大一线性代数期末试题及答案

1、诚信应考，考试作弊将带来严重后果!线性代数期末考试试卷及答案注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3. 考试形式：开(闭)卷；4. 本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟题号一二三四五总分得分评卷人一、单项选择题(每小题2分，共40分)。1.设矩阵人为2x2矩阵，B为2x3矩阵，C为3x2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是A. BACB. ABC C. BCAD. CAB2设n阶方阵A满足A2 +E =0,其中E是n阶单位矩阵，则必有A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=ED. det(A)=l3设A为n阶方阵，且行列式de

2、t (A) = l ，则det(-2A) =A. 2B. (-2)C. -2nD. 14设A为3阶方阵，且行列式det(A)=0,则在A的行向量组中A. 必存在一个行向量为零向量B. 必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向疑的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5. 设向疑组幻，线性无关，则下列向量组中线性无关的是A. q“3，。3 一1B. |,2q-3aC. a2.2a3.2a2 +a3D. aa3a2,ai6. 向量组(I)： %心(沁3)线性无关的充分必要条件是A. (I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B. (I)中

3、存在一个向量它不能由其余m-1个向量线性表出C. (I)中任意两个向量线性无关D. 存在不全为零的常数匕,km,使切 + 5 工07设为w x /?矩阵，则元齐次线性方程组= 0存在非零解的充分必要条件是A. A的行向疑组线性相关C. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性相关D. 4的列向量组线性无关8设勺均为非零常数(21, 2, 3),且齐次线性方程组az +a2x2 +G3X3 =0bixl +b2x2 +b3x3 = 0的基础解系含2个解向量，则必有A.a aib2 %9.方程组丿=0 B.b2x)+ 兀2 + 兀3 = 1ciyax(Ka.y0 C. _1 =二=丄bybb2有

4、解的充分必要的条件是3 兀+ 3x2 + 2x3 = a +1A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=l10. 设小，力，恥是齐次线性方程组Ax= 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方 程组的一个基础解系的是【】A.可由刃，线性表示的向量组B.与“ “2, ：等秩的向量组C2, 2 3, ID一 3, 厂 2一 “311. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则【】A.方程组有无穷多解B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个【】A.互不相同的特征值C.线性无关的特征向量B. 互不相同的待征向量

5、D. 两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间疋的子空间的是A. aa1,- .an)axa1 =0)C. (厲卫2,卫；r)l e zj = 1,2,14若2阶方阵相似于矩阵3 =1 02 -3nB.l*q=OD. (绚川2,卫|终=1)2阶单位矩阵则方阵EJA必相似于矩阵10-1 000-I 0A.14B._ 1 -4_C._-24_D.2 -4_1 0 o15.若矩阵人=0 2a正定.则实数的取值范围是0 a 8A. a4C. 一4D.-4 a 4二. 填空題(每小题2分，共20分)。32 0 TT16 设矩阵4 =2 01 217 设矩阵人=2 1,B=, iAT为q的转置，则

6、AB =1J 0 则行列式det ( A”)的值为18.行列式81的值为619若向量组q=(h 2, 3丿，勺=(&人24),佝=(，1丿线性相关则常数20向量组(10, 20), (30, 40),(50, 60)的秩为.21 齐次线性方程组2xl +x2 -3Xj =0的基础解系所含解向量的个数为22已知州=(1, 0, 2) x2=(3f 4, 5)卩是3元非齐次线性方程组Ax = b的两个解向 量，则对应齐次线性方程A.y=0有一个非零解歹二.12323.矩阵A =023的全部特征值为o0 0324.设入是3阶实对称矩阵A的一个一重特征值，J =(1, 1, 3)j %=(4, a,

7、12 )丁是A的属于特征值入的特征向量，则实常数a：.25二次型 f(x,x2,x3) = x； 一4%jX2 + 4用 + 疋对应的实对称矩阵 A二.三. 计算题(，共50分)cr325 计算行列式4 1 02 2-2的值。-2 7 2T 126 设 4=0 1V1 ，且A? -AB = E,其中E是三阶单位矩阵,求矩阵B。1丿 + 2x2 = 327. 3取何值时，方程组Ma-+7x2+x3 =10有解在有解时求出方程组的通解。28. 设向量组卫2卫3线性无关。试证明:向量组0 =5 +&2 +冷，02 =5 -。2，03 =a3线性无关。29. 试证向量组勺=(1,0,1),=(1,1,

8、0),佈=(0，1，1)为F的一组基，并求向量(2,2,2) 在该组基下的坐标。2007线性代数考试试题B参考答案及评分标准一.单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)14. C15. D二、填空题(本大题共10空，每空3分，共30分)0 316.0 00 417. 91& - 36019. 1620. 221.122. （2,4,3）（或它的非零倍数）23. U 2. 31-24 _24.425.-24040 1三.计算题（每小题6分,共30分）26. D =一3 4 1345=322-269250-226 9= 96.27解：由于A? AB = E，因此 AB = A2 -E,

9、又 |A| =1工0，故 A 可逆,28.Nt1 1 11 -1 一0 1 10 1 一 1=0 0 1,0 0 -1 丿故当且仅当a=2时,0003f、B = A-屮2 20200/2e/-2有解。2分 3 -2所以X =0+ k1-21当a = 2时，得伙是任意常数）坷鳥广（勺任意），即-x2 =2 + x3A -1-1+ k0伙是任总常数）.心严（龙是任意）,x3 = _2 + x229 证一：设有一组数 Xl9X29X3 使 X0 +“202+“3 角=0,2分即（召 + x2） + （x1 一 x2 ）a2 +（K + x3 ）ay = 0由aA,a2,a3线性无关，有=0=02分+ x3 =0该方程组只有零解山=X2 = 0故02,03线性无关。证二：因宀宀线性无关.01，02,03用厲“山如线性表出的系数行列式1 1 111 00 0 1=1 11 -1=一2工0故线性无关。（若只证明H0,不强调,勺卫3线性无关这一条件就得出01,02,03线性无关的结论，扣2分）。故命题得证。8分30. 证明：令1