高中数学例题：逆用三角函数公式

1、 高中数学例题：逆用三角函数公式例 3.求值：（ 1 ）1+ tan 750；（ 2 ）1- tan 750.(sin 23 cos8 + sin 67 cos98 )(sin 7 30 - cos 7 30 )oooo4o4o【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算（1）利用将视为 tan 45 + tan15,将1- tan15 视为tan 45 =1 1+ tan151- tan 45 tan15，则式子恰为两角和的正切.1【答案】（1） （2）-34【解析】（1）原式=（2）原式=0tan 45 + tan 150；= tan(45 +1

2、5 ) = tan 60 = 30001- tan 45 tan 1500sin 23 cos8 + sin(90 - 23 )cos(90 + 8 )(sin 7 30 - cos 7 30 )oooooo4o4o= (sin 23 cos8 - cos 23 sin8 )(sin 7 30 + cos 7 30)(sin 7 30 - cos 7 30)oooo2o2o2o2o= -sin(23 -8 )(cos 7 30 - sin 7 30)oo2o2o114.= -sin15cos15 = - sin 30 = -2【总结升华】（1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正

3、（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”（2）辅助角公式：，其中角 在jaaa jasin +bcos = a +b sin( + )22公式变形过程中自然确定.第 1 页 共 4 页 举一反三：【变式 1】化简：（1）2cos15 + 2 3 sin15；（2）2cos x - 2 3 sin x（3）；.2 cos x + 2 sin xp4sin( - x)6p2sin( + x)4【答案】（1） （2）2 2（3）【解析】13（1）原式（2）原式（3）原式；4( cos15+sin15) = 4sin(30 +15) = 2 222ppp13；4( cos x -sin x) =

4、 4(sin cos x - cos sin x) = 4sin( - x)22666ppp222( cos x +sin x) = 2(sin cos x + cos sin x) = 2sin( + x)2244435【变式 2】已知，那么cos 2b 的值a baa basin( - )cos - cos( - )sin =为（）7182571825abcd-2525【答案】a；【解析】3)，5=abaabcs-i- n(-7.bbcos 2 =1- 2sin 2 =25例 4. 求值：pcos cos2p73p7（1）cos36cos72 ；（2）cos7【思路点拨】问题的特征是角存在

5、倍角关系，且都是余弦的乘积方法是分子分母（分母视为 1）同乘以最小角的正弦第 2 页 共 4 页 【答案】（1）1/4 （2）1/8【解析】sin 36 cos36 cos 72 1 sin 72 cos 72 1 sin144014（1）原式=（2）原式=00000；= = 4 sin 360=sin 3602sin 360pp2p7p4p72p74p7cos cos7cos( -) = -cos coscos7ppsin cos cos2p74p7cos77= -psin72p72p4p7sincoscos7= -p2sin78psin7= . = -p8sin71=8【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：余弦相乘；后一个角是前一个角的 2 倍；最大角的 2 倍与最小角的和与差是p三个条件缺一不可另外需要注意 2 的个数应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法举一反三：【变式】求值：cos20cos40cos80【答案】1/8【解析】2sin 20 cos 20 cos 40 cos80原式=2sin 20第 3 页 共 4 页 2 sin