数据模型与决策完整

1、数据，模型和决策 第一章决策分析一、比尔桑普拉斯的夏季打工决策 一个决策树模型及分析比尔桑普拉斯（bill Sampras）在麻省理工学院的斯隆管理学院就读第一学期，已经是第三周了。除了花在准备功课上的时间外，bill开始认真考虑有关明年夏季打工的事情，特别是该决策在几周后必须做出。8月底，在 bill飞往波士顿的途中，他坐在 vanessa Parker的旁边，并与她就双方感兴趣的问题进行了交谈。van essa是一个重要的商业投资银行有关资产预算的副总裁。在飞机到达波士顿后，vanessa坦率地告诉bill，她愿意考虑明年夏季雇佣bill的可能性，并希望在她的公司于11月中旬开始进行的夏季

2、招聘计划时，请bill直接与她联系。bill感觉到自己的经历和所具有的风度给vanessa留下了很深的印象（bill曾经在一个财富 500强公司的金融部门就来自税收业务的额外现金的短期投资工作过4年）。当bill 8月离开公司去攻读 MBA时，他的老板john Mason把他叫到一边，对他许诺， 到第二年夏季可以雇佣他。夏季回到公司进行为期12个星期的打工薪水将是12000美元。但john也告诉bill夏季工作招聘期限仅到10月底有效。因此，bill在得到vanessa提供夏季工作的细节之前，必须决定是否接受john的工作。vanessa已经解释，她的公司在11月中旬之前不愿意讨论夏季工作计划

3、的细节。如果bill回绝john的好意，bill要么接受vanessa的提供（如果vanessa接受bill的申请），要么通过参加斯隆管理学院在1月和2月举办的公司夏季招聘计划中，寻找另一个夏季工作机会。决策准则假设bill认为所有的夏季工作机会（为 john工作，为vanessa工作和参加斯隆学院的夏 季打工计划）都将会给 bill提供类似的学习、交流以及丰富经历的机会。那么，bill判断夏季工作机会的优劣的唯一标准就是工作的薪水，以薪水越高越好。构造一个决策树。决策树（decision tree）:由结点和分支组成。三类结点：决策点口；状态（事件）点O和结果点厶。决策者在决策点上进行选择，

4、每个选择对应一个方案，每个方案对应决策点的一个分支。状态点对应于不确定事件，每个事件对应状态点的一个分支。每个决策在每个状态下会导致一个最终的结果，用结果点表示。在bill的决策问题中，他首先必须决定是否接受john的提供；如果接受，则过程完成；否则，如果vanessa接受了他的申请，他要决定是去她那里还是参加斯隆学院的夏季工作计 划。如果vanessa不接受他的申请，他当然只能参加斯隆学院的计划了。显然，为了进行选 择，bill还需要知道一些必要的数据：他要知道每一个工作的薪水情况；他还要知道（估计）vanessa接受他的可能性。bill通过斯隆学院职业服务中心收集到了前几届MBA学生打工的

5、有关数据。其中，根据去年vanessa公司提供给销售和贸易部门工作的学生的薪水，bill估计今年夏季为期12个星期的打工的 MBA学生的薪水为14000美元。收集到的去年提供给斯隆管理学院学生的所有夏季工作机会的有关薪水的数据如下:每周薪水（美兀）夏季薪水总额（12周）接受这个薪水的学生的百分比180021600510001200040%50006000025%5%如果没有更多的信息，可以假设vanessa接受bill的申请的可能性为 50%。不过，飞机上的经历使bill确信，这个可能性应该有 60%。bill的决策树1、方案方案一：到 Vanessa Parker的

6、银行打工，11月中旬开始招聘，薪水 14000美元； 方案二：回John Mason那里工作，10月底必须答复，薪水 12000美元； 方案三：参加斯隆管院的夏季工作计划，1月和2月招聘。薪水有以下情况：21000, 16800，12000， 6000， 0。2、涉及的数据：可选的方案；可能遇到的状况；各方案在各种状况下的收益；各状况出现 的概率。3、 一些概念（术语）：决策点，状态点（事件点），决策树，期望收益，灵敏度分析，决策 策略。4、 方法：问题分析时建树（展开），决策时从树叶开始收拢（期望收益方法）。5、利用电子表格。状态点决策点120001400000.05216001680012

7、00060000Bill的决策树电子表格： bill 工作决策 .xls 条件的修改和灵敏度分析：由于数据的统计性质和可能忽略的因素。在 excel 上操作。 bill 的最优决策策略： （每个决策点写一条）bill 应该拒绝 john 的提供；如果vanessa提供bill 个机会，则接受，如果vanessa不提供给bill机会，则他应该参加斯隆学院的计划；该策略的期望收益是 13032 美元。、生物影像公司的发展战略（谈判的可能性）1998 年，为了开发、生产和开拓新的具有潜在收益的医疗诊断工具市场，james bates、scott tillman 和 michael ford 创立了生

8、物影像公司。 james and scott 是麻省理工学院 （ MIT ）新 近毕业的学生， michael 是马萨诸塞州综合医院的神经学教授。作为在 MIT 研究生学业的一 部分， scott 已经发展出了一种新技术和一个软件，利用个人计算机来处理病人大脑的磁共 振影像（ MRI ）扫描。该软件利用计算机图形学的技巧， 能够构造一个病人大脑的三维图像， 用来定位大脑损伤或脑肿瘤的精确位置， 估计它的体积和形状， 甚至确定可能会被肿瘤影响 的大脑的中心位置。 scott 的工作扩展了由 james 早期开发的二维图像处理技术， 这个二维技 术软件包已经在马萨诸塞州综合医院的 michael

9、小组中获得广泛的应用，用来分析脑损伤对 病人语言能力的影响程度。 过去的几年， 这个软件已经被用来对脑损伤和脑肿瘤做比较精确 的测定和诊断。虽然还没有被充分的试验， scott 的更加先进的三维图像软件，展示出比其他方法精确 的多的诊断脑损伤能力。虽然世界各地的科学家都开发了他们自己的MRI 图像处理软件，scott 的新的三维程序却非常不同，且比任何现有的 MRI 图像处理软件先进很多。Bio-Imaging ），旨在开发和生产Medtech Corporation 的注意，15 万美元购买他们的还未完成scott and michael 授权 james （三在 james 的提议下，三个

10、人组建了一个生物影像公司（个医院和医生可以使用的商用软件包。不久，他们就引起了Medtech 是一个大的医学图像处理和软件开发公司，希望用 的软件包，并获得在世界范围内的开发和推向市场的权利。人中的“商人” ）来考虑是否接受 Medtech 公司的提议。如果他们拒绝这个提议，他们的计 划是在未来 6 个月内继续开发他们自己的软件包。这需要大约 20 万美元的投资， james 认 为这可以由合伙人的个人积蓄解决。如果 Bio-Imaging 在开发完全运作的三维图像处理程序的努力获得成功，他们将要从两 个发展战略中进行选择。一个战略是半年后向国家健康协会（NIH ）申请 30 万美元的小企业创

11、新研究 （SBIR） 资助。这个钱用来进一步的开发和向市场推出他们的产品。 另一个选择是 从风险投资公司那里寻求进一步的项目投资资金。事实上，风险投资公司NugrowthDevelopment 已经跟他们有过多次接触，提出如果 Bio-Imaging 成功地研制出三维图像处理 程序的原型， 公司将提供 100 万美元给他们用于资金周转和开发市场。 条件是， 三维图像处 理原型程序完全运作起来之后，80%的利润归Nugrowth Development。（NIH规则规定，得到 NIH 资助的公司不能再接受风险公司的钱） 。james知道是否能够获得 SBIR的资助本质上是不确定性，他也知道Bio

12、-Imaging是否能 够成功开发三维图像软件本质上也是不确定性。 不过， 他认为， 如果他们打算接受 Nugrowth Development 提供的风险资金，那么产品的收益可能比他们自己开发市场要高。如果 Bio-Imaging 在开发三维图像软件原型方面的努力没有获得成功，james 认为他们还可以用二维图像软件去申请 SBIR 资助。 他认为， 这种情况下， 获得资助的可能性比较小。 另外， 在申请资助前， 需要对二维图像软件进行临床调精测试， 大约需要 10 万美元的成本。Bio-Imaging 面临的决策问题是，是接受 Medtech 的提议，还是继续完成三维原型的开发。如果他们开

13、发成功， 要决定是申请 SBIR资助还是接受 Nugrowth Development的风险投 资。如果三维图像软件原型的研制没有成功，要决定是否应该进一步对二维图像软件进行投资，并申请二维图像软件的SBIR资助，或者完全放弃。其中， james也想知道 NugrowthDevelopment公司资助的成本（未来利润的 80%）是否对于资助额（100万美元）来说可能 太高了。1、方案方案一：接受 Medtech公司的提议，将技术卖给它； 方案二：继续开发，若成功，则接受Nugrowth Development公司的资助；方案三：继续开发，若成功，则申请SBIR资助；方案四：继续开发，若不成功，

14、也申请 SBIR资助； 方案五：继续开发，若不成功，则放弃。2、数据四个分布：三维图像软件开发成功的概率 60% ;成功后获得SBIR资助的概率为70%，若不 成功获得SBIR的资助的概率为20%;三维图像软件的市场状况的分布：高利润 20%，中等 利润40%，低利润40% ;二维图像软件的市场状况分布：高利润 25%，低利润75%。收益值：在获得 SBIR资助（全部用于产品的生产开发和市场开发）的情况下三维图像软件的收益分别为 300，500，0；二维图像软件的收益为 150, 0；如果接受 Nugrowth Development 的资助，三维图像软件的收益分别为 1000，300，0 （

15、的20%）。卖给Medtech公司的收益为15。成本：开发三维软件 20万，继续优化二维软件 10万。A153、节点-30-204、 利用电子表格：生物影像公司决策.xls5、 另外的选择：与 Medtech公司进行谈判。站在 Medtech公司的立场思考，看看谈判的价 码和可能性。Medtech公司的决策树120-30Bio-lmaging公司的决策树-20三、一个新型消费品产品的开发（情报的价值）Caroli ne Janes是消费品公司的市场销售经理，她正在考虑是否生产一种称为无泡沫” 的新型自动洗碗机清洁剂。为了使这个问题简单化，假设无泡沫产品的市场要么是疲软的， 要么是坚挺的。如果市

16、场是坚挺的，那么公司将盈利1800万美元；如果市场是疲软的，那么公司将亏损800万美元。根据经验和直觉的综合考虑，caroline估计无泡沫产品的市场是坚挺的概率为30%。在决定是否生产无泡沫产品之前，caroline可以对无泡沫产品的市场进行一项全国性的调查。市场调查的费用是 240万美元。这种市场调查不可能完全准确地预测新产品的市场。 过去的这种调查结果表明，如果市场是疲软的，有10%的可能性调查结果说市场是坚挺的。同样，如果市场是坚挺的，有20%的可能性调查结果说市场是疲软的。caroline可以决定要么不生产无泡沫产品；要么在决定是否生产之前，进行市场调查； 要么不进行市场调查就直接进

17、行生产。1、方案方案一：不生产；方案二：不进行市场调查就进行生产； 方案三：进行市场调查，再决定是否进行生产。2、数据市场状况的先验分布市场状况概率收益（万美兀）坚挺0.31800疲软0.7-800市场调查的准确性：当市场疲软时，90%调查结果也是疲软的；当市场坚挺时，80%调查结果也是坚挺的。市场调查的费用：240万美元。3、 电子表格：新型消费品的开发问题.xls4、情报价值caroline的决策树-240第二章统计抽样两个经常使用的分布：二项分布和正态分布典型例子：i）维修工的配置问题（二项分布）某单位有同类型的机器300台，每台机器的工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，问应该

18、配备几名维修工？（设一台机器的故障一人就可以排除）。又，是1人管20台机器好呢，还是 3人管80台机器好？记X是同一时刻发生故障的设备台数，则X服从B（300, 0.01）。问题变成求N使得，（发生故障的机器数不大于N的概率）3000300300,2990.01 0.990.011 0.990N300 N0.012 0.990.01N 0.99 N 0.992N禾U用POISSON分布与二项分布的关系，可以求得N 8.ii） 库存的确定：若在提前期内的需求是正态的，并有200单位的均值和100的方差。 管理层希望有一个 0.9的保证不会发生缺货。试确定一个进货量。由于

19、需求是不确定的，可以是100,也可以是300,当我们进货量确定为300时，如果需求只有 100，就会增加库存成本；而如果进货量为100时，需求却是300,就会失去市场，产生缺货成本。现在我们已知了需求量的分布为N（200, 100），可以利用分布提供给我们的信息，帮助我们进行决策。寻找一个进货量 x,使得需求大于这个进货量的概率不超过0.1，利用标准正态分布表可以知道，0.1的单边分位点为 1.282，于是进货量为 212.82 （1.282= （x-200 ） /10）。在这个数量 中，200单位是用来满足期望需求的。外加的12.82则是用来以90%的机会满足超过均值的需求所必需的。概率和置

20、信区间。iii）已知分布时，可以知道样本落入某一个区间的概率，只要你给定一个区间，我就可 以计算样本属于这个区间的比例（概率）。另一个方向的重要的应用是，你给定一个概率,我就可以找到一个区间 （这个区间很多） ，使得样本属于这个区间的概率等于你给定的概率。 上下分位点就是这方面应用的代表。 给定一个概率， 例如， 95% ，就可以找到一个上分位点， 使得样本小于这个分位点的概率等于95%（从而，样本大于这个分位点的概率为5% ）；也可以找到一个下分位点，使得样本大于这个分位点的概率等于95%（从而小于这个分位点的概率等于 5%）；还可以找到双分位点， 使得样本的绝对值小于这个分位点的概率等于9

21、5%，等等。由分位点的概念，导致了置信区间和假设检验的应用。1、 随机样本的统计NEXNet 公司NEXNet 公司是一个规模相对小的， 却在美国大西洋中部地区的电信市场中非常具有竞争力 的公司。公司的管理者正在考虑将公司迁往波士顿地区， 他们的目标是收入相对较高的群体。 公司的管理者一直在利用一个基于高的电话使用率的市场群体的增长和发展策略。 基于以往 的经验，他们发现，在目前的电话应用中，他们能够在拥有下列特征的客户群体中盈利：家庭月平均电话费至少是 75.00 美元；月平均电话费低于 45.00 美元的家庭比例仅为 15%；月平均电话费位于 60-100 美元之间的家庭比例至少是 30%

22、。目标社区 70 个家庭在 10 月份的月电话费的样本数据（ excel 表） 基于样本数据要回答下列问题：a）家庭电话费在 10 月份的分布图的估计；b）10 月份，电话费低于 45 美元的家庭的百分比；c）10 月份，电话费位于 60-100 美元之间的家庭的百分比；d）10 月份，家庭电话费分布的均值和标准差。70 个家庭 10 月份电话费的频率表（ excel 表），另外，可以利用分析工具中的直方图直接得 到（不要有任何的图的选项） 。作直方图的两种方法。概率的计算。描述性统计。在这个地区，除了一批小的但很重要的客户分布在125155美元之间之外， 10 月份电话费的分布图形的形状看起

23、来像一个正态分布，峰值接近 65 美元。10 月份，电话费低于 45 美元的家庭的百分比的估计是 7%；10 月份，电话费位于 60-100 美元的家庭的百分比的估计是 64%；10 月份，家庭电话费分布的均值估计是79.4 美元，标准离差的估计是 28.79。结论 : 表明这个地区有一定的电话应用特征，有利于开发这个地区的市场。此外，还应 该对电话费非常高的家庭市场作进一步的分析， 例如，月电话费在 115 美元以上的家庭， 以便采取特殊的营销活动。2、中心极限定理中心极限定理：独立同分布随机变量的序列，Xi, X2,Xn, 设均值和标准差分别为nXi和o；则n趋近于标准正态分布N（0, 1

24、）。也就是说，对任何 x,Xii 1x)t2e 2dt（样本均值标准化的分布）中心极限定理的例证（掷100次硬币，出现正面的次数的和是一个随机变量，这个随机变量近似于正态分布，为了说明这一点，模拟这个和100次，看它的直方图）。三种方法:直接模拟、二项式分布和利用水晶球（只需把表示100次掷硬币的和的单元格定义为预测单 元格）。二项分布是0-1分布的和（独立同分布）。3、大样本均值的置信区间伯克希尔能源公司（BPC）是一个在马萨诸塞州伯克希尔县提供电力能源的电力公司。BPC最近已经完成了各种激励计划以鼓励家庭在冬季节约能源。sarah负责检测这些新的激励计划的效果。sarah想要预测在伯克希尔

25、县即将到来的一月，家庭电量消耗分布的均值右和标准离差 o。sarah在这个县随机地选取了100个家庭，她安排人员 1月1日去这个县读取所有100个家庭的电表数值， 然后1月31日再进行一次。从而计算出1月份的电力消耗。（excel 表）根据数据可以计算均值和方差（标准离差）如果从这100个样本中随机选取10个，计算其均值，进行多次计算，每次当然会不一样，将这些不同的均值做一个直方图，可以发现近似于正态分布（中心极限定理）。通过样本均值可以得到数学期望的一个估计，但在实际中，对于任何近似计算，都希望能够对于可能引起的误差有一个说明，那么，怎样说明利用样本均值近似数学期望的误差 呢？这又涉及到分布

26、问题。当总体的分布不是已知的时候，大数定理或中心极限定理又提供了帮助。对于伯克希尔公司来说，通过样本计算出的用电均值3011有多大的可信度呢？大样本均值的置信区间：如果样本数n30,那么均值的95%的置信区间为（z.95=1.96）x1.96s -1.96sn.n 这里s是样本标准离差。这样计算的区间中，有伯克希尔公司问题中用电平均值的置信区间为95%的包含实际的数学期望30111.96 735.18J0030111.96 735.18002866.9, 3155.14、小样本均值的置信区间t分布，与自由度有关，自由度即样本的个数，当样本数大于30的时候，t分布与正态分布几乎不能区别，当样本数

27、小于30的时候（小样本），用t分布求置信区间。差别就在于像1.96那样的数值是不同的。 在t分布时，这个数不仅与置信度有关， 还与样本数（自由度） 有关。例如，对于95%的置信度，当样本数为20时，t.95=2.093，当样本数为16时，t.95=2.131。5、总体比例的估计与置信区间（略）二项分布和中心极限定理的应用假设一个有线电视公司想要估计波士顿地区拥有两台或两台以上电视机的家庭比例。该公司已经对波士顿地区 200个家庭进行了问卷调查，发现200个家庭中有124个家庭拥有两台或以上电视机。通过这个调查，可以估计在整个波士顿地区拥有两台或以上电视机的家庭的比例为 124/200=0.62

28、。类似的问题口，一批产品中，次品的比例，也是用这种抽样的方法进行估计的。可是 我们不仅希望得到这样一个估计，还希望对估计的正确性有一定的了解，这又涉及置信区间了。设真正的次品率为 p,抽样后估计的次品率为p，利用p可以得到p的一个置信区间为：设n p 5, n（1- p）5,则总体p的一个置信度为 阱的置信区间为pCp(l p)tn其中c如下：P(-c wz wc) = 3%当3%=90%时，c =:1.645当3%=95%时，c =:1.960当3%=98%时，c =:2.326当3%=99%时，c =:2.576对有线电视的问题而言，200个样本计算出的波士顿地区拥有两台或以上电视的家庭的

29、区间估计是：取 95%的置信度，p =124/200 = 0.62 , np 5且n（1- p） 5,置信区间如下0.62 1.962000.62(10.62), 0.621.96 0.62(10.62)0.553, 0.687200也就是说，我们有95%的可信度认为在波士顿地区，拥有两台或以上电视机的家庭的比例是位于0.553-0.687区间。6、t检验独立样本t检验：某物质在处理前与处理后分别抽样分析其含脂率如下：处理前：0.190.180.210.300.410.120.27处理后：0.150.130.070.240.190.060.080.12问处理前后的含脂率是否有显著变化？ （0.

30、05置信水平，假设服从正态且方差等）又例：在某克山病区测得11例克山病患者与13名健康人的血磷值如下：1.87.患者：0.841.051.201.201.391.531.671.801.872.072.111.481.56健康人：.0.540.640.640.750.81 1.16 1.201.341.35第三章仿真模拟1、模拟掷硬币（均匀的和不均匀的）;模拟掷骰子（if嵌套和vlookup );2、有限离散分布的模拟：均匀分布的利用，0 1区间的分段和vlookup函数的应用；3、连续分布的模拟： 一般原理 （分布函数的反函数， 均匀分布）；正态的情况 （ norminv 函数）；指数分布的

31、推导；三角分布的推导；4、crystal ball 及其应用 （用软件自带的教程， 假设单元格、 预测单元格和决策单元格） ； 用 crystal ball 演示中心极限定理。5、书上的案例（问题建模，模拟，数据的统计分析，决策）；一些其他的例子；6、库存模拟。 科尼利水产的经营克林特 .科尼利是科尼利水产公司的董事长，他在马萨诸塞州的纽伯里波特地区经营着 由 50 艘船组成的船队。 克林特的父亲 40 年前创建了这家公司， 最近他把公司的业务交给了 克林特。克林特自从 10 年前获得 MBA 学位以后，一直忙于家族业务。每年的每个工作日， 每艘渔船每天早晨天一亮就出发了。 大多数工作日就是捕

32、鱼， 到了中午， 完成鳕鱼的捕捞工 作（ 3500 磅）。然后，渔船驶向不同的港口，可以售出每天捕捞的鳕鱼。一些港口鳕鱼的价 格是非常不确定的， 即使在每一天中， 价格的变化也是很大的， 不同的港口鳕鱼的价格往往 也不同。同时，一些各港口对鳕鱼的需求量也是有限的。因此，如果一艘渔船比其他渔船到 达那个港口的时间相对晚了点， 那么该艘渔船捕捞的鳕鱼将不能够卖完， 剩下的鳕鱼只能倒 入海中。为了使科尼利水产公司的问题简单化， 假设他只经营了一艘船， 并且经营这艘船每天的 费用是 1 万美元。还假设这艘渔船总是能够完成它所能完成的捕捞量，即3500 磅鳕鱼。假设科尼利水产公司的渔船能够将捕捞的鳕鱼送

33、到马萨诸塞州的格洛斯特鳕鱼港口或 者罗基伍德港口。格洛斯特港口是一个建设良好的鳕鱼市场的主要港口。在格洛斯特港口， 鳕鱼的价格是每磅 3.25 美元，并且这个价格在相当一段时间内一直很稳定。罗基伍德港口 鳕鱼的价格比格洛斯特港口的价格偏高一些， 但是价格有很大的可变化性。 克林特估计罗基 伍德港口鳕鱼的价格是一个正态分布，均值尸3.65美元/磅，标准离差（=0.20美元/磅。在格洛斯特港口， 有一个非常大的鳕鱼市场。 相比之下， 罗基伍德港口要小很多。 有时， 渔船在罗基伍德港口不能够销售完其捕捞的全部或部分鳕鱼。基于相关的历史数据， 克林特估计， 当他的渔船到达罗基伍德港口时， 在该港口他所

34、面临的鳕鱼的需求量服从表所描述的 离散概率分布。 （ excel）假设在罗基伍德港口， 科尼利水产公司所面临的鳕鱼价格和需求量是相互独立的。 因此， 在科尼利水产公司所面临的罗基伍德港口鳕鱼的日价格和需求量之间没有任何相关性。给定任何一天的开始，克林特 .科尼利面临的决策问题是应该选择那一个港口销售他每 天的捕捞。 罗基伍德港口的鳕鱼的价格， 只有等到渔船进靠港口后， 等到同买主进行了讨价 还价之后， 才能知道。 一旦渔船进入某一个港口之后， 他必须在那个港口销售掉他的所有捕 捞，因为两个港口的距离太远，再转向另一个港口是不可能的。克林特像其他的商人一样， 希望获得利润。 为此， 他想， 或许

35、明智的策略应该到罗基伍 德去买他的捕捞， 毕竟那里期望的价格要高些， 虽然有更大的标准离差， 从而有更大的风险。 不过， 也可能到格洛斯特去是更明智的策略， 既然那里有更大的需求量， 而罗基伍德有可能 卖不完他的捕捞。那一个策略更好，克林特不是很清楚。如果克林特选择在格洛斯特港口销售他每天的捕捞，那么每天的盈利可以计算如下：G = 3.25*3500-10000=1375（ 美元）。如果克林特选择罗基伍德销售他每天的捕捞， 问题就没有那么简单了。 因为每天的价格 和需求量都是不确定的。需要回答下列问题：a）选择罗基伍德，每天盈利的概率分布的形状是什么样子？b）对于所给定的任何一天，科尼利水产公

36、司通过选择罗基伍德，比选择格洛斯特盈利 更多的概率是多少？c) 对于给定的任何一天，科尼利水产公司如果选择罗基伍德，出现亏损的概率是多 少？d) 选择罗基伍德，每天盈利的期望值是多少？e) 选择利用罗基伍德，每天盈利的标准离差是多少？Vlookup(rand(), b1:c5, 3):在由b1:c5组成的三列表的第一列中，查找比rand()小的最大数，返回(显示)表的第 指数分布及其模拟：3列中这个最大数所在的行的单元格中的内容。密度函数：p(x)0，分布函数:F(x)1 e x x 00x0分布函数的反函数：x1ln(1 y),0 y 11所以，X=-(1/ ?)ln( 1-rand()服从

37、指数分布，而1-rand()仍然是0 1上的均匀分布，所以-(1/ Rln(rand()服从指数分布。三角分布及其模拟：三角分布的随机变量在区间a, b上取值，并且取 c的可能性最大，c是a、b之间的一个数。如图：acbF(x)(x a)2(b a)(c a)(b x)2(b a)(b c)1 x baa x c，记c x b其密度函数为:h /(xa)a x cc af (x)h (bx)2c x b,其中，hb cb a0其他分布函数为分布函数的反函数为ia （b a）. x xF （x）a （b a）（1 V（1）（1 x） x于是，利用rand函数和上面的反函数，就不难模拟三角分布了。

38、均值：（a+b+c）/3 ;方差：（a2+b2+c2-ab-ac-bc）/18。第四章 回归模型：概念和实践1、J&T产品公司的Apple-Alo销售额与广告费用的关系问题i）问题：认为销售额y与广告支出x有一定的（线性）关系，希望求出这种关系（函数）ii）散点图（显示可以近似地用线性关系描述广告费用与销售额之间的关系）iii）利用样本数据估计下式的系数倒，其中y是销售额，x是广告费。估计方法是最小二乘法。y 0 必iv）线性回归模型和线性回归方程v）电子表格求解的结果2、基于多元线性回归的预测i）问题：认为销售额 y与广告支出X1、扩张费用x2以及竞争对手的销售额 X3有（线性）关 系，希望

39、得到这种关系。ii）多元线性回归模型iii）最小二乘法与多元线性回归方程iv）利用电子表格求解v）结果的说明（预测值和观测值，回归系数，标准误差，自由度，回归系数的标准误差和置信区间，t统计值，回归系数的决定因素R2）3、模型的检验：方差分析：线性的检验；残差检验。模型的假设：E（ ） = 0 ; D（ 9= o2与x们无关；们相互独立；&是正态分布的。这些假设是 模型的t检验和F检验的基础。残差提供了9的最好的信息。残差与自变量的图（说明与自变量的无关性，同方差性）；残差与应变量的预测值的图；标准残差图（略）；正态概率图（正态性）。4、线性回归模拟中的警告和问题5、 回归模拟技术：非线性关系

40、；null变量；逐步回归过程。（26家便利店）6、 回归模拟过程说明（一个例子，cerna公司110名员工的薪水信息）第五章线性规划1、例子。AB公司在这一周内只生产两种产品：产品A和产品B。管理部门必须决定每种产品各生产多少吨。产品 A的边际贡献为每吨 25美圆，产品B的边际贡献为每吨10美圆。生产 出的产品全部都将被出售。产品A和产品B由多种材料混合生成，这些材料都从仓库中提取。可供这一周使用的 三种原料数量如下：原料112000吨原料24000吨原料36000吨产品A由60%的原料1和40%的原料2制成产品B由50%的原料1，10%的原料2和40%的原料3制成在没有资源限制的情况下，当然

41、生产的A越多越好。现在有资源约束，也可以这样想，先仅所有的资源生产 A，对原料1而言，可以生产的数量由 0.6*x = 12000决定，可以生产20000吨，对原料2而言，可以生产的数量由 0.4*x = 4000决定，可以生产10000吨，这样， 最终可以生产10000吨A。收益会不会是最好的呢？肯定不是，因为还有6000吨原料1没有被利用，原料 3也根本没有用到，浪费的资源。同样的，如果只生产B，也会出现资源浪费现象，且单位价格也不高。所以应该是同时生产A和B。那么，产品A和产品B各生产多少呢，这不是一个容易用“心算”的方法解决的问题。设产品A生产x吨，产品B生产y吨。则问题可以表述如下m

42、ax 25x + 10y0.6x +0.5y w 12000(1)0.4x +0.1y w 4000(2)0.4y w 6000(3)x 0, y 0在这里，x和y是决策变量，25x + 10y是目标函数，3个不等式是有关资源的 约束条件，x 0和y0是关于决策变量的 约束条件，统称为约束。2、例子（二维）问题的几何描述例子问题中只有两个变量，可以在平面上将其表示出来A/吨冊扛司问罢的可行威3、用 excel 求解用 excel 演示， 资源改变多少，4、紧（起作用、等式）约束和影子价格（对偶解） ，灵敏度分析 直接输出结果和调整计算演示， 目标系数改变多少， 解保持不变； 影子价格或对偶解保

43、持不变） ；典型的约束类型（书 p374）。Nbs 是一个位于宾夕法尼亚州贝德地区的钢铁生产商。在钢铁生产中，炼焦煤是 一种必备的原材料，并且 NBS 每年需要 100 万吨到 150 万吨的炼焦煤。现在正 是为下一个年度制定生产计划的时候， NBS 的煤炭供应经理斯蒂芬 .科进士已经 征求了来自 8 家潜在煤炭供应商的下一年度的报价。下表是 8 个潜在供应商的相关信息。挥发性是指可燃物的比例。各供应商的供应数据阿什利贝德福德康索邓比厄勒姆弗洛伦斯加斯顿霍普特价格（美元 / 吨）49.5506163.566.57172.580联合/ 非联合是是非是非是非非卡车/ 铁路铁路卡车铁路卡车卡车卡车铁

44、路铁路挥发性（ %）1516182021222325生产能力（千吨 / 年）300600510655575680450490基于市场预测和上一年的生产特征， NBS 计划下一个年度需要炼焦煤 1225千吨， 挥发性至少 19%。为了防止不利的劳务关系， NBS 决定从联合矿业公司购买至 少 50%的炼焦煤。 用铁路运输的煤炭数量每年不能超过 650 千吨，用卡车运输的 煤炭数量每年不能超过 720 吨。斯蒂芬 .科进士需要回答下列三个问题：a）为了使得炼焦煤的成本最小化，NBS与每个供应商签订多少供应量？b）NBS 的总供应成本是多少？c）NBS 的平均供应成本是多少？1）确定决策变量； 2）

45、确定目标函数：收益或成本； 3）确定约束：资源约束、 能力约束、质量约束、政策约束等。第六章 非线性规划1、例子：投资组合问题；生产定价问题。 2、概念：非线性；几何意义；局部与全局；凸区域与凸函数；3、搜索算法。x2求函数 f (x) 0.5 xe x 的最小点和最小值。牛顿法：给 x0，for k = 0, 1,2,1Xk+1 =Xk-f kXf ,多元函数时表示为Xk 1XkH(Xk) f (Xk)end梯度下降法：给 x0牛顿方向表示为：解H(xk)sk= - grad f(xk)for k = 0, 1, 2, sk = -grad f(x k)Xk+1 = Xk + n.Skend22求函数f (Xi,X2) 0.5X12.5X2的最小值。函数图，等位线，梯度搜索方向图凸函数：定义和性质约束问题：几何意义(紧约束和可行方向) 。约束优化条件：可行集 S 和可行方向：满足约束条件的方向，如果存在一个r0 ,使对所有的a 0 , r, x + a s S,则称非零向量s为点x S处的可行方向。一阶优化的必要条件，对任何可行方向s,有*Tf(X*)Ts 0这说明f在X*附近沿着任何可行方向都是不降的。由于在S的