高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题含答案

1、 用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例 1正数数列 a 的前 项的和 ，满足2 ss= a +1，试求：nnnnn （1）数列 a 的通项公式；n1 1=bnbb ，数列 的前 项的和为 ，求证：（2）设ba ann 2nnnn+1= (a +1)4s = (a +1)，n 2时， ，作差得：解：（1）由已知得4s22nnn-1n-1 4a = a + 2a - a - 2a ，所以(a + a )(a - a - 2) = 0 ，又因为 a 为正数数列，所以22nnnn-1 n-1nn-1nn-1na - a = 2 ，即 a 是公差为 2

2、的等差数列，由2 s = a +1，得a = 1，所以a = 2n -1nn-1n111n111 1= (2n -1)(2n +1) 2 2n -1 2n +11=-（2）b)，所以a annn+111 1 111111b = (1- + - l-) = -3 3 5 2n-1 2n +1 2 2(2n +1) 2n 2 412= a - 2 + ，n =1, 2,3,ggg真题演练 1：(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列 的前 项的和,sann 1+n333nn2（）求首项a 与通项a ；（）设t ，n 1,2,3, ，证明：n3n=ggg t .s21nnii=1n4 1 24 1

3、 2解: ()由 s= a 2 + , n=1,2,3， , 得 a=s= a 4+ 所以a =2n+13 3 33 3 3nn11114 1 2再由有 s = a 2+ , n=2,3，4,n3 3 3n1n141将和相减得: a=ss = (a a ) (2 2 ),n=2,3, n+1n33nnn1nn1整理得: a +2 =4(a +2 ),n=2,3, , 因而数列 a +2 是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即 :nn1nnn1na +2 =44 = 4, n=1,2,3, , 因而a=42, n=1,2,3, ,nn1nnnnn412 1()将 a =4 2 代入得

4、 s= (4 2 ) 2 + = (2 1)(2 2)nnnnn+1n+1n+1333 3nn2= (2 1)(2 1)n+1n32 32n3 1= ( 1nt= = )s 2 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nnn+1nnn+13 113 1) = ( 132nn所以,t =i( ) 2 21 2 1 2 212 -1ii+11+1ni=1i=11 二先放缩再求和1放缩后成等比数列，再求和 12例 2等比数列 a 中，前 n 项的和为 ，且 s , s , s 成等差数列sa = -1n798na 132=bntnt n设b，数列前 项的和为 ，证明：n1- annna12解：，公比

5、a - a = a + aa - a = -aa + a = -aq = -9a9789899899811114n= (- )b =n= an1- -4 ( 2)3 2n2nnn1- (- )n2= aq - a（利用等比数列前 n 项和的模拟公式s猜想）nn11(1- )11111113222= b + b +l b +l += =(1-) b3 23 23 2313n12n2n2n1-2 真题演练 2：(06 福建卷理科 22 题)已知数列 a 满足 a = a = a + n n1, 2 1().*n1n+1n （i）求数列的通项公式；an （ii）若数列 b 滿足 4 4 l 4 =

6、(a +1) (n n ) ，证明：数列 b 是等差数列；b -1 b -1b -1nbn*12nnnn 1 a a12 3 a aan- + +.+ (n n )（）证明：.2n*a223n+1（i）解：q a= 2a +1(n n ),*n+1n a +1 = 2(a +1), a +1a +1 = 21是以为首项，2 为公比的等比数列n+1nna +1 = 2 .a = 2 -1(n n ).即n2*nnq 4 4 .4= (a +1) .（ii）证法一：k -1 k -1k -1nk12nn4= 2 .n(k +k +.+k )-nnk12n2(b + b +.+ b ) - n =

7、nb ,12nn2(b + b +.+ b + b ) - (n +1)= (n +1)b .12nn+1n+1-1) = (n +1)b - nb ,，得2(bn+1n+1n2 -1)b - nb + 2 = 0, nb - (n +1 )b + 2 = 0.即 (nn+1nn+2n+1- 2nb + nb = 0,，得 nbn+2n+1n - 2b + b = 0, b - b = b - b (n n ), b即 b是等差数列*n+2n+1nn+2n+1n+1nn-12 -11a2kk= ,k =1,2,., n,（iii）证明：qkak+12 -1k+1122(2 - )k2a a +

8、 +.+an - ,1a a2na2 3 2 2222 322 3nn23n+1n 1 a a - + +.+an a 3 -例 3已知数列a 满足： an，求证：1n+12nnn+1n2-n 1n= (1+ )a2naaa =1 0 ，所以 a 0与 同号，又因为 ，证明：因为 a，所以n+1nn+11nnn- a = a 0a a 所以数列a 为递增数列，所以a a = 1，即 a即 a，即n+1n2nn+1nnnn1nn1 2n -1- a =a a - a + +l +，累加得：n+1n2nn2nn12 222-n 11 2n -11212n -1= + +l +2 22s =+ +l

9、 +令 s，所以，两式相减得：222 232nnn 1-nn -1，所以 s = 2 - n +1，所以 a 3 -n +1，11 1s = +11+ +l +-22 22 2322n22nn 1-nn 1-n-n 1n +1 a 3 -故得 an+1n2-n 13放缩后成等差数列，再求和例 4已知各项均为正数的数列a 的前 项和为 s ,且 a.n2+ a = 2snnnnn3 a + a22(1) 求证： s；n+1n4nss -1n+1 s + s + + s 0 a = 1+ a = 2s有解：（1）在条件中，令n，又由条件a22111111nnna + a = 2s ，上述两式相减，

10、注意到a = s - s 得2n+1n+1n+1n+1n+1n(a + a )(a - a -1) = 0 q a 0 a + a 0 a - a =1n+1nn+1nnn+1nn+1nn(n +1)= 1+1 (n -1) = n s =所以， a，n2nn(n +1) 1 n + (n +1)+ aa2222s = =所以nn+12224nnn(n +1) n +1 n(n +1) n +1，所以，所以（2）因为 n2221 223n(n +1)n+123s + s +l s =+l +l +=； ssn+1n2 2212n2222 22练习：134= x + bx -a b，已知不论 ,

11、 为何实数，恒有 f (cosa ) 0 且1.（08 南京一模 22 题）设函数 f (x)24 f (2 - sin b ) 0 .对于正数列 a ，其前 n 项和 s= f (a ) (n n )，.*nnn () 求实数 b 的值；（ii）求数列 a 的通项公式；n1 1=,n n，且数列（）若 c解：() b的前 n 项和为t ，试比较t 和 的大小并证明之.c1+ a6n+nnnn1=a = 2n +1；n（利用函数值域夹逼性）；（ii）211 11 1 11 1=-，t = c + c + c + +c - 4，有+ +l +1）nn-1nnn-1nn-1= 2a + 2(-1)

12、化简得： an-1nn-1aaa2a2+ 3= -2- 2+ = -2,nn-1nn-1(-1)n(-1)(-1)n(-1)3n-1n-1a232+- +-为首项, 公比为 2 的等比数列.故数列是以 an(-1)n31a212+ = (- )(-2)=- -2n-2 ( 1) 故 an-1nn(-1)n333n2= 2 - (-1) 数列 的通项公式为：aa.n-2nn3n观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边1 1+ +l +a a1 3 1= 2 2 -1 2 +111+l +，如果我们把上式中的分母中的 1去掉，就可利=a2 - (-1)2

13、3m-2m45m用等比数列的前 n 项公式求和，由于-1 与 1 交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，1111+尝试知：，2 -1 2 +1 22323211111+ 4) 时，11111111+ +l +=+ ( + ) +l + (+ )aaaaaaaa45m456m-1m1 3 111 + ( +2 2 23 24+l +)2m-21 3 11)2m-4= + (1-2 2 41 3 7 4)m +1为偶数，（2）当 m 是奇数(m时，1111111178+ +l + + +l + 4，有+ +l + an+1n 2且n n a = a a，有*a a +1成立；求证

14、：（1）对于 n恒有成立； （2）当*nn+1nn-1l2111 1 + +l +1（3）1- 122006 a a1a22006分析：（1）用数学归纳法易证。= a - a +1a -1 = a (a -1) a -1 = a (a -1)（2）由 a得：2n+1nnn+1n-1n-1nnn-1 = a (a -1) a211-1 = a a l a a (a -1)a = 2，又以上各式两边分别相乘得： an+1nn-12111a = a a l a a +1n+1nn-12 111 1 + +l +1（3）要证不等式1- 1，22006 a a1a220061 1+ +l +a a1可先

15、设法求和：，再进行适当的放缩。a122006111111q a -1 = a (a -1)=- =-a -1 a -1 an+1aa -1 a -1n+1nnnnnnn+11 11111111 + +l +a a= (-) + (-) +l + (-)aa -1 a -1a -1 a -1a -1 a -1122006122320062007111=-= 1- a= 220062006a -1 a -1a a a11220061120072l 2006111- 1- 原不等式得证。a a l a22006122006本题的关键是根据题设条件裂项求和。6 用放缩法处理数列和不等问题（学生版）一先

16、求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例 1正数数列 a 的前 n 项的和 ，满足 2 ss= a +1，试求：nnnn （1）数列 a 的通项公式；n1 1=bnbb 的前 项的和为 ，求证：（2）设b，数列a ann 2nnnn+1 4123= a - 2 +，n =1, 2,3,ggg真题演练 1：(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列的前 项的和, snan 1+n33nn2nn3=， n 1,2,3, ，证明：=ggg t （）求首项 a 与通项 a ；（）设tn.s21nii=1n7 二先放缩再求和1放缩后成等比数列，再求和 12例 2等比数列 a 中，前 n 项的和为 ，且 s , s , s 成等差数列sa = -1n798na 132=nt ，数列 b 前 项的和为 ，证明：设btn1- annnnn 真题演练 2：(06 福建卷理科 22 题)已知数列满足 a = a = a + n n1, 2 1( ).a*nn 1+1n （i）求数列 a 的通项公式；n （ii）若数列 b 滿足l= a +n n ，证明：数列 b 是等差数列；4 4b -1 b -14(1) (b)b -1n*12nnnnn 1 a a12 3 a a