多面体外接球半径常见的5种求法(柯建华)

1、多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用知识回顾：1、球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关系2、 球面被经过球心的平面截得的圆叫 .被不经过球心的平面截得的圆叫3、球的表面积表面积 S= ;球的体积V=4、 球心一定在过多边形（顶点均在球面上）外接

2、圆圆心且垂直此多边形所在平面的垂线 上方法一：公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9,底面周长为3,则这个球的体积8为-式 （R-球的半径；d-球心到球截面圆的距离，注意球截面圆通常是顶点在球上多边形的外接圆；r-顶点在球上多边形的外接圆的半径）方法二：多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是（）A. 16 B. 20 C. 24 D. 32解：设正四棱柱的底面边长为 X，外接球的半径为R，则有4x2 16，解得x 2.二2R V22 22 42 2屈，R胚.二

3、这个球的表面积是4 R2 24 .选C.小结：本题是运用“正四棱柱体（包括正方体、长方体）对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.方法三：补形法例3:若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是二解：据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，二把这个三棱锥可以补成一个棱长为.3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球2 22 C设其外接球的半径为R，则有2R 2-.3 .3 -.3 9二R2 -.4故其外接球的表面积S 4 R29 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为ab、c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长

4、就是该三棱锥的外接球的直径?设其外接球的半径为 R，则有2R . a2 b2 c2 .AAPA PB PC两两垂直采用补形法方法四：寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为同一球面上，则此球的休积为-.2，点 s、A、B、C、D 都在C解 设正四棱锥的底面中心为 Oi,外接球的球心为0,如图3所示.二由球的截面的性质，可得00i平面ABCD .又SOi平面ABCD，二球心0必在SO所在的直线上.二ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径在 ASC 中，由 SA SC .2 , AC 2，得 SA2 SC2 AC2.ASC是以AC为斜边的Rt

5、AC1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球23小结：根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究？这种等价转化的数学思想方法 值得我们学习?方法五：确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB 4,BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为A 125 B 125 C 125 12.9. 6D 空3D图4 B解：设矩形对角线的交点为 0,则

6、由矩形对角线互相平 分，可知 OA OB OC OD .?点0到四面体的四个顶点 A、B、C、D的距离相等，即点0为四面体的外接球的球心，如图2所示.？外接球的半径R 0A 5 .故V球4 R3 125 .选C.236小结：若四面体或三棱锥的一条棱所对的两个顶角者E是直角，则利用直角三角形知识可知：四面体外接球的球心就是这条棱的中心，球的半径等于此棱长度的一【练习巩固】练习1 （陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC中，円丄平 AABC.CBL P5CB丄 AB IPA二 2 朋二 2BC二 2 , 求其外接球的体积乜f练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱 长均为止求其外接球的表

7、面积练习3 （河北，2012）如图，在四面体ABCD 中，妙二 DC二插？ AD 二 BC二怎 BMAC 二 屈，求其外接球的表面积【参考答案】 练习1【补形法】D【轴截面 法】0A 二 OB二 0C二 OP 4练习2【补形法】症，S二曲二二2【轴截面 法】练习3【补形法】V3 - I/b就R-%AO2 = AH2 +OE37TAT =,5 Q兀& = 1 52乱已知三棱柱A召-A咼仃的吹点都 在球0的養面上，且测棱 垂直于屁面 9若XC = 4rZAHC=AA6f则球。的衰质积积为.4J5OZ nDJO 开31若三梭24.已知厂为球的直径，4、A是该球面上的两点，ABA-SC, AS（24J3AS-ABC舸体取则璨0的伍积为（a3鬲?在正三復锥S-A出：中，耐为切的申点，且/W丄S&,眼面边长Alt=2运贝性E三犊旌5 -的外接球的表面积.为（Rd(32j6x 3, 1解 设正六棱柱的底面边长为X，高为h，则有9、3 2 X 29 6 空 x*