菱形知识讲解

1、菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念2. 掌握菱形的性质定理及判定定理.【要点梳理】【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：是平行四边形有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1菱形的四条边都相等；2. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角3. 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中

2、心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分（2） 菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底X高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积 的一半（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问 题要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2对角线互相垂直的平行四边形是菱形3. 四条边相等的四边形是菱形 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等【典型例题】类型一、菱形的性质

3、1、（2015?石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E,F分别为 AD , AB上的点，且AE=AF , 连接EF并延长，交CB的延长线于点 G,连接BD .（1）求证：四边形 EGBD是平行四边形；（2）连接 AG，若/ FGB=30 , GB=AE=1，求 AG 的长.【思路点拨】（1连接AC,再根据菱形的性质得出 EG/ BD,根据对边分别平行证明是平 行四边形即可.（2）过点A作AH丄BC,再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可.【答案与解析】（1）证明：连接AC,如图1:四边形ABCD是菱形， AC 平分/ DAB,且 AC丄 BD,/ AF=AE, AC丄 EF, EG/ BD.

4、又菱形 ABCD 中，ED/ BG,四边形EGBD是平行四边形.（2 ）解：过点A作AH丄BC于H ./ FGB=30 , / DBC=30, / ABH=2/ DBC=60,/ GB=AE=1, AB=AD=2,在 Rt ABH 中，/ AHB=90 , AH=二，BH=1 . GH=2, 在 Rt AGH 中， 根据勾股定理得，AG=. 一.关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三【总结升华】本题考查了菱形性质， 角形的性质解题.举一反三：【变式1】（2015?温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接 DE交AC于点O,连接BO,且/ AED=50，则/ CBO

5、度.编辑版word【答案】50;解：在菱形ABCD中，AB/ CD, / CDO=Z AED=50 CD=CB，/ BCO=Z DCO 在 BCO和厶DCO中，CEtCBZBCX=ZDCO,co=co BCOA DCO( SAS), / CBO=Z CDO=50.【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD中，/ A :/ B = 1 : 5,若周长为8,则此菱形的高等于（）.1A.B.4C.1D.22【答案】C;一 亠 1 提示：由题意，/ A= 30,边长为2,菱形的咼等于X 2= 1.2类型二、菱形的判定2、如图所示，在厶ABC中，CD是/ ACB的平分线，DE /

6、 AC, DF / BC,四边形 DECF 是菱形吗？式说明理由.【思路点拨】 由菱形的定义去判定图形，由DE / AC, DF / BC知四边形DECF是平行四边形，再由/ 1 = 7 2=7 3得到邻边相等即可.【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：DE / AC, DF / BC四边形DECF是平行四边形./ CD 平分7 ACB, 7 1 = 7 2DF / BC,-7 2=7 3,-7 1 = 7 3.CF= DF , 四边形DECF是菱形.【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形.举一反三：【变式】

7、如图所示，AD是厶ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E,交AC 于F,则四边形 AEDF是菱形吗？青说明理由.解：四边形AEDF是菱形，理由如下：/ EF垂直平分AD , AOF与厶DOF关于直线 EF成轴对称./ ODF =Z OAF ,又 AD 平分/ BAC，即/ OAF =Z OAE ,/ ODF =Z OAE . AE / DF ,同理可得：DE / AF . 四边形AEDF是平行四边形， EO = OF 又 YaEDF的对角线AD、EF互相垂直平分. YAEDF是菱形.3、如图所示，在 ABC中，/ BAC = 90, AD丄BC于点D , CE平分/ ACD ,交A

8、D 于点G,交AB于点E, EF丄BC于点F. 求证：四边形 AEFG是菱形.H F DC【思路点拨】 由角平分线性质易知 AE = EF，欲证四边形 AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或 AG = GF = AE即可.【答案与解析】证明：方法一：CE 平分/ ACB，/ BAC = 90, EF 丄 BC, AE = EF，/ 1 + Z 3= 90,/ 4+Z 2= 90./ / 1 = / 2, / 3=/ 4.EF 丄 BC, AD 丄 BC,. EF / AD . / 4=/ 5. / 3=/ 5.AE = AG . EF AG . 四边形AEFG是平行四边形.又 A

9、E = AG , 四边形AEFG是菱形.方法二： CE 平分/ ACB，/ BAC = 90, EF 丄 BC, AE = EF , / 1 + / 3= 90,/ 4+/ 2= 90. / 3=/ 4.EF 丄 BC, AD 丄 BC,. EF / AD . / 4=/ 5. / 3=/ 5.AE = AG .在厶 AEG 和厶 FEG 中，AE = EF , / 3=/ 4, EG = EG , AEG FEG . AG = FG .AE = EF = FG = AG . 四边形AEFG是菱形.【总结升华】 判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件.举一反三：【变式

10、】如图所示，在 YABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过 A 点作AG / DB交CB的延长线于点 G.求证：DE / BF;(2)若/ G = 90，求证四边形 DEBF是菱形.【答案】证明：(1)YaBCD 中，AB / CD , AB = CD/ E、F分别为AB、CD的中点11DF = - DC , BE = - AB22DF / BE. DF = BE四边形debf为平行四边形DE / BF证明： AG / BD/ G = Z DBC = 90 dbc为直角三角形又 F为边cd的中点.1BF= DC = DF2又四边形debf为平行四边形 四边形debf是菱形类

11、型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长 0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色， 现有一面长4.2 m ,宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖试问：(1) 这面墙最少要贴这种瓷砖多少块 ？(2) 全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形？AGnff*t(【答案与解析】解：墙壁长 4.2m，宽 2.8m，矩形瓷砖长 0.3m，宽 0.2m , 4.2-0.3= 14, 2.8- 0.2= 14, 则可知矩形瓷砖横排 14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面.(1) 则至少需要这种瓷砖 14X 14= 196块).(2) 每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半.另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13X 13=169个，面