弹性力学答案教学内容

1、 【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。正的应力正的面力【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄

2、层中(图 2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。=zyz，且它们不沿 z 方向变化，仅为 ， 的函数。x yxyxy可以认为此问题是平面应力问题。【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受 x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。= 0e【解答】板上处处受法向约束时，且不受切向面力作用，则)板边上只受 x，y 向的面力或约束，所以仅存，且不沿厚度变化，仅为 ， 的函数，故其应变状态接近于平面x yzgg0t t 0=z=(相应oyxzyzzxzye ,e ,g在xyxy应变的情况。 m = 0【

3、2-3】在 图 2-3 的微分体中，若将对形心的力矩平很条件改为对角点的力矩平衡条c件，试问将导出什么形式的方程？【解答】将对形心的力矩平衡条件，改为分别c对四个角点 a、b、d、e 的平衡条件，为计算方便，在 z 方m = 0asdys1(s) 1(t) 1s1dx + +dx dy -+dx dy dx- dy xyx2sxdx2tyxyx2yxxyydydx-( +sdy)dx1 +(t+dy dx dy+ f dxdy - f dxdy =) 1110yy222yyxxx(a)(b)m = 0btssdydx(s +dx)dy1 + (t +yxdy)dx1dy + (s +dy)dx

4、1yxyxx2yy2xydydxdydxt1s1s1110- dy dx - dy - dx + f dxdy + f dxdy =2222xyxyxy= 0mdsdxdy(s +dy)dx1 -t dy1dx+s dy1 +t dx1dyyy22yxyxyx(c)sdxdydydxs 1(s) 1110- dx - +dx dy - f dxdy + f dxdy =x2x222xxxym = 0esdxdydx-(s +dy)dx1 + dys 1 +t 1 +s 1 -dx dy dxyy222yxyxy(d)tsdydydx(s +dx)dy1 -(t +xydx)dy1dx- f d

5、xdy1 + f dxdy1 =0xyxx2x22xxy略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令dxdy,dxd y2 都趋于 0），并将各式都除以dxdy2t t后合并同类项，分别得到=。xyyx【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。 【2-9】试列出图 2-17，图 2-18 所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。qoh1xxgmbh2fslyy ( )hb2图 2-17图 2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精

6、确满足公式（2-15）。【解答】图 2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-1010lm-1( )( )( )- g y + hr+ hr g yf sx011( )f syr00gh1代入公式（2-15）得在主要边界上 x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：( )( )sr (= - g y + h), t0;0;=xx=01(), txy)x=0( )sr (= - g y + hxx=b上，能精确满足下列应力边界条件：1xyx=b= 0= h在小边界 y在小边界 y( )s( )r , t= - gh= 0yxyy=0y=0上，能精确满足下列位移边界条件：2( )( )u=

7、0, v= 0y=h2y=h2这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚d =1时，可求得固定端约束反力分别为：f = 0, f = -r gh b,m = 0sn1为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：= h由于 y2( )s= -rgh bbdxy10y=h2 ( )s= 0bxdxy0y=h( )2t= 0bdxxy0y=h2图 2-18上下主要边界 y=-h/2，y=h/2 上，应精确满足公式（2-15）m(s)fxf (s)yl hy = -00-110q2hy =-0q12(s )= -q (t )= 0 ( )= 0 ( )= -q， s，

8、tyy=-h / 2yx y=-h / 2yy=h / 2yx y=h / 21在 =0 的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符x号相反，有h/2(t ) dx = -fxy x=0s-h/2h/2(s ) dx = -fx x=0n-h/2h/2( ) ydx = -msx x=0-h/2= 0,v = 0在 x=l 的小边界上，可应用位移边界条件u这两个位移边界条件也可改用三个x=lx=l积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：f f q l f q l f= 0, + = = -fxnn1n

9、1nfn= 0, + + = 0 = - -f f ql ql fffmyssss11q lh12ql2fsm = 0,m + m + f l + ql- q lh = 0 m =- m - f l -2222as1s由于 x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故-h /2-h /2-h /2h /2 (s ) dy = f = q l - fx x=ln1nq lh12ql2h /2(s ) ydy =m =m f l- -2x x=lsh /2(t ) dy =f = -ql - fxy x=lss qmoxxfnoaa【2-19】试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，qbvvf

10、 =b/2 b/2f = -x, f = -即体力分量可以表示为，其 中 v 是势函数，n 2xyyb2hhm=qb则 应 力 分 量 亦 可 用 应 力 函 数 表 示 成 为12 f f f222s =+v,s =+v,t= -xy，试导出相应的相容方y2x2xyxy程。(h b,d =1)yy( )b( )a, f【解答】（1）将 f带入平衡微分方程（2-2）图2-19xytt s s v+ f = 0+-= 0yxyxxxxyxy xx（a）sts tv+ f = 0+-= 0yyxyyyxyxx yy将（a）式变换为t (s -v ) += 0yxxyx（b）t(s -v ) +=

11、0xyyyy为了满足式（b），可以取 f f f222s,s,t-v =-v = -y2x2xyxyxy f f f222s+v , =s,t= -xy=+v即y2x2xyxy, f ,s ,s（2）对体力、应力分量 f求偏导数，得xyxyff2v2v= -,= -yxxx2yy2ss f v2 f v24242=+,=x+（c）xx2x y2 x2y2y4 y22ss22 f v f v4242=+,=+yy xx4x2y2x y2y222将（c）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程( ) f fs s(1 m)2+= - +x（2-21）yx yxy f v f v

12、 f v f v v424242422v2+= (1+ )+mx yx2y4y2x4x x yy2x2y222222整理得： f f f v4442v2+ 2+= -(1- )+m（d）x4x y22y4x2 y2即平面应力问题中的相容方程为 f = -(1- ) vm42m将（c）式代入公式（2-22）或将（d）式中的替换为，的平面应变情况下的相容方程：1- m1- 2 v vm f f f44422+ 2+= -+（e）1-mx2 y2x4x y22y41- 2m1- m f = - v2 。即4证毕。【3-4】试考察应力函数f = ay3 在图 3-8 所示的矩形板和坐标 系数 表中能解

13、决什么问题(体力不计)?oyxhl【解答】相容条件:不论系数 a 取何值，应力函数f = ay3 总能满足应力函示的相容方程，式(2-25).求应力分量图3-8当体力不计时，将应力函数f 代入公式(2-24)，得s 6 ,s 0,t t= ay= 0=xyxyyx考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；= 0当 a0 时，考察s 分布情况，注意到t，故 y 向无面力xxy( )()( ) = 6ayy h0 = 0左端: f sftx=xx=0yxyx=0( )s= 6ay= ( ) = 0(0y h )右端: fftx=xxy x=lx l=y应力分布如图所示，

14、当l ? h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩oaxfxfxy主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距 e：因为在 a 点的应力为零。设板宽为 b，集中 ee荷 载 p的偏心距 e：ppppe( ) = -= 0 e = h / 6sbh bh / 6xa2同 理 可 知 ， 当 a 0 时 ， 可 以 解 决 偏 心 压 缩 问 题 。 ff =xy(3h - 4y )2 ，能满【3-6】试考察应力函数22h3xh/2h/2足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图 3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该

15、应力函数能解决的问题。【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）oy(l ? h)l f f f图3-9444+ 2+= 0，显然满足x4x y2 y42（2）将f 代入式（2-24），得应力分量表达式12fxy3f2h4y2s,s 0, t t= -(1-)= -=h3h2xyxyyx（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：hy = 在主要边界上（上下边界）上，( ) ( )，应精确满足应力边界条件式（2-15），应2s0, t0=力yyxy= h/2y= h/2hhh2y = f y = = 0, f y = = 0上，无任何面力，即因此，在主要边界22xy在 x=0，x=l 的

16、次要边界上，面力分别为：3f 4y 2x = 0: f = 0, f =1-2hh2xy12fly3f 4y 2x = l : f = -, f = -1-2hh2h3xy因此，各边界上的面力分布如图所示：在 x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：x=0 上 x=l 上f = h/2 f dy = 0x向主矢：f = h/2 f dy = 0,nxnx1-h/22-h/2f = h/2 f dy = -fy向主矢：f = h/2 f dy = f,sysy1-h/22-h/2m = h/2 f ydy = -fl主矩：m = h/2 f ydy = 0,-h/2因此，可以画出

17、主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：1x2x-h/2(a)(b)因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力f 作用的问题。 【3-10】设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l ? h（图 3-12），试用应力函f = axy + by + cy + dxy3 求解应力分量。数23【解答】采用半逆解法求解（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然xoy满足h/2（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)(l ? h)ls 2 66= b + by + dxy图3-9xs 0=y( )t t3= = - a+ dyyx2xy(a)(3)考察边界

18、条件= h / 2主要边界 y上，应精确满足应力边界条件( )= 0s，满足yy= h/2( )3= 0,a+ dh = 0t得（b）24xyy=h/2在次要边界 x=0 上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件 ( ) (dy = -f h/2 2b + 6cy dy = -f b = -)fn2h2mh3sh/2xx=0nn-h/2-h/2 ( ) ()b cy ydyh/2s= - h/22 6+m c= - = -ydymxx=0-h/2-h/2( )( )21-h/2-h/2h/2 t= - h/2 - +3= - +dh f （c）=dyfa dy dyfah34xysssx

19、=0联立方程（b）（c）得3f2fa =, d = -ss2hh3( )= l最后一个次要边界 x上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。将系数 a、b、c、d 代入公式（a），得应力分量12my -12 xyfnhfsh3s= -h3xs 0=y3f y2t1- 4= -s2hh2xy 【3-11】设图 3-13 中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 r ，试用纯三次式的应力函数求解。f=ax + bx y + cxy + dy3 ，不论上式中的系设应力函数322数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）(2) 由式（2-24）求应力

20、分量= 0, f = g由体力分量 fr ，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：xy f2=- f x = 2cx + 6dysst（a）（b）（c）y2xx f262r=- f y = ax + by - gyy2yy f2= -= -2bx - 2cyxyxy（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。对于主要边界 y= 0，其应力边界条件为：( ) = 0 ( ) = 0st，（d）（e）yy=0yx y=0将式（d）代入式（b），（c），可得a = 0，b=0= x tana （斜面上），应力边界条件：对于主要边界 y= f = 0= -sina ，该斜面外法线方向余弦为，

21、l在斜面上没有面力作用，即 fxym = cosa .由公式（2-15），得应力边界条件-sin a (s )+cosa (t )= 0y=xtana= tanayx y x（f）x-sina (t )xycosa (s )= 0y=xtanay y x= tana将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得rgrgc =cota, d = -cot a2（g）23将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：s r a= gxcot - 2 gycot2a rxsr= - gyytr cota= - gyxy br= a +u = 04-3 在轴对称位移问题中

22、，试导出按位移求解的基本方程。并证明ur,rj可以满足此基本方程。【解】（1）设，代入几何方程中，教材中式（4-2）得形变分量uueeg=, = ,= 0rr（a）（b）rrrjrj将式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）得用位移表示的应力分量 uu esm+=r 1rr mrr-22 u u esm=j 1+rr mr r-t= 0rj将（b）式代入平衡微分方程，教材中式（4-1），在轴对称问题中，平衡方程为sts s-1+= 0rrjrjr r jr（c）s t2t 1+= 0jrjrjr j rr式（c）中的第二式自然满足，第一式为s s-st uu 1dem+= 0 rrjrjrr

23、r r jrrmrrd 1- 2 duu du u 1eemm+-+= 0 rr rr rmrrmr r1- d 1- d22mm1du u d u2duduumm+- u +-= 0 rrrrrr r r r rr rrr rdddr d22mmmd u2duduudu u-1m+- u +-= 0 rrrrrrr r r rr rr r r rdddrd2222d u2du u-1+= 0rrrr r r rdd22上式即为求的基本方程。（2）将代入式（d），很显然满足方程。 qfr cos3j3，能解决题 4-8 图所示弹性体的何种受力问题？=4-8 试考察应力函数6a【解】本题按逆解法

24、求解。（1）相容条件把应力函数代入相容方程显然是满足的。（2）由应力函数求应力分量表达式1 f 1 f 1 q1 2q2s=r cos3jr cos3j=+=+33r r r r j r r 6r j 6 a a22221 qr 6aq1 q3r cos3j+r3(-3sin 3j)2r 6ja 23qr cos3jr cos3j-2a2aqar cos3j= -f2 q q q2sr cos3j3r cos3jrcos3j=32j r r 6r 6 a a a22 1 f 1 q 3qt()r cos3jr sin 3j= -= -= -33rjr r jr r j 6r r 6a a q

25、qr sin 3jrsin 3j=2r 2aa求出边界上的面力r= 30面上，s = 0，t= q；jjjra= as = - cos 3j t = sin 3jq ， qr面上，rrj面力分布如解 4-8 图所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。 4-18 设半面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为 m，如题 4-l8 图所示，试求应力分量。【解】应用半逆解法求解。（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应为应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形势组合。( )f f j（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设（3）将代入相容方程，得=。 2 1122f+= 0 r r r r j222 2 1111( )f j= 0 222+r r r r jr r r r j222222 2 f 1 d1122+= 0 r r r r jr jd22222f f f 1 dd1 d1 d 1 d1 d22222+= 0 r r jd r r r jr j r jd d d d d 222222222fff6 d1 2 d1 d224-