五直线、平面垂直判定及其性质

1、第五节 直线、平面垂直的判定及其性质【最新考纲】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、 面垂直的有关性质与判定定理 .2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1直线与平面垂直(1)定义：如果直线 l 与平面 内的 任意一条 直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(4)直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任意直线垂直于同一条直线的

2、两平面平行2直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内 )时，规定直线和平面所成的角分别为90和 03二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角4平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角 ，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：1 (质疑夯基 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的

3、打“” )(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3) 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行()(4)若平面 内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则 .()答案： (1)(2)(3)(4)2下列命题中不正确的是()A如果平面 平面 ，且直线 l平面 ，则直线 l平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l . 解析：根据面面垂直的性质定理， A 项中 l? ， l或 l. 答案： A3(201

4、5 浙江卷 )设 ，是两个不同的平面， l，m 是两条不同的直线，且l?，m?.()A若 l，则 C若 l，则 B若 ，则 lmD若 ，则 l m解析： l，l? ， (面面垂直的判定定理 )，故 A 正确答案： A4如图，已知 PA平面 ABC，BC AC，则图中直角三角形的个数为 _解析： PA平面 ABC PAAB， PAAC ，PABC则PAB， PAC 为 Rt由 BC AC，且 ACPAA BC平面 PAC，从而 BCPC因此 ABC， PBC 也是 Rt.答案： 45如果正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4 2，则它的侧面与底面所成的 (锐)二面角的大小为 _解析：如图，O 为底面

5、正方形的中心，据题意易得，该正四棱锥的一个侧面三角形PBC 的高 PE 的长为2，因此正四棱锥的高PO PE2 OE21. PEO 的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小，侧面与底面所成的 (锐)二面角的大小为45.答案： 45一种关系垂直问题的转化关系三类证法1证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质： a ，b? ? ab；(4)线面垂直的性质： a ，b? ab.2证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义： a 与 内任何直线都垂直 ? a；m、n? ，mn A(2)判定定理 1：? l ；lm，ln(3)判定定理

6、2：ab，a? b；(4)面面平行的性质： ，a ? a；(5)面面垂直的性质： ，l，a? ，a l? a.3证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理： a? ，a? .A 级基础巩固一、选择题1 (2016 佛山一中期中 )设 、为不同的平面， m、n、l 为不同的直线，则m的一个充分条件为 ()A，l，ml B m， C ，m Dn，n ，m解析：A 中，缺少条件 m? ，不满足面面垂直的性质定理， 不正确在选项 B，C 中，平面 与 可能平行或相交，推不出 m.在 D 中， n， n，则 ，根据 m，得 m ， D 正确答案： D2 (经典

7、再现 )已知 m，n 为异面直线， m平面 ，n平面 .直线 l 满足 l m，ln，l?，l?，则 ()A且 l B且 lC与 相交，且交线垂直于lD与 相交，且交线平行于l解析：根据所给的已知条件作图，如图所示由图可知 与 相交，且交线平行于l，因此选项 D 正确答案： D3如图，在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()ABC平面 PDFBDF平面 PAEC平面 PDF平面 PAED平面 PDE平面 ABC解析：因为 BCDF， DF? 平面 PDF，BC?平面 PDF，所以 BC平面 PDF，故选项 A 正确在正四面体中， AE B

8、C，PEBC，DFBC， BC平面 PAE，则 DF平面 PAE，从而平面 PDF平面 PAE.因此选项 B、C 均正确答案： D4 (2014 江卷浙 )设 m，n 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面 ()A若 mn，n，则 mB若 m ，则 mC若 m，n，n，则 mD若 mn，n，则 m解析： A 中，由 mn，n可得 m或 m 与 相交或 m?，错误；B 中，由 m，可得 m或 m 与 相交或 m? ，错误；C 中，由 m，n可得 mn，又 n，所以 m，正确； D 中，由 m n，n，可得 m或 m 与 相交或 m? ，错误答案： C5如图所示， AB 是 O 的直径， VA 垂

9、直于 O 所在的平面，点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点， M ，N 分别为 VA，VC 的中点，则下列结论正确的是 ()AMN ABBMN 与 BC 所成的角为 45COC 平面 VACD平面 VAC 平面 VBC解析：由圆的性质， BCAC.又 VA平面 ABC ，则 VABC.从而 BC平面 VAC，平面 VAC平面 VBC.因此 C 不正确， D 正确由于 MN AC， BCAC，所以 A，B 不正确答案： D二、填空题6如图所示，在四棱锥PABCD 中， PA底面 ABCD ，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点M 满足 _时，平面 MBD 平面 PCD.(只要

10、填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知， BDPC.当 DM PC(或 BM PC)时，有 PC平面 MBD.又 PC? 平面 PCD，平面 MBD 平面 PCD.答案： DM PC(或 BM PC 等)7(2016 石家庄调研 )如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD与平面 BB11 所成角的大小是C C_解析：取 BC 的中点 E，连接 AE ，DE，则 AE平面 BB1C1C.所以 ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角设三棱柱的所有棱长为a，在 RtAED 中，3aAE 2 a，DE2.

11、AE所以 tan ADE DE3，则 ADE 3 .故 AD 与平面 BB1C1C 所成的角为.3答案： 38如图所示，在三棱锥 D ABC 中，若 ABCB，AD CD， E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的是 _(填序号 )平面 ABC 平面 ABD；平面 ABC 平面 BCD；平面 ABC 平面 BDE，且平面 ACD 平面 BDE；平面 ABC 平面 ACD ，且平面 ACD 平面 BDE. 解析：由 AB CB，ADCD， E 为 AC 中点，则 AC DE，ACBE，又 DEBE E，从而 AC平面 BDE.所以平面 ABC 平面 BDE，平面 ACD 平面 BDE，正确答案：

12、 三、解答题9 (2016 西安质检 )如图所示，在三棱锥PABC 中， D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点已知 PAAC，PA6， BC8，DF 5.求证： (1)直线 PA平面 DEF ；(2)平面 BDE平面 ABC.证明： (1)因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA.又因为 PA?平面 DEF，DE? 平面 DEF ，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D，E， F 分别为棱 PC，AC ，AB 的中点， PA6，BC8，所以 DEPA， DE1 ，14.2PA 3 EF2BC又因为 DF5，故 DF2DE2EF2，所以 DEF 90，即 DEEF

13、.又 PA AC，DE PA，所以 DE AC.因为 AC EF E，AC? 平面 ABC，EF? 平面 ABC，所以 DE平面 ABC.又 DE? 平面 BDE ，所以平面 BDE平面 ABC.10(2014 湖南卷 )如图所示，已知二面角MN的大小为 60，菱形 ABCD 在面 内， A，B 两点在棱 MN 上， BAD 60， E 是 AB 的中点， DO 面 ，垂足为 O.(1)证明： AB平面 ODE ；(2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值(1)证明：如图，因为 DO ，AB? ，所以 DOAB.连结 BD，由题设知， ABD 是正三角形又 E 是 AB 的中点，所以 D

14、E AB.而 DO DED，故 AB平面 ODE.(2)解：因为 BCAD，所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即 ADO 是 BC 与 OD 所成的角 (或其补角 )由(1)知， AB平面 ODE ，所以 AB OE.又 DE AB，于是 DEO 是二面角 MN的平面角，从而DEO 60.不妨设 AB 2，则 AD 2，易知 DE3.3在 RtDOE 中， DO DEsin 60 2.3DO23连结 AO ，在 RtAOD 中， cosADO AD 24.3故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 4.B 级能力提升1如图，在正四棱锥SABCD 中， E，M ，

15、N 分别是 BC，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论： EPAC ； EPBD； EP面 SBD； EP面 SAC 中恒成立的为()ABCD解析： E，M ，N 是 BC，CD， SC 的中点， ENSB，EM BD，从而可得 EN 平面 SBD，EM 平面 SBD.又 EN 与 EM 是平面 EMN 内的两条相交直线，平面 EMN 平面 SBD，故 EP平面 SBD，因此 正确，当点 P 与 M 不重合时，不正确在正四棱锥 S ABCD 中， AC 平面 SBD.从而 AC平面 EMN ，由 EP? 平面 EMN ，得 ACEP，正确又易知 EM 平面 SAC，

16、因此 不恒成立答案： A2如图，在三棱柱 ABC A 1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC 2a，BB13a， D是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF_时， CF平面 B1DF.解析： B1D平面 A1ACC 1， CFB1D.为了使 CF平面 B1DF，只要使 CFDF( 或 CFB1F)设 AFx，则 CD2DF2FC2， x23ax2a20， xa 或 x 2a.答案： a 或 2a3(2015 天津卷 )如图，已知 AA1平面 ABC，BB1AA 1，AB AC3，BC2 5，AA1 7，BB12 7，点 E

17、和 F 分别为 BC和 A1C 的中点(1)求证： EF平面 A1B1BA；(2)求证：平面 AEA 1平面 BCB1；(3)求直线 A1B1 与平面 BCB 1 所成角的大小(1)证明：如图，连接 A1B.在A1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC和 A1C 的中点，所以 EFBA1.又因为 EF?平面 A1B1BA，所以 EF平面 A1B1BA.(2)证明：因为 ABAC， E 为 BC 的中点，所以 AE BC.因为 AA 1平面 ABC，BB1AA 1，所以 BB1平面 ABC，从而 BB1AE.又因 BC BB1B，所以 AE平面 BCB1.由于 AE? 平面 AEA1，所以平面 AEA 1平面 BCB1.(3)解：取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N，连接 A1M，A1N，NE.因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点，1所以 NEB1B，NE2B1B，故 NE