专题六---几何探究题解题思路

1、专题六几何探究题的解题思路一、方法简述随着中考的改革, 几何的综合题不再是定格在”条件-演绎 -结论”这样封闭的模式中 , 而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、 归纳、 推理 , 或由条件去探索不明确的结论, 或由结论去探索未给予的条件, 或讨论存在的各种可能性; 探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型 . 解决此类问题 , 数学思想的合理应用起着关键性的作用, 一个题目往往需要几个思想方法交织应用 .二、思想方法1.分类讨论思想分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的相同点或差异

2、点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（ 1）分类中的每一部分必须是独立的；（ 2）一次分类必须是一个标准；（ 3）分类讨论应逐级进行。2. 数形结合思想数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。3. 函数与方程思想函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知

3、的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。4. 转化与化归思想转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程2/35实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。三、典例分析例 1: 阅读理解： 如图 1，

4、在直角DD梯形 ABCD 中， AB CD ， B 90O ,AA点 P 在 BC 边上，当 APD90O 时，BPC BPC易证 ABP PCD ，从而得到 BP PC图 1图 2AB CD.解答下列问题：（ 1）模型探究： 如图 2，在四边形 ABCD 中，点P在BC 边上，当 B =C=APD 时，求证： BP PCAB CD；（ 2）拓展应用： 如图 3，在四边形 ABCD 中，AB 4, BC 10, CD6, B60O,= CAO BC 于点 O ，以 O 为原点，以 BC 所在的直线yDABOPCx图 3为 x 轴，建立平面直角坐标系，点P 为线段 OC 上一动点（不与端点O 、

5、 C 重合）当 APD60O 时，求点 P 的坐标；过点 P 作 PE PD ，交 y 轴于点 E ，设 OPx ， OEy ，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围(1)证明：如图2， 1=180 0 - B - 2 3=180 0 - APD - 2 B= APD 1=3又 B= C PCD ABP ABBPBP PCAB CDPCCDyDDA2A1E123M3BCPBOPP1 1P2 Cx图 2OB= 1 ABE2图 30 时2(2) 如图 3，当 APD=6023/35设 P 点坐标为（ x，0），（ 0 x8）则 BP=2+x ， PC=8- x B= C= APD

6、=60 0 BP PC AB CD 即（ 2+x） (8-x)=4 6解得： x1 =2,x2 =4点 P 的坐标为 P（2， 0）或 P（ 4， 0）解法一：如图3，过点 D 作 DM x 轴于点 M则 CM= 1CD3 ，DM=3 3 OM=52( ) 当点 P 在线段 OM上设为 P1 ， P1 M=x-5 (0 x 5)0 E 1 OP1 = DMP 1 = E1 P1 D=90 OP1 ?P1 M=OE? 1 ?DM即 x(5 x )=y 33 y3 x 2 5 3 x (0 x 5)99( ) 当点 P 在线段 CM上设为 P2 , P2 M=x-5 (5 x8) 1+ 3=90

7、0 2+3=900 1=2 Rt E 2 OP2 Rt P2 MD OE2OP2 OP2P2 MOE2 DM即 x(x-5)=y 33P2 MDM y3 x 25 3 x (5x8)99解法二：如图 3，过点 D 作 DM x 轴于点 M则 CM= 1CD3，DM= 3 3 OM=5D(5， 3 3 )2( ) 当点 P 在线段 OM上设为 P1 ， P1 M=5-x (0 x 5) 连接 DE； E1 P12P1D2E1D 2即 x 2 y 2(5 -x) 2 + ( 3 3 ) 2 =( 3 3 -y) 2 +5 2 y3 x 25 3 x (0 x5)99( ) 当点 P 在线段 CM上

8、设为 P2 , P2 M=x-5 (5 x8)连接 DE2 E2P22P2D 2E2D2即 x 2 y2( x -5)2+(33)2=(33 +y) 2 +5 2 y3 x 25 3 x (5x8)994/35评析 : 本题通过 “阅读理解模型探究拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图 1 为直角情形）入手，到“一般” （图 2 为非直角情形） ；再从“一般” （问题（ 2）上升到新背景中的“特殊”（问题（ 2），使学生经历了“特殊一般特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程 . 试题在第一环节中提供了“易证 ,A

9、BP PCD ”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓 “一般性方法” ）后，就能类比解决后续的各个问题 . 考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力 . 本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.例 2. 已知菱形 ABCD 的边长为 1， ADC 600 ，等边 AEF 两边分别交边 DC 、CB 于点E、F.（ 1）特殊发现：如图 1，若点 E 、F 分别是边 DC 、CB 的中点，求证：菱形 ABCD 对角线 AC 、BD 的交点 O

10、 即为等边AEF 的外心；（ 2）若点 E 、 F 始终在分别在边DC 、 CB 上移动，记等边AEF 的外心为点 P .猜想验证：如图2，猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA于点N，交边 DC 的延长线于点 M ，试判断11是否为定值， 若是， 请求出该定值； 若不是，DM DN请说明理由MCFBCFBCFBEOEPEPDAD图 2AD图 3N A图 1解：（ 1）证明：如图1，分别连接 OE 、 OFCFB四边形 ABCD 是菱形ACBD, BD平分ADC ， AD DCBC CODCOBAOD90OEA

11、DO1ADC160O30OD22又 E、F分别为 DC 、 CB 中点O图 1A5/35 OE1CD 、OF1BC、AO1 AD222 OEOFOA点 O即为AEF 的外心（ 2）猜想：外心P 一定落在直线DB 上证明：如图2，分别连接 PE 、 PA ，过点 P 分别作 PICD于I，PJAD于J.则PIEPJD90OADC60 O IPJ 360OPIEPJDJDIIPJ360O90O90O60O120OCFB点 P 是等边AEF 的外心，IPEPA120O ， PEPAEIPJEPAIPJJPAD图 2 JAPIE PJAPIPJ点 P在ADC 的平分线上，即点P 落在直线 DB 上分析

12、：证点 P 落在ADC 的平分线上，也就证明点P 到直线 AD 、 AC 的距离相等，如此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆，从而利用圆的性质便有下面两种解法。另解法一：分别连接PA、PC、PD四边形 ABCD 是菱形 ,ADC 60 OBCD120O , AD CDCFB点 P 是等边AEF 的外心，PEAF60O ,EAFBCE180OE A、F 、C、E四点共圆，PAPC DADC CDPADPD图 3ACDPADP P落在ADC 的平分线上 . 即点 P 落在直线 DB 上.另解法二： : 分别连接 PA 、 PE 、 PD 点 P 是等边 AEF 的外

13、心CFBEPA120O ， PEPA PEA 30OADCEPA180O A、P、E、D四点共圆 .PED图 4A6/35PDAPEA 30 ON P落在ADC 的平分线上 . 即点 P 落在直线 DB 上.11CGFB为定值 2DMDN当 AE DC 时， AEF 面积最小，此时点 E、 F 分别为 DC 、CB中点EP连接 BD 、 AC 交于点P ，由（ 1）可得点 P 即为AEF 的外心解法一：如图，设MN 交BC于点G设 DMx, DNy(x0, y0) ，则 CNy1DMA图 5BCDA，且 BCDA，P是BD的中点GBP MDP BGDMx CG1 xBCDA NCG NDM C

14、NCG y1 1x xy2xy 112 即112DNDMyxxyDMDN分析：观察图形，得到结论AMCG ，把 1用AD或CD代替，把要计算的线段或相关线段集中到两个相似的三角形 NCG ， NDM 中，并把长度用字母表示，化简含字母的代数式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、三、四。解法二：如图，连接 PE点 P、 E分别为 AC 、DC 的中点N PE1 DA1， PEDAG FB22C NEP NDM NEEPNDDMEP111y设 DMx, DNy ，则 NEy222yx xy1 x1 y1 1，则112222DMDNx yDMA图 6N解法三：过点G 作直线 GH CD 交 AD

15、 于点 H ， GH CD HMG DMN HGHMDNDM 1DM AMDM (1 DM)DNDMDM112DMDNCGFBEPDHMA图 77/35解法四：过点C作直线 CK MN 交BD于点K ，过点 A作 AH MN 交BD于H.CK MN，AH MNN DCKDNP ，DMP DAH DCDK， DADH1DK ，1DHCG FBDNDPDMDPDNDPDMDP11DKDHHDMDNDPEP由 CKPAHP 得： KP HPDK DH2DP112DMDNKDMA图 8解法五：如图，过点P作PIDC于I，PJDA于 J，则 PI3PJ4SDNPS DMPS DMNN1PI1DMPJ1D

16、Nsin 60oCFBDN2DMI221DN31 DM31 DMDN3EP242422 DMDN2DMDN112DJ M ADMDN图 911DMDN ，而 DM分析：因为DN 正与 DMN 的面积有关， 其中 DM ，DMDNDM?DN?DN 也可以看成是将DMN 分为DNP 和DMP 后，计算面积过程中涉及的底边。这种对所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。解法六：如图4，以点 D 为坐标原点，DA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设直线 MN 的解析式为ykx b可求得点 P 的坐标为 ( 3 ,3 ) 3 k b34444N b33 kyC

17、FB44直线 MN 的解析式为 ykx33 kEP448/35M AxD O图 10求得直线 DN 的解析式为y3x333 k3x3 k33x ， x44 DN22令 kxkk3cos60ok344333 k33 k30，x44 DM44令 kxkkk44 113kk33k32DM DN33313)k4k2(3k422评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、 相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通

18、法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知， 求证， 证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略试验、发现、联想、推广。其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不

19、难猜测点 P 落在直线 DB上，证点 P 落在 ADC 的平分线上，也就证明点 P 到直线 AD、 AC的距离相等（结论转换） ，如此便可构造两个直角三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第 2小题第以探究性问题让学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。四、强化训练1.如图，在矩形ABCD 中，点 B 、点 C 重合），过点 P 作直线AB9 ，PQ BDAD3 3 ，点 P 是边 BC 上的动点（点P 不与，交 CD 边于 Q 点，再把 PQC 沿着动直线PQ对折，点 C 的对应点是R 点，设 CP 的长度为 x ， PQR 与矩形 ABCD

20、重叠部分的面积为y （ 1）求CQP 的度数；（ 2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD的AB边上？9/35（ 3）求 y 与 x 之间的函数关系式；DQDCDCCPARABABB第 1题图（备用图1）（备用图2）2. 如图 1，在 Rt ABC 中， C900 ， AC BC6 ，D 是 AB 边上一点， E 是在 AC边上的一个动点（与点A 、 C 不重合）， DFDE ， DF 与射线 CB 相交于点 F 。（ 1）如图1，如果点 D 是边 AB 的中点，求证：DEDF ；（ 2）如图2，如果 ADm ，求 DE 的值；DBDF（ 3）如果 AD1，设AEx ， BFy ，求 y 关

21、于 x 的函数关系式， 并写出 x 的取值范围；DB210/35CCCEFFEADB ADB ADB图 1图 2备用图3. 四边形 ABCD 是矩形，AB2 ， AD3 ，点 M 是射线 DC 上的一个动点（点M 不与点 D 重合）， N 是点 M 关于 AD 的对称点，射线AM 交射线 BC 于 E ，设 DMm ，CEn ，ANE 的面积为 S .(1) 如图 1，当点 M 在 DC 边上 运动时，试用 m 的代数式表示 n ，并写出 m 的取值范围；（ 2）当点 M 在射线ANE 的面积 S 是否为定值，若是定值，请求出该 DC 上运动时，判断定值；若不是，请用m 的代数式表示S ，并写

22、出 m 的取值范围 .11/35ANDMBCE图 1ADBC图 2 （备用图）4.已知：在矩形ABCD 中， AB10 ， BC12 ，四边形 EFGH 的三个顶点E 、 F 、H 分别在矩形ABCD 边 AB、BC、DA上， AE2.（ 1）如图 1，当四边形EFGH 为正方形时，求GFC 的面积；（ 2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BFa 时，求GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；（ 3）在（ 2）的条件下，GFC 的面积能否等于2 ？请说明理由 .AHDAHD12/35EEGG5. 已知， ABC 是等腰直角三角形，BAC 900 ， BC 2， D 是线段 BC 上一点，以

23、AD 为边，在 AD 的右侧作正方形ADEF 直线 AE 与直线 BC 交于点 G ，连接 CF （ 1）如图1，当 BD1时，求证：ACF ABD ；（ 2）如图2，当 BD1时，请在图中作出相应的图形，猜测线段CF 与线段 BD 的关系，并说明理由；（ 3）连接 GF ，判断线段 BD 为何值时，GFC 是等腰三角形AA13/35FBGCD6有公共顶点大小不等的正方形ABCD 与正方形 AEFG ，两个正方形分别绕着点A 旋转至下列图形的位置，其中BAE( (001800 ).(1) 如图 1，连接 BG 、 DE ，判断线段 BG 与 DE 的数量及位置之间的关系，并说明理由；（ 2）连

24、接 BE、DG ，过点 A的直线垂直 DG 于H 交BE于 P.如图 2，求证ABE 与ADG 的面积相等；如图 3，试判断AP 是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.DGBBBPEE14/35EF CCCFFAAA7. （ 1）如图 1，在ABC 中， AC BC 2 2 ， ACB 90O ，点 E 在 AC 边上（不与点 A、C 重合），过 E 作 DEAB 于 D，连接CD、BE ， M 为 BE的中点，连接CM、DM .求证：CDM 是等腰直角三角形；若ADx ，CDM的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 2）如果把图1 中的AD

25、E绕着点A 逆时针旋转至图2 的位置，其它的条件不变，那么CDM是否还是等腰直角三角形？请说明理由.CC15/35EEMM8. 如图 1，在菱形ABCD 中， AB =4， BAD 120 O ， M 是 BC 边上的点， BAM（0O 60O ），点 N 在 CD 边上， MAN60O， AM 、 AN 分别与 BD相交于 P 、 Q 两点，当 MAN 绕着点 A 旋转时，点 M 、 N 、 P 、 Q 也随之运动 . 请解答下列问题；（ 1）求证：AMN 是等边三角形；（ 2）在 MAN 旋转的过程中， 当为何值时，四边形 AMCN 的周长最小？求四边形AMCN周长的最小值；（ 3）如图

26、2，当 BP2DQ 时，判断 PQ 与 DQ 之间的数量关系，并说明理由.A16/35AQPQP9. 如图，在 ABC 中， AB BC5， AC 6，过点 A作 AD CB，点 P、Q分别是射线 AD 、线段 AB 上的动点， 且 APBQ，过点 P作 PE AC交线段 AQ于O，交 BC于 E ，设 POQ 的面积为 y ， APx .DPA（ 1）用 x 的代数式表示 PO ；（ 2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；O（ 3）连接 QE ，若 PQE 与 POQ 相似，求 AP 的长 .QBEC17/3510. 如图， Rt ABC ，C 900，BC6，AC 8点P

27、、Q 都是斜边 AB 上的动点，点 P从 B 向 A运动（不与点B重合），点 Q从 A向 B运动， BPAQ点 D，E分别是点A ，B 以 Q ，P 为对称中心的对称点， HQAB 于 Q交 AC 于点 H 当点 E到达顶点 A时，P 、 Q 同时停止运动设BP 的长为 x ，HDE 的面积为 y （ 1）求证： DHQ ABC ；BP（ 2）求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值；E（ 3）当 x 为何值时，HDE 为等腰三角形？DQ18/35CHA11.（1）在正方形N 为 MD 的中点，点ABCD 中，点 F 在E 在直线 CF 上（点AD 延长线上，且E、C不重合）.DFDC

28、， M为 AB边上一点，如图1，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE 的位置关系及CE的值，并BM证明你的结论； 如图 2，点 M 、 A不重合， BN请加以证明；若不成立，请说明理由；NE，你在中得到的两个结论是否成立，若成立，（ 2）如图 3，如果把（ 1）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，其他条件不变，那么你在中得到的两个结论是否成立，请直接写出你的结论.BCBCBEECEM19/35MNNA(M) NDFADFADF图 1图 2图 312. 如图，在 ABC 中，ACB 900 ，点 P 到ACB两边的距离相等，且 PA PB （ 1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断 ABP的形状，并说明理由；（ 2）设 PA m ， PC n ，试用 m 、 n 的代数式表示ABC 的周长和面积；（ 3）设 CP 与 AB 交于点 D ，试探索当边 AC 、 BC 的长