圆的方程知识点总结和典型例题

1、圆的方程知识点总结和经典例题 1圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹 ） 标准 方程 （xa）2（yb）2r2（r0） 圆心： （a， b），半径： r 一般 x2y2Dx Ey F0（D2E2 DE 圆心： 2 ， 2 ， 方程 4F 0） 半径： 几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断 2代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 3直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线 与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 2 D 2E24F 注意点 （1）求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设

2、哪一种圆的方程都要列出系数的三个 独立方程 （2）对于方程 x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视 D2E24F0这一条件 2点与圆的位置关系 点 M（x0，y0）与圆（xa）2（yb）2r2 的位置关系： （1）若 M（x0，y0）在圆外，则 （2）若 M（x0，y0）在圆上，则 （3）若 M（x0，y0）在圆内，则 （x0a）2（y0b）2r2. （x0a）2（y0b）2r2. （x0a）2（y0b）20） ， d 为圆心 （a，b）到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为 . 方法位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 dr 0 相离 dr 0） ，

3、 圆 O2：（xa2）2（yb2）2r22（r20） 方法位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1 ，r2 的关系 代数法：两圆方程联立组成方 程组的解的情况 外离 dr1r2 无解 外切 dr1r2 一组实数解 相交 | r1r 2| dr1r2 两组不同的实数解 内切 d| r 1r2| (r1r2) 一组实数解 内含 0 d| r 1r 2|( r 1r 2) 无解 易误点： 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形 1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几 个步骤： (1) 化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2) 计算两圆圆心的距离 d； (3) 通过 d，

4、r 1r2，| r1r2| 的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围， 必要时可借助于图形，数形结合 2应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰 的，要理清圆心距与两圆半径的关系 (2)两圆相交有关问题 1圆系方程 一般地过圆 C1：x y D1xE1yF10 与圆 C2：x y D 2xE2y F20 交点的圆的方程可设为： x2y2D 1xE1yF1(x2y2D2xE2y F2)0(1)，然后再由其他条件求出 ，即可得圆的方程 2两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆 C1：x2y2D 1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交，则两圆公共弦所在直线

5、的方程为 (D1D2)x(E1E2)yF1F2 0. 3公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求 出弦长 (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距 构成的直角三角形，根据勾股定理求解 5. 对称问题 (1)点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式 点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点为 P(2ax，2b y). (2)点关于直线成轴对称 (3)曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称 6. 与圆有关的最值问题的常见解法 yb （1） 形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 x a （2）形如 tax by

6、 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题 7. 典型例题 1. 是 （） A相交 C相离 （3）形如（xa）2（yb）2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问 题 直线 3x4y50 与圆 x2 y21 的位置关系 B相切 D 无法判断 | 5| 2 2 【解析】 圆心 （0,0） 到直线 3x4y50 的距离 d 2 21 ，又圆 x2y21 3242 的半径 r1， dr，故直线与圆相切 2. 直线 3x4y12 0 与圆（x1）2（y 1）29 的位置关系是 （ ） A过圆心B 相切 |3 1 4 1 3242 12| 1511，所以点 A 在圆外 (1)若所求切

7、线的斜率存在，设切线斜率为 k ， 则切线方程为 y3k(x4) 因为圆心 C(3,1) 到切线的距离等于半径，半径为 1， 所以|3 k12 34k| 1，即| k4| k21， 所以 k28k16 k21，解得 k 185 . 8 15 所以切线方程为 y3 (x4)，即 15x8y36 0. 8 (2)若直线斜率不存在，圆心 C(3,1) 到直线 x 4 的距离也为 1 ， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x 4. 综上，所求切线方程为 15x8y36 0 或 x4. 5. 6. 求直线 l：3xy60 被圆 C ：x2y2 2y 4 0 截得的弦长 解析】 圆 C：x2y2

8、2y40 可化为 x2(y1)25， 其圆心坐标为 (0,1) ，半径 r 5. 点(0,1)到直线 l 的距离为 d|3 0321126|210 l2 r2d2 10 ，所以截得的弦长为 10. 直线 x 2y 5 5 0 被圆 x2y2 2x4y0 截得的弦长为 () A1 B2 C4 D 4 6 【解析】 圆的方程可化为 C：(x1)2(y2)25，其圆心为 C(1,2) ，半 径 r 5. 如图所示，取弦 AB 的中点 P，连接 CP，则 CPAB ，圆心 C 到直线 AB 的距离 d| CP| |1 412522 5| 1222 1. 在 Rt ACP 中，| AP| r 2d2 7

9、. 8. 9. 2 ，故直线被圆截得的弦长 | AB| 4. 0 的位置关系是 () A外离 C内切 两圆 x2y29 和 x2y28x6y9 B相交 D外切 解析】 两圆 x2y29 和 x2y28x6y90 的圆心分别为 (0,0) 和 (4，3)，半径分别为 3 和 4. 所以两圆的圆心距 d 42 3 25. 又 4 353 4，故两圆相交 4y 0 的位置关系为 () A外离 C外切 圆 O1：x2 y2 2x0 和圆 O2：x2y2 B相交 D内切 解析】 圆 O1的圆心坐标为 (1,0) ，半径长 r11；圆 O 2的圆心坐标为 (0,2) ， 半径长 r22；1r 2r1| O

10、1O2| 5r 1 r 23 ，即两圆相交 求两圆 x2y22x10y240 和 x2 y22x2y8 0 的公共弦所在直线的方程及公共弦长 x2y22x10y24 0， 解析】 联立两圆的方程得方程组 x2y22x2y80， 两式相 减得 x2y4 0，此为两圆公共弦所在直线的方程 法 一 ： 设 两 圆 相 交 于 点 A ， B ， 则 A ， B 两 点 满 足 方 程 组 x2y40，x4，x0 ， x2y22x2y80， 解得 y0或 y2. 所以| AB| 40 23 23 2 4 ，所以直线 AB 被圆 C3 截得弦长为 2 2 23. 已知圆 C 与圆（x1）2y2 1 关于

11、直线 yx 对称，则圆 C 的方程为（） A（x1）2y21Bx 2y21 Cx2（y1）2 1Dx2 （y1）21 02 22 5，即公共弦长为 2 5. 法二：由 x2y22x10y24 0，得（x1）2（y5）250，其圆心坐 标为（1， 5），半径长 r5 2 ，圆心到直线 x2y40 的距离为 d |1 2 5 4| 2 3 5. 设公共弦长为 2 l，由勾股定理得 r2d2l2， 1 2 2 即 50 （3 5）2l 2，解得 l 5 ，故公共弦长 2l2 5. 10. 求圆 C1： x y 1 与圆 C2：x y 25 2x2y10 的公共弦所在直线被圆 C3：（x1） 2（y1

12、）2 4 所截得的 弦长 作差 精彩点拨】 联立圆 C1、C2的方程 得公共弦所 在的直线 圆心 C3到公共弦的距离 d 圆的半径r 弦长2 r2d2 解析】 设两圆的交点坐标分别为 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A，B 的坐标是 方程组 x2y21 x2y22x 2y10 的解，两式相减得 x y 1 0. 因为 A，B 两点的坐标满足 xy10 ，所以 AB 所在直线方程为 x y 10，即 C1，C2 的公共弦所在直线方程为 xy10， 1 2 2 25 11. 圆 C3 的圆心为 （1,1） ，其到直线 AB 的距离 d 2，由条件知 r2 d2 4 【解析】 由已知圆 （x

13、1）2y21 得圆心 C1（1,0） ，半径长 r 1 1.设圆心 C1（1,0 关于直线 yx 对称的点为 （a，b）， b a1 1 1 a 1 b 2 2 ， a0， 解得 ab0，1. 所以圆 C的方程为 x2（y 1）21. 12. 当动点 P 在圆 x2y22 上运动时，它 与定点 A（3,1）连线中点 Q的轨迹方程为 【解析】 设 Q（x ，y）， P（a ，b），由中点坐标公式得 a3 x b1 所以 a2x3， b2y1. y 2 ， 点P（2x3,2y1）满足圆 x2y22的方程，所以（2x3）2（2y1）22， 化简得 x32 2 y21 221，即为点 Q 的轨迹方程

14、13. （1）ABC 的顶点坐标分别是 A（5 ，1 ），B（7，3），C（ 2 ，8）， 求它的外接圆的方程； （2）ABC 的顶点坐标分别是 A（0，0），B（5，0），C（0，12 ）， 求它的内切圆的方程 【解答】 解：（ 1）设所求圆的方程为（ xa）2+（yb）2=r 2， 因为 A（5，1），B（7， 3），C（2，8）都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程， 于是 ，可解得 a=2 ，b= 3，r=25 ， 所以 ABC 的外接圆的方程是（ x2）2+（y+3 ）2=25 （2）ABC 三个顶点坐标分别为 A（0，0），B（5，0），C（0，12 ）， ABAC，AB=5 ，AC

15、=12 ，BC=13 ， ABC 内切圆的半径 r=2，圆心（ 2，2）， ABC 内切圆的方程为（ x2）2+（y2）2=4 14. 已知圆 C：x2+（y+1 ）2=5 ，直线 l：mx y+1=0 （mR） （1 ）判断直线 l 与圆 C 的位置关系； （2）设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，若直线 l 的倾斜角为 120 ，求弦 AB 的长 【解答】 解：（ 1 ）由于直线 l 的方程是 mx y+1=0 ，即 y 1=mx ，经过 定点 H （0 ，1）， 而点 H 到圆心 C（0，1）的距离为 2 ，小于半径 ，故点 H 在圆的内部， 故直线 l 与圆 C 相交，故直线和圆恒有两个交点 （2）直线 l 的倾斜角为 120 ，直线 l：xy+1=0 ， 圆心到直线的距离 d=1 ，|AB|=2=4 15. 过点（1，2）的直线 l 被圆 x2y22x 2 y 1 0 截得的弦长为 2 ，求直线 l 的方程 【解】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设