第13讲 分式方程

1、让我们为全力打造甘肃名校甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！第13讲 分式方程一个通晓代数的人，若能在一个方程式中直接看出求解结果，则是由于他下过苦功夫的缘故。 柯诺特知识方法扫描分式方程的一般解法是去分母后，转化为整式方程。解分式方程要注意验根。某些分式运算的技巧，例如拆项，分离整式部分也常用于解分式方程；此外取倒数也是一种常用的方法，不过要注意有失根的可能。 一些常用的代数方法，如换元法，利用非负数的性质的方法，也要注意根据题目条件灵活地应用。经典例题解析例1解关于x的方程：解 方程两边同时乘以x2 -4，得 2x+4+ mx=3x-6即 (m-1)x= -10. (*)当m=l时，方程(*

2、)无解，从而原方程无解，当ml时，方程(*)有惟一的解由 得m=6或-4，所以当m1、6、-4时，原方程有惟一的解 当m=6或-4时，方程(*)的解不是原方程的解，此时原方程无解，例2（第16届江苏省初中数学竞赛）方程的解是 。解 原方程可化为 += + ， 即 += + ， =， , 解得 。经检验，是原方程的解。例3(第6届希望杯数学邀请赛初二培训题) 方程的解是 。解 原方程化为：整理得于是 解得例4解方程：解 先将假分式化简，得 即 因为分子x+4，2x +5为零时，不是原方程的解，所以从而 所以 即解得 x=5. 经检验x=5是原方程的根例5 (2005年第16届希望杯数学邀请赛初二

3、试题)已知方程（c是常数，c0）的解是c或，那么方程（a是常数，且a0）的解是_或 解 将整理得即所以或故或例6(1984年江苏省苏州市初中数学竞赛试题) 解方程组 解 观察得，x=y=z=0为方程组的一组解。当xyz0时，将原方程组各方程两边取倒数得： (1)+(2)+(3)得：， 。 x=y=z=1 故原方程组的解为：评注 本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了x=y=z=0这组解。否则就会产生漏解。例7（1996年北京市中学生数学竞赛初二复试题）解方程组解 原方程组各方程左边通分，得即 +得: 一得: 一得: 一得: 得: 得: 将代入得: 代入得: 将代入得经检验，可得原方程组的

4、解为例8（1982年上海初中数学竞赛试题）已知甲、乙、丙三人，甲单独做这件工作的时间是乙、丙两人合作做这件工作所用时间的a倍，乙单独做这件工作所用时间是甲、丙两人合作做这件工作的b倍，求丙单独工作是甲、乙两人合作做此事的几倍？解 设甲、乙、丙独立完成这一工作分别需要x，y，z天，则即即由、解得：从而 故即丙单独完成这一工作需要的时间是甲、乙两人合作完成同一工作所需时间的倍。同步训练一 选择题1解方程得 ( )(a) x=1 (b) x=-1 (c) x=4 (d) 无解2(2000年湖北省初中数学竞赛试题)若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）(a) a2 (b) a-4 (c) a

5、=-4 (d) a2且a-43(1995年北京市初二数学竞赛试题)设 x，y，z满足 则( )(a)x，y，z都是正数 (b)x，y，z中只有一个正数(c)x，y，z都是负数 (d)z，y，z中只有一个负数4(2005年第17届五羊杯数学竞赛试题)已知方程组恰有一组解: x=a,y=b,z=c,则a2+b2+c2=( ) (a) 10 (b) 11 (c) 5 (d) 145（2000年河北省初中数学竞赛题）一汽艇保持发动机功率不变，它在相距25千米的a、b两码头之间流动的河水中往返一次（其中艇速大于水速）与它在平静的湖水中航行50千米比较，两次航行所用的时间关系是 ( )（a）两种情况所用的

6、时间相等 （b）在平静的湖水中所用的时间少（c）在流动的河水中所用的时间少 （d）以上都有可能二 填空题6（1992年“东方航空杯”上海初中数学竞赛试题）若则x的值是 7（第8届“五羊杯”初中数学邀请赛试题）解方式方程得x= .8. (2003年全国初中数学竞赛试题)若实数x，y，z满足，则xyz的值为 9解方程得x= 10实数x,y满足方程组：， 则y= 三 解答题11 解分式方程12（第19届黄冈市初中数学竞赛试题）当a为何值时，关于x的方程的根为正数？13解方程组：14. 有一条长240千米的河，甲船从上游乙船从下游同时相向航行，在中点处相遇；两船各到终点后并不停留，返航肘，又离中点40

7、千米处相遇；从第一次相遇到第二次相遇共经3小时，求两船在静水中的速度15（2002年全国初中数学竞赛试题）某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？残阳渐逝，血红冲天。半是夕阳余光，半是狰狞血雨。是的，血，到处都是冷腥的鲜血。整个皇宫之内，血流成河，白玉理石全被洗涮成黑红之色，到处是断壁残肢，尸横一片，到处是厮杀后的痕迹。“为什么？”百里冰左手紧捂着胸口，瞪大着眼睛看着对面十米敌对方处，挥手点兵之人。那是她的未婚夫

8、，她倾尽一生所爱之人。亦是绝杀她百里一族，将她迫入绝境之人。她不懂，为何倾尽所有的爱，换来的是百里一族的灭顶之灾。台下之人仍是一身儒雅白衣，清俊的脸上，就连平日里对她宠溺的笑容都没有变过。冷逸辰就这样含笑相对，却不肯多说只字片语。权利？利益？她虽是寒月帝国唯一的继承人，可是她早已与身为寒月帝国帝皇的外公达成协议，她与冷逸辰成婚后，冷逸辰为帝，她为后，她会做好他的贤内助，她从来不是他成功之路上的绊脚石，他为何要如此对她？冷逸辰仍是气定神闲的坐在不远处，手中的白羽扇仍旧轻摇着，完全不惧百里冰眼中的怒意，只是仿佛没有听到她的问话般，仍一派温和之笑，却坚定的吐出一个字，“杀！”百里冰怒上心头。手中剑气

9、如虹，眼看便要破势而出，却听到远处传来震天动地，撕心裂肺的愤然吼声,“冷逸辰，我百里一族与你不死不休！”“噗！”百里冰同一时刻，一口鲜血狂喷而出，心脏之处传来剧痛。她突的单腿倒下。是皇帝外公的声音。百里冰痛苦的闭上眼睛。果然，冷逸辰在派人围杀她的同时，也对她的皇帝外公与其他族人动手了，看来百里一族今日恐怕难逃灭族之祸了。她看着惜日对她呵护倍至的爱人，指甲恨得深入掌心，却感觉不到半丝痛意。血阳残光，打在百里冰的脸上，映红了她的眼，也血洗了她的心。“冷逸辰，你借我生辰之名，将我百里一族全部聚此，竟是为了灭我全族。你可知欺我百里者，杀无赦。”明明落在下风，却仍是气度非凡，那轩昂之姿，百分不输男儿。百

10、里冰冷面肃目，冷冷怒视着冷逸辰。天色瞬间黯然，黑云密布，邪风四起，所有天地剑气从四面八方汇集于百里冰身上，她的剑力更胜之前。冷逸辰前密密麻麻的高手执剑相护，可他仍然感觉到了百里冰身上所散发的凛冽剑气。他笑容未变，眼神却一沉。第一高手就是第一高手，她的内功，竟让他觉得有毁天灭地之势，难怪她会成为寒月帝国的传奇。可惜，可惜了“大家小心，小心她的剑气，小心”百里冰冷笑，全身之气一瞬之间向四面八方激烈旋转，呼啸而众人而去，可是，她的眼睛却紧紧盯着台下那稳坐之人。她用尽生命去爱的人竟要将她至于死地，竟灭杀她全族，既然如此，哪怕魂飞魄散，她也要拉他一起下地狱。她百里冰从来就不是打落牙齿往肚子里吞的人。有仇

11、必报，有恩必还一直是她做人的原则，死有什么大不了，她又不是没死过，重要的是要拉着仇人一起死。十年前身为特警的她在金三角的大毒枭身旁做卧底，后身份暴露，大毒枭欲将她除掉，她便拉着他一起与手榴弹同归于尽了，之后她便穿越到此，这十年，她已经是赚的了。只是，她眼中闪过寒光，从前有多爱，如今就有多恨。无形内心越聚越大，四周兵将已有被卷入其中者，武功低的，甚至直接被撕成碎片。“她拼命了，第一高手要拼命了”“保护冷王殿下，保护冷王殿下”“不要让她出剑，否则我们全部都要死在这里，快，大家一起围攻，杀了她”“杀啊”又一口鲜血狂喷而出，百里冰只觉浑身刺痛，生命的气息越来越弱。毒，是毒。今早冷逸辰为她亲倒的茶，原来是杯断魂茶。百里冰一声长啸，听得人悲然魂绝，她瞎了眼，当真是瞎了这双眼，才会爱上这个男人。随后人剑合一，内力爆向四方，所过之出，血色飞舞，散染一片。人剑所过之处，全部被夷平，所有生命，全部被秒杀。血如泉水喷色四方，侥幸活下来的人全部惊呆在当场。屠杀，这是赤/裸裸的屠杀，以一人之力屠杀二十万大军，这是怎样变态的实力，就连冷逸辰都变得不淡定了。她永远都能带给他惊喜，只是今天这惊喜，来得太不是时候。就在所有人都不知所措，等待被屠杀的时候，百里冰只觉从心口处传来剧痛，随后暴体而亡。她知道，毒已入心，无力回天，终含恨而终。“死了？”过了许久，才有人从她的突然暴体中回过神来。“哈哈