有阻尼自由系统的振动分析

1、有阻尼自由系统的振动分析mgr实际系统振动时不可避免地存在阻力，因而在一定时间内振动逐渐衰减直至停止。阻力有多种来源，例如两个物体之间的干摩擦阻力、气体或液体介质的阻 力、有润滑剂的两个面之间的摩擦力、由于材料的粘弹性而产生的内部阻力等等。在振动中这些阻力统称为阻尼。其弹簧一质量系统模型图示如右图，因为有考虑 到阻尼的影响故其运动方程应为：mu（t） cu（t） ku（t） =0（ 1） 或u（t） 2 E（u（t）w2u（t） =0（2）其中2 I，=丄 式（2）是一个常系数齐次线性微分方程mx22 x 2 =o（ 3）其通解为 x = =：-$： V 2 -1由上可知，式（2）的解与E的大

2、小有关。对于E可分为以下四种情况简要讨论:1 、临界阻尼情况（E =1或C=2m ）在这种情况下特征方程的根是一对重根：X1、2=- 3 ,式（2）的通解是 u（t）tuo（1 ，t） ut（4）在这种情况下系统不发生振动。临界阻尼就是不产生振动的最小阻尼。2、超阻尼情况（E 1或C 2mw ）U丄戶ituo 亠心uo此特征根是两个负实数。通解为u（t） =euochd，-0oshdt （ 5）d式中d =2 -1，这种阻尼过大系统的运动是按指数规律衰减的非周期运动。3、负阻尼情况（E 0或Cv 0）阻尼本来是消耗能量的，负阻尼则表示系统在不断增加能量，这种情况下的运动是不稳定的， 其振幅会越

3、来越大，直到系统振动失效破坏。4、 低阻尼或小阻尼情况（E 1或C 2mw ）一t uo uor , _此时特征根是两个复数，式（2）的通解为u（t）二e （sin dt u0cos dt） （6）wd式中=- 2，由此可知，阻尼使系统自振频率减小，亦即使系统自振周期增大。由上 式可看出，阻尼式振幅按指数规律衰减。理论计算和工程应用中常采用阻尼比E来表示结构阻尼的大小，阻尼比 E是阻尼系数和临界阻尼的比值。在实际工程结构中阻尼比E相对较小，最大阻尼比不超过0.20，因此实际工程结构动力计算中常不计阻尼对自振圆频率的影响，即3 d=3在我国相关结构设计规范中，对于钢结构阻尼比E取0.02，钢筋混

4、凝土结构阻尼比E取0.05。一般的耗能减震系统，加入阻尼器的动力系统阻尼比E 一般为 0.10-0.20。阻尼一般来源于材料变形的摩擦，结构连接部位的摩擦和结构周围外部介质。关于阻尼力，根 据不同的耗能机理，提出了不同的阻尼理论，其中主要有一下三种：1、粘性阻尼，该理论认为阻尼力大小与速度成正比，方向与速度方向相反，也称为粘滞阻尼，可表示为：FD(t)=cu(t),其中Fd (t )为阻尼力，c为粘性阻尼系数。2、复阻尼，又称为结构阻尼或材料阻尼，该理论认为在简谐振动中阻尼与位移成正比，其相位与速度相同，可表示为：Fd (t) = i ku(t) , n为复阻尼系数，k为劲度系数，复阻尼能很好地反应材料内摩擦的耗能机理，故应用较多。3、摩擦阻尼，该理论认为阻尼力就等于摩擦力，方向与速度方向相反，也称为干摩擦阻尼，可表示为：FD(t) W |u(t),卩为摩擦系数，N为正压力，摩擦阻尼一般应用于摩擦力占主导地位的劲力系统中。由于自由振动反应受阻尼比影响较大，阻尼比大的动力系统其自由振动的衰减快于阻尼比小的动力系统，由此，我们可以通过结构的自由振动实验来获得结构阻尼比，若设自由振动的相邻周期的幅值为Ui和Ui+1，我们能从中计算对数衰减率:可求出阻尼比:i：y =lnUiui 12 二、y,2二)2*2(7)(8)考虑到实际结构的阻尼比E小于0.2，可以近似取 d - 2 -1