天然肠衣搭配优化模型应用

1、天然肠衣搭配优化模型摘要本文研究了天然肠衣在组装出成品时的搭配问题，在建立数学模型时，主要考虑了采用何种捆绑模式进行搭配才为最优方案，从而使得公司在天然肠衣的组装过程中捆绑效率提高，且在生产中可靠，实用。在模型假设允许的条件下，方案的设计中考虑到了两个标准：一是装出的成品捆数越多越好，二是对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好。为了使模型设计得到的方案在实际生产中简单，有效的进行。在解决肠衣搭配模型的问题中，将不同的三种规格A,B,C依次从后往前推理，先取最长规格的（我们假设C规格）肠衣，再将C规格剩余的肠衣降级使用。而后，我们再从较长的规格（我们假 设为B规格）中取，再剩余

2、的肠衣降级使用。最后从最短规格（我们假设为A规格）中取，剩余的作为废料。由于C规格中变量相对绝对值较大，所以我将 C规格分成两种情 况处理，20个变量中，前十个为C1规格，后十个为C2规格，其他限制条件不变。本文在问题的解决中采用数学的非线性规划模型进行求解，并运用lingo软件，使其与之相结合使用。在非线性规划中，为了满足条件中成品捆数越多越好，我们确定目标函数为maxXi，从而在问题的解决中能够得到最优的答案，通过lingo软件对模型中的约束性条件进行处理，使得非线性规划和lingo软件在模型的处理中起到了关键性作用，并使方案得以优化。关键词：肠衣搭配数学模型非线性规划lingo软件最优方

3、案1 问题重述肠衣在组装的时候总长度是一定的，但组装前的肠衣长度是不等的小段。为了提高 生产效率，公司计划改变组装工艺，丈量了所有库存原料。且为了使肠衣长度均匀，将 原料合理的分为三个规格进行搭配。现在要对这批原料进行搭配，为了使原料的使用率 提高，总长度允许有 0.5 的误差，总根数允许比标准少一根；当某种规格对应原料出 现剩余时，可以降级使用， 如长度为 14米的原料可以和长度介于 7-13.5米的进行捆扎， 成品属于 7-13.5 米的规格；当成品捆数相同时，最短长度最长的成品越多越好；最后组 装的成品捆数越多越好；为了食品保鲜，要求在 30 分钟内产生方案。根据以上条件， 设计一个最优

4、的原料搭配方案，使工人能“照方抓药” 。2 问题分析对于肠衣搭配问题首先要确定采用哪些捆绑模式，所谓捆绑模式，是指工人在现有 的原料中所要取肠衣根数的方案。于是问题化为在简化工人工作的条件下，按照哪几种 合理的模式，每种模式捆绑多少根怎样的原料肠衣最为优化。而所谓优化，可以有两种 标准，一是装出的成品捆数越多越好，二是对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的 成品越多，方案越好。再者，为了问题简单化，题中允许总长度允许有0.5 米的误差，总根数允许比标准少 1 根；如果某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长 度为 14 米的原料可以和长度介于 7-13.5米的进行捆扎，成品属于 7-1

5、3.5 米的规格。那 么为了满足以上要求， 首先我们要从后往前推理， 先取最长规格的（我们假设为 C 规格），再将C规格剩余的，降级使用。再者，我们再从较长的规格（我们假设为B规格）中取, 剩余的肠衣降级使用。最后从最短规格（我们假设为 A 规格）中取，剩余的作为废料。 由于C规格中变量相对绝对值较大，所以我将C规格变成两种，20个变量中，前十个为C 1 规格，后十个为 C 2 规格。所以我们选择建立非线性规划模型分析求解，同时确定 捆绑具体方案。3 模型假设在加工肠衣时工人正常工作，原料被正确的按规格分配。生产的肠衣成品有 A,B,C 三种规格。不同规格的肠衣分配到不同的车间加工。 零售商从

6、肠衣厂进货时所获得的肠衣成品均为合格品。 不考虑因操作不当而引起的肠衣损坏，即所生产的肠衣成品都是令人满意的。 搭配过程中，肠衣不会变质。取j次正好能取尽。原料按长度分档，以 0.5米为一档，如 3-3.4米按 3米计算，依此类推。4符号假设5：表示按C种规格在第i 0 =1,2,20）种长度段中，第j （ j =1,2,3）次取时， 取得的根数；yij :表示按B种规格在第i种长度段中，第j次取时，取得的根数。tij:表示按A种规格在第i种长度段中，第j次取时，取得的根数。xj :表示第 j 次取得的梱数。乐SiB Sic：表示表2中，相对应的根数。如:S1C （即为14-14.4米的总根数

7、）=35, S20C（即为25.5-25.9米的总根数）=1，S1B （即为7-7.4米的总根数）=24, S14B （即为13.5-13.9米的总根数 ）=25， s1A （即为 3-3.4 米的总根数 ）=43， s8A （即为 6.5-6.9米的总根数 ）=21。5 模型建立I、决策变量我们假设从14-14.4米段中第一次取r11根，从14.5-14.9米段中第一次取12根， 从15-15.4米段中第一次取31根，依此类推，从25.5-25.9米段中第一次取201根。 设从7-7.4米段中第一次取yn根，从7.5-7.9米段中第一次取y21根，从8-8.4米段 中第一次取y31根，依此类

8、推，从13.5-13.9米段中第一次取y141根；从7-7.4米段中第二 次取yi2根，从7.5-7.9米段中第二次取y22根，从8-8.4米段中第二次取2根，依此类 推，从13.5-13.9米段中第二次取yi42根。设从3-3.4米段中第一次取tn根，从3.5-3.9米段中第一次取t21根，从4-4.4米段中 第一次取t31根，依此类推，从6.5-6.9米段中第一次取t81根；从3-3.4米段中第二次取 如 根，从3.5-3.9米段中第二次取t22根，从4-4.4米段中第二次取ts2根，依此类推，从6.5-6.9 米段中第二次取t82根；从3-3.4米段中第三次取t13根，从3.5-3.9米

9、段中第三次取t23根， 从4-4.4米段中第三次取七33根，依此类推，从6.5-6.9米段中第三次取ts3根。显然，rj,yj,tj均为正整数。U、决策目标为了满足条件中成品捆数越多越好，我们确定目标函数Max 八 Xi;川、约束条件根据表1和表2（如下图），我们对A, B, C 1, C2四种规格进行如下约束：（1）在按C1和C 2种规格捆绑时，为了使捆数最多，应有：送（5 * xj “cM rj 58.5 兰瓦（siC * h ）兰89.5(2) 在按B种规格捆绑时，为了使捆数最多，应有:Z (yj * xj 兰命Z yj 888.5 兰送(sb * yj )兰 89.5(3) 在按A种规

10、格捆绑时，为了使捆数最多，应有:乞(tj * Xj a丿19兰送tj 2088.5 兰瓦(siA *5 )兰89.5表1成品规格表最短长度最大长度根数总长度36.52089713.588914OO589表2原料描述表长 度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根 数4359394127283421长 度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10 .9根 数2424202521232118长11-11.11.5-1112-12.12.5-1213-13.13.5-1314-14.1

11、4.5-14度4.94.94.94.9根 数3123225918253529长15-15.15.5-1516-16.16.5-1617-17.17.5-1718-18.18.5-18度4.94.94.94.9根 数3042284245495064长19-19.19.5-1920-20.20.5-2021-21.21.5-2122-22.22.5-22度4.94.94.94.9根 数526349352716122长 度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24 .925-25.425.5-25 .9根 数060001根据约束条件和目标函数建立整数非线性规划模型。6模型求解将上述

12、建立的整数非线性规划模型运用lingo软件求解，其求解程序见附录1,附录 3,附录5,运行结果显示见附录2,附录4,附录6由求解结果可知，C 1种规格最多能捆69捆，C 2种规格最多能捆8捆，B种规格 最多能捆32捆，A种规格最多能捆14捆。对于lingo求得方案，用下表表示：在C1规格中，进行两次搭配，搭配方案如表表C 1 C1规格1919. 52020. 52121 . 52222. 523. 525. 5W10000000221W20000001040在C2规格中，进行两次搭配，搭配方案如表：表C2 C2规格1919. 52020. 52121 . 52222. 523. 525. 5R

13、10000003100R20000003010在B规格中，进行两次搭配，搭配方案如表表B B规格77.588.599.51010.51111.51212.51313.5Y100010111011011Y201001000200400在A规格中，进行三次搭配，搭配方案如表表A A规格33.544.555.566.5T170021180T234333022T3143305217模型讨论在本次搭配方案中，主要运用lingo软件，根据公司对搭配方案的要求，并且使目标函数Max= Xi取得最大值，我们对函数进行了四方面约束条件，一是，对取得的根数分三种规格进行要求； 二是，对每捆肠衣的总长度进行了限制；

14、 三是，对每一小段中所取肠衣根数进行了要求；最后，在运行ng。语句时，要求取整。但是在操作中会有大量剩余，造成严重损失，并且开始假设3-3.4米按3米计算等，也会产生误差和损失。18参考文献1 赫孝良等 . 数学建模竞赛赛题简析与论文点评 . 西安： 西安交通大学出版社， 2002.2 陈理荣主编 . 数学建模导论 .北京：北京邮电大学出版社， 1999.3 吴翊，吴孟达，成礼智编著 .数学建模的理论与实践 .长沙：国防科技大学出版社， 19994 韩中庚. 数学建模竞赛 :获奖论文精选与点评 .北京：科学出版社 : 第 1 版 （2008 年 4月 7 日） .附录1：C 1种规格中所取根数

15、的 lingo 总程序代码：model: max=(x1+x2);r11*x1+r12*x2 =35;r21*x1+r22*x2 =29;r31*x1+r32*x2 =30;r41*x1+r42*x2 =42;r51*x1+r52*x2 =28;r61*x1+r62*x2 =42;r71*x1+r72*x2 =45;r81*x1+r82*x2 =49;r91*x1+r92*x23=50;r101*x1+r102*x2 =4;r11+r21+r31+r41+r51+r61+r71+r81+r91+r101 =4;r12+r22+r32+r42+r52+r62+r72+r82+r92+r102 =

16、88.5;14*r11+14.5*r21+15*r31+15.5*r41+16*r51+16.5*r61+17*r71+17.5*r81+18*r91+18.5*r101 =88.5;14*r12+14.5*r22+15*r32+15.5*r42+16*r52+16.5*r62+17*r72+17.5*r82+18*r92+18.5*r102 =89.5;gin(x1); gin(x2); gin(x3); gin(r11); gin(r21); gin(r31); gin(r41); gin(r51 ); gin(r61); gin(r71); gin(r81); gin(r91); gin

17、(r101);gin(r12); gin(r22); gin(r32); gin(r42); gin(r52); gin(r62); gin(r72); gin( r82); gin(r92); gin(r102);end附录 2：69.0000069.000000.000000382910Local optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations:VariableValue Reduced Cost

18、X124.00000-1.000000X245.00000-1.000000R110.0000000.000000R120.0000000.000000R210.0000000.000000R220.0000000.000000R310.0000000.000000R320.0000000.000000R410.0000000.000000R420.0000000.000000R510.0000000.000000R520.0000000.000000R610.0000000.000000R620.0000000.000000R710.0000000.000000R721.0000000.00

19、0000R812.0000000.000000R820.0000000.000000R912.0000000.000000R924.0000000.000000X230.0000000.000000R1011.0000000.000000R1020.0000000.000000X30.0000000.000000RorSlack or SurplusDual Price169.000001.000000235.000000.000000329.000000.000000430.000000.000000542.000000.000000628.000000.000000742.000000.0

20、0000080.0000000.00000091.0000000.000000102.0000000.0000001140.000000.000000121.0000000.000000130.0000000.000000141.0000000.000000150.0000000.000000161.0000000.000000170.0000000.000000180.50000000.000000190.50000000.000000附录 3：C 2种规格中所取根数的 lingo 总程序代码 ：model: max=(x1+x2);r111*x1+r112*x2 =52;r121*x1+r

21、122*x2 =63;r131*x1+r132*x2 =49;r141*x1+r142*x2 =35;r151*x1+r152*x2 =27;r161*x1+r162*x2 =16;r171*x1+r172*x23=12;r181*x1+r182*x2 =2;r191*x1+r192*x2 =6;r201*x1+r202*x2 =4;r111+r121+r131+r141+r151+r161+r171+r181+r191+r201=4;r112+r122+r132+r142+r152+r162+r172+r182+r192+r202=88.5;19*r111+19.5*r121+20*r131

22、+20.5*r141+21*r151+21.5*r161+22*r171+22.5*r181+23.5*r191+25.5*r201=88.5;19*r112+19.5*r122+20*r132+20.5*r142+21*r152+21.5*r162+22*r172+22.5*r182+23.5*r192+25.5*r202=89.5;gin(r111); gin(r121); gin(r131); gin(r141); gin(r151); gin(r161); gin(r171 ); gin(r181); gin(r191); gin(r201);gin(r112); gin(r122);

23、 gin(r132); gin(r142); gin(r152); gin(r162); gin(r172 ); gin(r182); gin(r192); gin(r202);end附录 4：Local optimal solution found.Objective value:Objective bound:Infeasibilities:Extended solver steps:Total solver iterations:8.0000008.0000000.000000957843VariableX12.0000000.000000X26.0000000.000000R1110.

24、0000000.000000R1120.0000000.000000R1210.0000000.000000R1220.0000000.000000R1310.0000000.000000R1320.0000000.000000R1410.0000000.000000R1420.0000000.000000R1510.0000000.000000R1520.0000000.000000R1610.0000000.000000R1620.0000000.000000R1713.0000000.000000R1723.0000000.000000X230.0000000.000000R1811.0

25、000002.000004R1820.0000006.000012R1910.0000002.000004R1921.0000006.000012R2010.0000000.000000Value Reduced CostR202 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price18.0000001.000000252.000000.0000003 63.000004 49.000005 35.000006 27.000007 16.000008 6.0000009 0.00000010 0.00000011 1.0000000.0000000.

26、0000000.0000000.0000000.0000000.0000001.0000011.0000010.00000012 0.000000 0.00000013 1.0000000.00000014 0.0000000.00000015 1.0000000.00000016 0.0000000.00000017 1.000000 0.00000018 1.0000000.00000019 0.0000000.000000附录 5：B 种规格中所取根数的 Lingo 总程序代码 ： model:max=x1+x2;y11*x1+y12*x2=24;y21*x1+y22*x2=24;y31

27、*x1+y32*x2=20;y41*x1+y42*x2=25;y51*x1+y52*x2=21;y61*x1+y62*x2=23;y71*x1+y72*x2=21;y81*x1+y82*x2=18;y91*x1+y92*x2=31; y101*x1+y102*x2=23;y111*x1+y112*x2=22;y121*x1+y122*x2=59;y131*x1+y132*x2=18;y141*x1+y142*x2=7; y11+y21+y31+y41+y51+y61+y71+y81+y91+y101+y111+y121+y131+y141=7; y12+y22+y32+y42+y52+y62+

28、y72+y82+y92+y102+y112+y122+y132+y142=88.5;7*y11+7.5*y21+8*y31+8.5*y41+9*y51+9.5*y61+10*y71+10.5*y81+11*y91+11.5*y101+ 12*y111+12.5*y121+13*y131+13.5*y141=88.5;7*y12+7.5*y22+8*y32+8.5*y42+9*y52+9.5*y62+10*y72+10.5*y82+11*y92+11.5*y102+ 12*y112+12.5*y122+13*y132+13.5*y142=89.5;gin(x1); gin(x2); gin(y1

29、1); gin(y21); gin(y31); gin(y41); gin(y51); gin(y6 1); gin(y71); gin(y81); gin(y91); gin(y101); gin(y111); gin(y121); gin(y131 ); gin(y141);gin(y12); gin(y22); gin(y32); gin(y42); gin(y52); gin(y62); gin(y72); gin( y82); gin(y92); gin(y102); gin(y112); gin(y122); gin(y132); gin(y142);end附录 6：32.0000

30、032.000000.00000030551549031Local optimal solution found. Objective value:Objective bound:Infeasibilities:Extended solver steps:Total solver iterations:riableValueReduced CostX118.00000-1.000000X214.00000-1.000000Y110.0000000.000000Y120.0000000.000000Y210.0000000.000000Y221.0000000.000000Y310.000000

31、0.000000Y320.0000000.000000Y411.0000000.000000Y420.0000000.000000Y510.0000000.000000Y521.0000000.000000Y611.0000000.000000Y620.0000000.000000Y711.0000000.000000Y720.0000000.000000Y811.0000000.000000Y820.0000000.000000Y910.0000000.000000Y922.0000000.000000Y1011.0000000.000000Y1020.0000000.000000Y1111

32、.0000000.000000Y1120.0000000.000000Y1210.0000000.000000Y1224.0000000.000000Y1311.0000000.000000Y1320.0000000.000000Y1411.0000000.000000Y1420.0000000.000000RowSlack or SurplusDual Price132.000001.000000224.000000.000000310.000000.000000420.000000.00000057.0000000.00000067.0000000.00000075.0000000.000

33、00083.0000000.00000090.0000000.000000103.0000000.000000115.0000000.000000124.0000000.000000133.0000000.000000140.0000000.000000157.0000000.000000161.0000000.000000170.0000000.000000181.0000000.000000190.0000000.000000200.0000000.000000211.0000000.000000220.0000000.000000231.0000000.000000附录 7：A种规格中所

34、取根数的lingo总程序代码：model:max=(x1+x2+x3);t11*x1+t12*x2+t13*x3=43;t21*x1+t22*x2+t23*x3=59;t31*x1+t32*x2+t33*x3=39;t41*x1+t42*x2+t43*x3=41;t51*x1+t52*x2+t53*x3=27;t61*x1+t62*x2+t63*x3=28;t71*x1+t72*x2+t73*x3=34;t81*x1+t82*x2+t83*x3=19;t11+t21+t31+t41+t51+t61+t71+t81 =19;t12+t22+t32+t42+t52+t62+t72+t82 =19;t13+t23+t33+t43+t53+t63+