三垂线法求二面角专题

1、（精品） 面角专题 1、（本小题满分13分）如图，已知DU平面 ABE四边形ABCD是边长为2的正方形，在 ABE 中，AE=1, BE=. 3。 （I）证明：平面 ADEL平面BCE （n）求二面角 B AC- E的大小； 解：(I) DA!平面 ABE DAI BE ABE 中, AE=1 BE= 3 AB=2 BE 丄 EA BE 平面ADE BE 平面BCE 平面ADEL平面BCE arccos V ) 7 2、（本小题满分12分）如图，ABCD为直角梯形, DAB ABC 90 , AB BC 1 , （注：此题也可证明 AE 面BCE , AE 面ADE，从而平面ADEL平面BC日

2、 （n）过点E作EFL AB与F DAL平面 ABE/.平面 ABCDL平面 ABE EF丄平面 ABCD过F作FGL AC与G,连EQ贝U EG! AC （三垂线定理） / EGF为二面角B-AC- E的平面角。 在 Rt EFG中 tan EGF.6, EGF arctan、6 GF （注：此题答案还可写成 arcsin 42或者是写成 7 ACD 90 D AD 2, PA 平面 ABCD, PA 1。 、求点P到CD的距离； 、求证：平面 PAC 平面PCD ; 、求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。 解：取AD的中点F，连结CF。 易证四边形 ABCF是正方形， CF AB 1

3、 又T AD 2 1 CF AD 1,a CF AF FD 2 即 AC CD PA 平面 ABCD PC CD P到CD的距离为PC , PC 3 证明： AC CD , PC CD 且 AC PC C , CD 平面 PAC 又:CD 平面PCD 平面PAC 平面PCD 解：延长DC交AB的延长线于 G，连结PG。 平面PAB 平面PCD PG , 易证DA 平面PAB 过A作AH PG ,垂足为H，连结DH , 得到 AHD为所求二面角的平面角 AH 2 . 5，tan AHD 竺 5 5AH AHD arctan 一 5 平面PAB与平面PCD所成二面角为arctan 5 （注：此题答

4、案还可写成 arcsinU0或者是写成arccos-6，并且也可用射影面积法求解） 6 6 3、（12分）如图：已知四棱锥 P ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形, （2）求二面角B DE C的平面角的正切值。 【解析】（1）要证两个平面互相垂直， 常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面 的一条垂线。 首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以， DE PC , 那么我们自然想到：是否有 DE 面PBC ?这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难 的事情。 面PDCL底面 ABDD,交线为DC DE在平面ABDD内的射影就是 DQ 在正方形 ABCD

5、中，DCL CB, DEL CBo 又 PC BC C , PC BC 面 PBC , DEL 面 PBC o 又DE 面EDB, 平面EDB丄平面PBCo （2）由（1）的证明可知：DE!面PBC。所以，BEC就是二面角B DE C的平 面角。 面PDCL底面ABCD,交线为DC 又平面ABDD内的直线CBL DC。 CB丄面PDC 又PC 面PDC CB丄 PG BC BEC2 CE tan 在Rt ECB中, 4、(12分)一副三角板拼成一个四边形 (1) 求证：平面ABDL平面ACD (2) 求二面角A BD-C的大小. 解析：(1 )证明：取BC中点E,连结 AE, / ABAC 二 AEL BC 平面ABCL平面BCD AE!平面 BCD BCL CD由三垂线定理知 ABL CD 又 ABL AC - AEL平面 BCD / AB 平面ABD 平面 ABD_平面 ACD (2)解：T AE!面 BCD 过 E 作 EGL BD于 G连结 AG由三垂线定理知 AGL BD AGE为二面角 A- BD-C的平面角 / EBG30。, BE= 2 m