261com 收稿日期：2008206203 缓和曲线坐标计算新法 殷海峰 ,白征东 ,程伯辉 （清华大学土木工程系地球空间信息研究所，北京 100084;中国测绘科 学研究院,北京 100039 【摘 要】在近几年的公路建设中，各种复杂的缓和曲线越来越多，如：

2、匝 道、C型曲线、S型曲线等，传统的计 算方法在处理这类曲线时非常繁琐，在实 际应用中有相当的困难。通过研究，本文介绍一种新的计算方法，它与传统的计 算方法相比，新方法主要优点有两个：一是可以从任意一点开始起算，具有很大的 方便性；二是计算项 数可以进行灵活扩充，使之满足要求的计算精度。新方法的 这些优点使其能够轻松处理各种复杂的缓和曲线，对实际的计算工作有一定的指导 意义。【关键词】缓和曲线；道路正算；道路反算 【中图分类号】P23115 【文献标识码】A【】22203 1引言 ,不（直缓点或缓直点；，一般最高展到第11次项，如：参考文献1的公式（4 和参考文献3的公式（1 o这种传统方法的

3、特点决定了它 只适合于铁路和部分公 路的缓和曲线计算。 近几年，随着高速公路、立交桥建设的逐渐增多，各种复杂的缓和曲线也越来 越多，如：匝道，其特点是曲率 半径很小，仅仅展到第11次项是不能满足设计、施 工要求的；还有C型曲线（即卵形曲线、S型曲线，使用传统方 法完成这类曲线 的计算首先要把曲率为零的点计算出来，这个步骤是比较繁琐的。 因此，研究新的计算方法是很有必要的。为了方便后 面的叙述，有必要对一些 基本概念进行阐明、约定。 1道路方向 约定道路方向为：前与道路中心线相切，桩号增加的方向；后 “前”的反方向；左,右假设一个人沿着道路中心线由后”向前” 走,他左边的部分叫 左”反之叫“右”

4、。规定道路前进方向的方位角为 T o 2距中 点到道路中心线的距离就是距中。因为中心线有两侧，所以距中的描述一般为 左5m ”右6m ”等。为了便于叙述，特做如下约定：在道路左边的距中为负， 在道路右边 的距中为正，简称左负右正”。本文以JZ表示 距中”。 3坐标系统 测量使用的坐标系统与数学使用的坐标系统是不同的 ，原因在于：数学系中的 方位角是逆时针旋转增大的，这与测量习惯不相符。因此在测量中引入了 测量 系”解决了上述问题。测量系相当于从背后观看数学系，所以数学系 。不过它们并，尤其涉及到方向的问题。许多参考文献上推导缓 和曲线计算 公式时，都是以数学系为准的，测量计算的时 候必须要考虑

5、方向、坐标的转换问 题。为了省去这种不必 要的麻烦，本文将全部以测量系为准。 实际测量时的坐标系施工坐标系大部分都是 测量系”。施工坐标 系重点用来描述各元素之间的相对位置 ，所以它的原点一般意义不大。 图1 数学与测量坐标系4曲率、曲率半径 按照数学上的定义，曲线上某点的曲率M = dL ,曲率半径R是曲率M的倒数。公式中L 是桩号,T是道路 前进方向,T是L 的函数。需要注意的是，曲率和曲率半径是有符号的：根据曲率计算公式，当 dL 0（沿道路向前走，dT 0（右转弯时曲率0。所以规定曲率和曲率半径的符号 沿道路前进方向走，左转为负，右转为正。 5道路正反算规定：根据桩号L、距中JZ计算该

6、点平面坐标x、y和道路 前进方向T的步骤为正算；根据平面坐标x、y计算该点桩号L、距中JZ和 道路前进方向T的步骤为反算。 2 缓和曲线正算 缓和曲线最本质的特点就是dL =M R a te ,公式中M Rate是一个常数。即：缓和曲线上曲率随桩号的变化率 为一常数。 因为M =dL ,所以有dL =2 dL 2=M R a te。可以得到 M =MR a te (L -L 0 +M0; T =a (L -L 0 2 +MO(L -L 0 +T 0 公式中a = L 0、M 0、T 0是起算点的桩号、曲 率、前进方向,均为已知量。令s =L -L 0,则有:M = M R a te s+M0;

7、 T =as 2 +M0s +T 0 第5期殷海峰等缓和曲线坐标计 算新法令缓和曲线上的坐标为 x c , y c ,则dx c =ds cOS T ; dy c =ds sin采 所以 dx c +idy c =(cos T +i sin T ds =e iT ds 式中 i = -1,可知：x c -x 0+i (y c -y 0 = s e iT ds =(cos T 0+i sin T 0 s e i (as 2+M Os ds (1 上式中(x 0, y 0是桩号L 0处的坐标，即起算点坐标 而 e i (as 2+M Os 刀 + x n =0 i n (as 2+Ms n n!

8、刀 n =0 n! n r =0C r n a r M n -r Os n所以： / s 0 e i (as 2+M Os ds =u c +iv c = + x n =0 n n! n a r M n -r n +叶1 n +r +=s 刀+ g n =0n r =0 i n (as 2 r (M s n -r r! (n -r ! (n +r +1 (2 (2式代入(1式可得道路中心(标为： c =0-s in T T 0 u v + x 0y (3 将道路中心点沿右方向(方位角=T + ,也就是法方向移动JZ才能得到最终要求的边桩坐标 2 =x c +J Z cos (T + n2 y

9、c +J Z sin （T + n2 x c -J Z sin y c +J Z cos （4 3 计算技巧及计算实例 使用（2式进行编程计算时请不要使用幕函数 （即计算x y。因为它的计算效 率是比较低的，另外它可能造成数 据溢出，要么无法运行（如：VB中，要么计算结 果不可靠（如:VC中。下面介绍一种方法：确定（2式中最大的n,这里假定n从0 算到3,请做一个4 4的上三角矩阵。下文中称该矩阵为计算矩阵。 表1 计算矩阵 n =0 n =1 n =2 第0行 （2 0 0! =1a03 第1行 2 1 1! 第2行222!第3行 233! n =3 第0列 (M 0s 0 0! s =s

10、第1列 (M 0s 1 1! s 第2列 (M 0s 2 2! s 第3列 (M 0s 3 3! s 计算步骤： 1计算最左边那列数据。记第i行数据为row (i ,则 row (0 =1; r ow (1 =r ow (0 2 1 ;r ow (i =r ow F fl 9 - 臼呻岬艸 WP1!艸凹誓 no*wr vni;wwwq |i 曲:计 -1 2计算最下边那行数据。记第i列数据为col (i ,则col (0 =s; col (1 =col (0 i ;col (i =col (i -1 M s i 3计算矩阵内的元素a ij = ( 2i +j +1 4将i +j =n的元素相加

11、。女口 ：n =2时应该加a 20、a 11、a 02这n +仁3个元 素。记这个和为S (n。如:S (2 =a 20+a 11+a 02 5计算u c、v c图2 缓和曲线计算请将u c、v c 的初始值赋为零，完成一项S (n的计算后,n (VC n 4n VB以n AND 3表示。余数=0时u c =u c +S (n ;余数=1 时 v c =v c +S (n ;余数=2 时 u c =u c -S (n ;余数=3 时 v c =v c - S (n ; 最终:u c =S (0 -S (2 +S (4 -S (6 +111; v c =S (1 -S (3 +S (5 -S (

12、7 +11 下面举例来 说明如何计算:表 2 已知一段S型缓和曲线的信息 桩号x y前进方向T K0+0008019803701101 90 K0+1508115705141588132 58 181 如图7 2所 示，已知一段 S型缓和曲线 的信息如表2。请计算桩号K 0+100, 距中-10的坐标。 以 K 0+150 为起算点,则:L 0=150; T 0=132 58 1816047 =2132079632686606弧度；M 0=1/50=0102（右转所以为正；x 0=811570; y 0=5141588; s =L -L 0=100-150=-50; L =L仁0时，曲率M 1

13、=-1/100（左转所以为负；L =L 2=150时，曲率M 2=1/50, M R a te =M -M L 2-L 1 = 50-150-0 =010002; a =2 =010001; K0+100 处的 T =as 2 +M0s +T 0=1157079632686606弧度=90 计算矩阵如下： 表3 计算矩阵 -5010000025100000 -81333332108333-01416670106944-41166673112500-11250000134722-0107440 -01312500126042-01111610103255 -01018600101628-0100

14、723 -01000900100081 -0100004 S (0 =-50100000 S (1 =20183333 9 32 测绘科学第34卷 S (2 =-5152083 S (3 =1107515 S (4 =-0116568 S (5 =0102113 u c =S (0 -S (2 +S (4 =-441645; v c =S (1 -S (3 +S (5 =191779; 根据(3式可得道路中心坐标x c =971529, y c = 4681440,根据(4式可得最终要求的坐标(1071529, 4681440。 使用相同的方法，也可以以K 0+000为起算点进行计 算，这里就

15、不赘述了。 4 计算精度 上面的例子中，无法确切的知道桩号 K0+100,距中-10的坐标。比较有效的 方法就是不断增大计算用到的n值,看计算结果(x, y随n的变化趋势，见表4。 表4 计算结果(x, y随n的变化趋势 n x yx n -x n +1y n -y n +1 111014084199032434631802749057875 3176321398791741039532296640 2106164520591532646718422813545150178667441626001 3107143188033158646815751444559350101 4107154481

16、40846954681453918412311-001 510715293500009444681-001 61071101000148928283 71071000012543088-01000013464079 81071527954117092-01000001018860-01000000949167 910715279530982324681441330085648-0100000006521101000000069999 10107152795303302146814413301556470100000000440401000000004103 111071527953037425

17、468144133015975001000000000238-01000000000256 1210715279530376634681441330159494-01000000000014-01000000000013 1310715279530376494681441330159481-0100000000000101000000000001 14107152795303764846814413301594820100000000000001000000000000 1510715279530376484681441330159482 可见：计算结果随着n的增大迅速收敛。对于一般的 缓和曲

18、线，如：铁路上的 缓和曲线，n取到5 一般就能满足计算要求。 5 结束语 511 新公式的优点 1推导时就以测量系为准，实际测量计算时不需要在数学系、测量系之间来 回转换。 2可以从缓和曲线上任一点起算，具有很大的灵活 性。如:计算实例中，采用 传统公式计算，需要计算S型曲线曲率为零的点，然后以该点开始起算。新公式 没有这个束缚。 3传统公式对曲率、曲率半径的符号没有明确的定 义，实际应用时需要人工进 行分段、判断。如：计算实例中，采用传统公式计算，需要将S型曲线分成两段分 别进行计算，计算步骤比较繁琐。新公式规定了左转为负，右转为正”的原则， 分段、判断的工作变成了简单的曲率取正负号。 4对

19、于曲率及曲率变化都很大的缓和曲线计算(如：匝道的计算，只需提高计算 矩阵的阶数即可。这种算法特别 适合在微机上使用VB、VC等高级语言编程实 现，编程时计算矩阵是完全可以省略掉的。 5公式(2不仅适用于缓和曲线，还适用于圆曲线 和直线。当a和M 都为零时,就是直线；当a =0, M 0工时就是圆曲线。对于圆曲线(2式可简 化： u c +iv c =/ s 0e i M Os ds =sin (M s M 0 +i 1-cos (M s M 0 这也是计算矩阵第0行所有元素的和，当M 很大时就可以省去计算第0行的步骤； 512 (2 ,:C O fx ,最好还是从曲率0 =0,即起算点曲率为零

20、时, +iv c =s n =0 n (2 n n! (2n +1 下面介绍一下将起算点移至曲率为零点的方法：假定 起算点的桩号为L 1 ,其曲率和前进方向分别为 M 1、T 1,则T =a (L -L 1 2+M1(L -L 1 +T 1=a (L -L 0 2+T 0,式 中L =L 1 M M R a te 为曲率为零的桩号；T =T 1- M 2 2M R a te 为 L 0对应的前进方向,在计算实例中：L仁150; T 1= 132 581816047 ; M 仁0102; M R a te =010002代入上式，可 算得：L =50; T 0=75 40 3317984 在微机

21、、掌上电脑等计算平台高速发展的今天，新公式的缺点已经不是什么 问题，相信在缓和曲线相关计算领 域它会有更广阔的利用空间。 参考文献 1 李全信1缓和曲线平行线弓形面积的计算方法J 勘察科学技术,2006, (1:292331 2 李全信1缓和曲线平行线的通用参数方程及应用J 1铁道勘察,2004, (6 :4261 3 高淑照,史东晏1缓和曲线非线性方程的快速解算J 1测绘通报,2006, (3 :282301 4 刘朝辉1匝道施工中缓和曲线大地坐标计算的统一数学模型J 1测绘通报， 2006, (10 :432451 5宁津生,等1测绘科学发展综述J 1测绘科学,2006, 31(1 1 N

22、ew m ethod of sp i ra l curve coord i n a te ca Icul a ti on Abstract:On high way constructi on in last few years, many kinds of comp licated s p iral curve are used more com monly, such as ramp, C 2type curve, S 2type curve, etc 1It n s very comp licated in p r ocessing these curves with traditi onal calculati on method and hard t o app ly actu