广东四会中学2017年九年级奥数培训 解直角三角形精讲与测试

1、 bd 10=知识点、重点、难点bd = 5k.rt bde 中 ，由 三 角 形 内 角 平 分 线 性 质 有， 则dc 6直角三角形中角与角之间关系为两锐角互余；边与边之问的关系为勾股定理；边与角之间的关系则可由两锐角的正余弦、正余切公式给出。d e + b e = b d,2 即22abc(3k) + (10- 6) = (5k)k =1. cd = 3k = 3, ad = 6 + 3 = 3 52 ，得 ，2222= 2r，其中 a、b、c 分别为三角形 abc 中，sin a sin b sin c1 bhsin dac =, bh = 2 5.故a、b、c 所对的边，r 为 a

2、bc 外接圆半径，称为三角形的正弦定理。图中 bdccos b，dc = accos b所以b = ac = ad + dc1052222例 2：如图，证明单位圆（半径为 1）上的锐角三角形的三个角的余弦之和小于该三角形周长之半。证明：锐角 abc 中，有 ab 90，a 90b，则 cos acos(90b)= sin b同理有 cos bsin c，cos csin a，故 cos acos bcos csin asin b= (csin b) + (a - c cos b)22= a + c - 2accos b22a = b + c -2 bc o s a.c = a + b - 2a

3、bcosc.上述三式称为三角形的余弦定理。同理可得222abc= 2r = 2 sin c. 根 据 正 正 弦 定 理 有， 所 以222sin a sin b sinca + b + c1= 2s i na+ s ibn+ sci n (a + b + c)， 即=， 故s i na+ s ibn+ cs i n2a + c -bb + c - a222222cos b =,cos a =,将式变形可得12ac2bcc o sa+ c obs+ cco s a +( b + c ).2a + b - c222cosc =.此三式用于已知三角形三边求三角形内角，而且容易2ab验证：当三角形内

4、角为钝角时，其余弦值小于零，这为判断钝角增加了一种新方法。三角形的面积的另一个公式为：三角形面积等于两边及其夹角正弦的a + b - c222s =例 3：已知 abc 的面积，试求内角 c 的大小。4da + b - c1111222a + b - c1222s =s = absinc，则s= absinc = bcsin a = acsin b.解：，又有= absin c,乘积的一半，即4d 2dabc42222da + b - ca + b - c直角三角形的边角关系、三角形的正余弦定理，为解直角三角形和有关三角形边角的问题提供了多种方法。222222sin c =两边除以.由余弦定理

5、知cosc =sinc，故sin c =cos , c2ab2abcosc= tanc =1, c = 45.故，有例题精讲cosc例 1：如图， abc 中，c=90，ab10，ac=6，ad是bac 的平分线，求点 b 到直线 ad 的距离 bh.已知 rt abh 中 ab =10，要求 bh，可求出bah 的正弦值，而bah=cad，因而可先求出 dc 的长。解 ：作 deab 于 e，有 ae =ac=6，ed=cd.设 dc=3k，例 4：如图，某污水处理站计划砌一段截面为等 q腰梯形的排污渠。如果渠深为 h，截面积为 s，试求当倾角 为多少时造价最小？ec 2n -1q分析 要使

6、造价最小，只需考虑 addccb 最小，故首先设法用 h、s、cosc =.又在 dabc中，由余弦定理在 rt edc 中，dc 2(n +1)表示 addccb11bc + ca - ab (n +1) + n - (n -1)n + 4= .s = (ab + cd)h = (2cd + 2hcotq)h = (cd + hcotq)h222222解 ：， 有cosc =有222bc ca2(n +1)nn = 5，所以此三角形的三边长为 4、5、2(n +1)s2hs+ ( -hc d= - ch o tad + dc + cb = 2ad + cd =2n -1n + 4q ，则=h

7、sinq所以，所以2(n +1) 2(n +1)s h(2 - cosq)hcotq) = +.6.hsinq2 - cosqsinq因 s、h 为常数，则要求 addccb 的最小值，只需求的最小a 卷2 - cosq= m,(m +1)cos q - 4cos q (m-值。设两边平方整理得222一、填空题sinq2 4 + (m +1)(m - 4) 2 m (m -3)22223 +1，1.一个三角形的一边长为 2，这条边上的中线是 1，另两边之和是则这个三角形的另两边之长分别是-4) = 0 cos =.，qm +1m +122和。2 - cosqsinqm (m - 3) 0 ，解

8、得m 3 ，故当m = 3由上式知22时，有最4 32.在 rt abc 中，c = 90，ac=6，ca 的平分线 ad=，则 ab=。21小值。当m = 3最小。时，cos = 60，从而q ，此时排污渠造价qm2 +1 23.在 rt abc 中，c = 90，bc=3 5 ，ac=3 15圆的半径是 。，则a=，外接例 5：如图，在 abc 中，已知最大内角 a 是最小内角 c 的 2 倍，且三边的长 a、b、c 是三个连续自然数，求三角形各边的长。解：设三角形三边分别是 a=n1，b=n、c=n1(n 为自然数，且 n2).如图作a 的平分线 ad 交 bc 于 d，再作 deac

9、于 e.ab bd4.梯形的两底长分别等于 13 厘米和 5 厘米，两底角分别是 30和 60，则梯形的周长是 厘米。3s=5.在 rt abc 中，c = 90，ac=2，cosb= ，则。5dabc=因为1=2，所以，所以ac dcn(n +1).dc =ab + ac bc6.已知直角三角形斜边的长是斜边上的高的 4 倍，那么这个三角形的两个锐角度数分别是 度和 度。=，所以acdc2n -1ad = cd又因为2=c，所以，所7.若 0a90，那么以 sin 、cos 、tan cot 为三边的三角形 abc的内切圆半径和外接圆半径这和等于aaaa1nec = ac = .。以22 1

10、( tan 60 ) (3tan 30 )8.计算。20012000=3.计算 tan 1tan 2tan 3tan 88。tan 893aa4cos a -5sin a2cos a + 3sin a4.已知在直角三角形 abc 中，c = 90，tan 2 cot 2= 5，则 tanacotaa=9.已知 tan 2， 为锐角，。a。5.在直角三角形中，斜边长为 c，面积为 s，那么这个三角形的两直角边长分别是100 33dabc的和。10.如果等腰三角形 abc 中，底角是 30，面积为，那么周长是。6.在 abc 中，b=30，bac=135，bc=10，则 ab=7.计算 tan 1

11、5=8.如图，在等腰直角三角形 abc 中，斜边 ab 上有。二、解答题11.已知等腰直角三角形 abc 中，c=90，点 d 在直线 bc 上，且 bd=ab，求adb 的余切值。、两点 m n，且mcn = 45记 am= m，mn=x，bn n，则以 x m n 为三边长的三角形是=、 、三角形。9.如图，在 abc 中 ab = ac，abn =mbc，bm= nm，bn= 2a，则点 n 到边 bc 的距离是数式表示）。（用含 a 的代12.如图，已知 abc 中，c = 90，e、f 在 ab 边上，af=ef=eb，且aacf= sin ，cecos ，求斜边 ab 的长。10.

12、在 abc 中，bac120，abc15，a、b、c 的对边分别为 a、b、c，那么 a：b：c=二、解答题b 卷11.如图，城市规划期间欲拆除一电线杆 ab.已知距电线杆 ab 水平距离 14米的 d 处有一大坝，背水坡 cd 的坡度 i=2：1，坝高 cf 为 2 米，在坝顶 c处测得杆顶 a 的仰角为 30，d、e 之间是一、填空题宽为 2 米的人行道，试问在拆除电线杆 ab时，为确保行人安全，是否需要将此人行s =10 31.在 abc 中，有一个角为60，它的周长是20，则它的三边d之长分别为、和。道封上？请说明理由（地面上以点 b 为圆心、以 ab 长为半径的圆形区域为危险区2.如

13、图，在 rt abc 中，e、d 分别是边 ac、3 =2 =1.414）。域）（1.732 ，2 22bc 的中点，be=ad= 。，ab=10，c=90，则 c 卷12.如图，在 abc 中，a=45，cb=5，bd=3，cd7，d 在边 ab 的延长线上，求cbd 和 ac 的大小。一、填空题1. abc 中，c=90，a 的平分线 ad 交 bc 于 d，则cd=。ab - ac2.等腰 abc 中， ab=ac，bc=8，且 abc 的内切圆半径是 2，则ab= 。2 213.在 rt abc 中，已知两直角边的差为，两直角边在斜边上的射影3. o 的半径为 2， o 内的点 p 到

14、圆心 o 的距离为 1，过 p 点的弦 ab2 3的差为，求 abc 的三边的长。与劣弧 ab 组成一个弓形，则此弓形面积的最小值是。4.如图， abc 中，c=90，cd 是c 的平分线，ca3，cb=4，则 cd。5.已知在直角三角形 abc 中，c=90，a、b 是a、b 的对边，且a - ab -b = 014.如图，abcd 是正方形，e 为 bc 上一点。将正方形折叠，使a 点、e 点22，则 tan a。1重合，折痕为 mn.若 tanaen= dcce=10，求（1） ane 的面积；（2）6.如图，c=90，bac = 30，bc1，d为 bc 边 上 一 点 ， tanadc 是 方 程3sinenb 的值。113(x + ) -5(x + ) = 22的较大的根，那么xx2cd 的长是。1sina - cosa = ,0 x 180tan =a7.已知，则。5b(x -1)+ c(x +1)- 20x = 08. abc 中，acos bbcos a，关于 x 的方程22的两根相等，则 abc 是三角形。3bcr =cot + cot =9.在 abc 中，bc=3，内切圆半径，则。222 1= km + （k 为常数，k 010.若 0q 30，sin q），那么 的取值范m3围是二、解答题。m + n+ n