计算方法公式总结

1、精品文档计算方法公式总结绪论4.3欢迎下载绝对误差x , x为准确值，X为近似值。绝对误差限|e| |x x|，&为正数，称为绝对误差限r通常用e表示相对误差r相对误差e相对误差限|er| r或|er | r有效数字元函数y=f (x)绝对误差 e(y) f(x)e(x)相对误差e(y)e(y)yf (x) e(x)yxf(x)f(x)er(x)二元函数 y=f (xi,x 2)XiX2绝对误差 e(y)f(xi,x)dxif(x,x)dx2/、 f （Xi,X2）X1/、相对误差er（y）0（为）9 翌 er（X2）yX2e（xi + 叼）=e（x） + e（2）? E（叼 一 X2） =

2、E（叼）一 e（X2）, e街2）o x2e（zi） 诧（叼）,却e（zi）e丄1e（J72）.2er（ 十 远2） a切（叼）H+迟2囂+迟2*v龙 I/山 2/飾（功 -X2）心寺（心）=巳厂（工2）,X 一工2工1 运2crV “（叼）一。（叼）.er（xix2） Q 引（叼）+ 6（叼），机器数系1）数的浮点表小:才=土（0.5他如）护;其中 0 /3（1 / n）, L pU.2）机器中的数集是有限的：j-二（0.两血）卩卩：1 W切S E0 - ,i=2t：ir ynLp U3）实数返- -、兀（机器数）.注：1.2,且通常取2、4、6、82. n为计算机字长3.指数p称为阶码（指

3、数），有固定上下限L、U 尾数部sO.aL a.,定位部 p5.机器数个数1 2（1） n 1（U L 1）机器数误差限精品文档1舍入绝对|x fl(x)| - n p截断绝对|x fl(x)|舍入相对|X fl(x)|X|截断相对|x fl(x)|X|11欢迎下载积分中值定理设几r)/(砒在p川匕连续,H询砧上保号负或井1叮，则存 扳UL使得f*bf A/ f dx = /) / 金)drJ aJ a秦九韶算法方程求根im*f(x) (x xf g(x), g(x) 0 , x 为 f (x) =0 的 m重根。二分法抵一 口| S 3(加一心)冬乔订少一 a)+对丁给定桔度6若取A;使彳7

4、1门、冇卩一町 &则有|* 切 迭代法f(x) 0Xk 1(Xk ) k=0、1、2* *xk为迭代序列，（x）为迭代函数，!im xkx （X ）k定理1设祕对在b内存在阶连续导数，且满足：1）当a; G a川时,卩佃） at6；2）存在正常数E oc4)L1-L耳一血-山人=123；Lk-l-LA； = 1 r 2 , 3 ：局部收敛定义1对方程丄=卩，若在:的果个邻域S = 龙|工_才| 内，对任意初值兀e S迭代格式电+i =以列）都收敛，则称 迭代法在的附近局部收敛*定理3设方程血=卩3）有根说 且在E的某个邻域S = x|x-X*| d内卩（对一阶连续可导，贝!|1）当|0（h）|

5、 1时,迭代格式发散-注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛定义2设序列口收敛于并记 =心如杲存在常 数P 21及非零常数C使得则称序列盹是卫阶收敛的. .” 一 1,卩(工“)=0,人二12 沖3)*0,则迭代格式件詁附近足卫阶局部收敛的 L仃-r* _ ”3)(汩)定理4 问讪”附近的某个邻域内有(鼻1)阶连续孑数且(14)(15)Hin - frIoo i(16)如 k _ 如果卩=1要求0(/)| 1 牛顿迭代法f(x) f(Xk) f (Xk)(X Xk) 0Xk 1Xk T(k 0,1,2 丄)f (Xk)注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近

6、真值。半为方程单根时,Newton迭代是二阶局部收敛.当分为方程m伽 2)重根时,Newton迭代一阶局部收敛.牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件定理5设函数几叨在区间血切内2阶连续可导，且满足:1)Co* |ci| 0;2) |6| |Oi| + |q|,”3) 如 at! 0*易证(4)的系数矩阵非奇异.利用6皿消去法解方程组每步 消元只要消一个元素消元过程算法如下：,n做=b. yi=2 Pi-1iii=&一 iiCt-i, yt = di /妙一加ci口202C2d口36.3* Q* 豪I- 十*T1 J n1珂一*1血A!/1 0肉c2V2003

7、”C3A也V0in15 1tVyn-0Vn _回代算法:叭二（-G心+1）/04列主元高斯消元法设进彳亍了斤1步消元.打片(1)）J1)片allaV2知叫1alkalnrtLn+10(2)23叫1a2,k aln4 100(3)喙1遵tt3Tn+li-00()04*0-0(A-1)匚-1）心）（以）A的=竹-1410ak-,k(k) au皑-I 誑44卅) ahw-000 1)-aM,nA：+ 1 ,Tl+1+ +0+-04+0 0*- * a*-(Ai-V00 v 40 0ankt b nn他）当1 ask 1 max1 aik 1 即第k次消元把kn行第k列绝对值最大的行（s2.1向量范数

8、i殳必=（富為严G RX定义1设危）=|卜|是皿上的函数，如果满足:D （非负性丿 Ve Rn,有|时| Of M|x| = 0 o 忑=0； 2”齐次性丿色 G Rn, AeR 有以 | = |A|o?|;3）（三角不等式）如9 R”,有A + 2/|h| + |训. 则称II * IPjR上的范数.常川的三个向量范数：n1）1范数：II划|1 =工山|;112）00-范数:lllloo = max |a|；ln3）2范数：|2 = J ”=血 = /a；）.精品文档定理2设A GnMill2)则=max lAxlli =nmax y hijL1勺s| 训=1i-l=山暮|山忑|二n弋焉刀隔

9、l険lloc=lJ=1=S=p(ATA).A=iHlloc定义5设B e R吟 九也，九为B的ri个特征值，称pB = max|Af|!?n为矩阵左的谱半彳包定理3闵 |是理曲I:的杆总一个矩阵范数，A e射牟 则有P（A） )/33*卍十1)=(切-為1龙,)- an2_ *如厲佟1)/门73711迭代矩阵JD (L U)收敛性判据：| I J | 0 |D 1 |?|L DU|O|L D U | 0 求出 最大值小于1( J的谱半径小于1)即迭代格式收敛.Gauss-Seidel 迭代法迭代格式(k 1)1(k 1):(k)x D ( Lx Ux b)x(k 1) (D L) 1 Ux(k

10、)(D L) 1b1迭代矩阵：G (D L) U1常数矩阵：g (D L) b(+1)7 1g仗)(A) /K = (*1I 0122 1必3毗)/口 11(M) l(M)W(k) t可 =02 - 211 切3巧翊订訂)“22收敛性判据: DE| I G | 0|(D L) 1 |?| (D L) U | 0| (D L) U | 0求出最大值小于1 (G的谱半径小于_ 1)即迭代格式收敛.结论：当A是严格对角占优的，则Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收敛的甫值法用插值多项式p( x)代替被插函数f(x)插值多项式：P(x)3q ax Lanx ，n+1个点 P(xJyi(i

11、0: n)插值区间：a,b，插值点满足axox1LXnb求插值多项式p( x)，即求多项式系数的过程为插值法带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0,有唯一解。即n+1插值条件对应的不超过 n次的插值函数 P(x)只有一个。次线性插值P (x)X。xlX1y。y1人 x。yi(x) y1(x)lk(x)(X Xi)i 0、i 7i kn0(Xk Xi)n (x Xi)0 (Xk Xi)Lagrange插值多项式Ln(X)yJk(x)k 0n(j0i kXXk)yk插值余项非插值节点上Lagrange插值多项式为被插函数f(x)的近似值Rn(X)f(X) Ln(X)n(n 1)!i0(

12、xXi)(a,b)带导数插值条件的余项估计(1)求一个三灰多项式H(P使得歸口 fW”r(d), h()二 Z*H(a =只八 H (a) - f巴 乂 S八fix) H(h) =4!它的余项为求一个三次爭项式H(J使得它的余项为f() -H(x)=匚严(定理2设1/何(宅)在血b I :连续 /(n+1)(x)在(a，b)内存在 % X1, ,巧 训 为互异节点,Ln(x)是满足的插值多项式 则 对Vc G 7, 6, 3 (a, b) (依歟于小便得凡(石)=f 仗)一 Ln(x)=(“ + 1)!(10)JI冲 5+1(工)=-血)i=0注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数(t)R.(

13、t) K(x)Wni(t)注2 “ g依赖于眄即f = C(x) E心；1,卫觅,Xo)*2丿为几厂)木身是一个次数不超过li勺苏项式时./(T)- E的= a因而S3)人叭特别当/(x) = l则有n X 3 = 1 A=U3丿由于 般不能精饰求出,因此只能估计误差.设- Afn+lj则仃皿何丄弟MI第二条性质用于可以证明阶数不大于n的f(x)的插值余项为0.差商和Newton插值法定义2设i2知函数也）在舁+ 1个互异节点心円吗上的 函数值为子仙1）. /（iCl）p.子1）.称.f（ - fgJ 几 A =巧斗为/（关于节点羽叼的/阶差商（均差丄称/阶差商打几呵|和 打弓：九的差商f *

14、巧*士九”阮,:工7j/（x）关于节点j;巧叼*七的2阶澄商，一般地*称2个盒1阶的 建商为k阶差瓶L!卩Tkl,叼，卫卜|“订一 f 呵，叼,“可 2叼约定0阶茸商是函数ftl计算函数的淬商可以通过列表法计算。记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近 k元素的差商，第二项是第一个临近 k个元素的差商。性质3郅介差商和A;阶导数之间有如F关系;打1严5）/皿g川如=,其中q W （niitir0, 锐订11恋叭川,牛顿插值多项式G（不）=几叼）+打呵叼（不一啦）+ /肚山叼22仗一叼）（龙一4） + .+ f -Oi 工1厂,工前一匹o）（富X1） * * *（X

15、 Xn-1）*（ 1 5）（15 ）称为n * Newton插值多项式.通常记作Nn（ x）分段样条插值给定“疋）在比+ 1个节点d = To J：1 V * xn = b上的函数 值：JCIX几一J（X1）f（n）1 切h = inax壮在每个小区间叼旳+打上作子佃）llht = jCf的线性插值的）一几鸟）+ /国，疋好1（工一叭）,maxUin-1）-厶 1/（兀）=J（I -心）3 5& I;口:心十）从而有品心恥）1 了严（&）3 一 切（富 一 51）maxTirri+1拥max |和)1(17)三次样条插值函数分段二次样条插值讨论n为奇偶情况时的三个点余项估计式第一类边界条件（端

16、点一阶导数已知）6j = 1,2,，n-1的十心巧+1(孰十M+1)町-叼)+眄3 - xj)2 + 丽r A+i Mj)(e Xj)3,r E 巧，叼十i, j = 11，口 一 L i 26)曲线拟合最小二乘原理函数关于n个点线性无关定义1设心巧、珀是伦个互不相同的点，仇（足）的（叭 神的）是（皿十1）个己知的函数如果存在不全为 零的常数州使得切00叼）十 6如（巧）H%（巧）-, J - 1,2（co?ci - .Cm） - uiiiiy如）（3）闵川严fajneR称m卩（足）=工齢1=0为数据的拟合函数.如東血（=忑匸则称。（叮为m次彊小一乘多项式.注：线性无关的函数为1,x, X2,

17、 X3丄n,X才是最小二乘多项式f如咖! I如妙Q炉叹(如00)($141)(林0 砒): : * m)妙)44(!/?為0给定方程组位11江12*化1畀星_rfc旧1 曲2*4*VV_也ml。应2 八如皿_ bg貝冲加几系数矩阵A的列向量线性无关.方程（5）称为超定方 程组.该方程组一般没有精确解*记mtn小（巧屮2 ）-刀丫求瑶疡,X*,使得;w二，晒）二 min（叼：叼，* .；门,帀,“ .TneR山驻点方程组的理论可知，琳咗 卫;是卜面方程组的解:ArAx - A1 b注：记住公式即可。数值积分和数值微分性质7 （定积分中值定理）如果函数/（兀）在闭区间叭纠上连续,则在积分区间们上至

18、少存在一个歳使7（兀冷=/（6）（方辿 ggD由乱值含式般的数值积分公式为:nf （时必 刀月汀（叼J,X：0Xk 为求积节点， A 为求积系数。插值求积公式/(/)rbI f)dxuii4Lnd)dj：fb 43)血f血)k=0=力A汀(心)A-0+ th. t |0: n: Xj+ J兄竝=a + kfh定义2如果求积点弧伙=0丄)是等距的,即.,b a斤=a十a =n则称对应的插值型求积公式为Newton-Cotes公式(_ nn-A： 严 nC卄=一yr- TT(Z j)dt A =，地11.作变换_r =H t可M2 2心)=f害f (L + b b (7 - + Tf-itT1.1

19、上的Gauss公式得猖/上的GaussA77/(X l- 6 b (i 、( 5 I和二(7.记住Xktk, A A的关系，tk Ak查表即可= I-杯， -4a 二一 Ai A；二 0 J冗,jW则得讷上的Gau阴积分公式为人（门=工4汀血）A-0定义4役有计算积分/(刀的复化求枳公式几(/),如果存在正整 数p和非零常数G便怖()-人(了) h-O hp则称公式I丄打缶P阶的.复化梯形公式_2阶，复化_Simpson公式4阶，复化Cote公式6阶计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可1给定精度&,班1 1 I2n( f )1 n( f ) 1 时1|l(f) G(f

20、)| 厂 Il2n(f) ln(f)|因而可以取l2n(f )为l(f )的近似值。梯形占I1心)sun決(门跆川Simps on数值微分畑)仏骂一畑 (向前差剛几)一 ?心一办),(向后龙商)门呵)门/伽D 款伽件(中点葢商)数值微分截断误差畑）_仏+: -皿=气严仙）+0（胪）， fM -皿）-严。）=少伽）十。（們， 畑）-g + h）J（D 号严血）+ 0（們,中点公式：f (Xo h) f (Xo h)2h常微分方程数值解法左矩形公式/ g(x)dx =少 一 a)ga) + 少 丁) g), & (碍风右矩形公式ack * pdf J g(rr)血=(b_a)g(b) 一 J(),中矩形公式/ gx)dx = (b - a)g (-) -_g(), (码 亦梯形公式f g血=弓血)+地)一气乌， e匕gEuler方法f yf -axb,= 7假设1) 心必警型连续.2) (I)存在唯一解?/3)且在仏引上充分光滑.、h = (b a)/n.= + 汎，(j = 0? 1厂,n)