有效质量近似

1、附录： 有效质量近似 (effective mass approximation ):理想晶体能带理论中的单电子态满足方程2 2Hoa(k,F)= |-可 +Vc(r) a(k,r)= Ea(kWa(k,r)2m一(239)本征波函数可表述为布洛赫波a k,r 二 exp(ik r)ua(k,r)(2310)其中下标a标记所属的能带。该态的能量为 Ea k ，可在带顶处展开为Ea k 二 E*其中 m 为有效质量,* * *2mx 2my 2mz 2呻 丄 1 Ea k m*2 ki2(2311)(2.3-12)Ea k是k空间的周期函数，可展开为Fourier 级数:(2.3-13)Ea(k

2、)=送 Eam exp i Rm kmIT其中Rm为正格矢把Ea k中的k换成算符-，构造了一个算符4Ea 汀八 EamexP Rmm它作用在布洛赫波函数上得Ea -ra k,7 八 Eamexp Ram=EEam 1Rmv +1 :Rm2a k,rmIL 42 H4 *=EEam ak,rRm）=zEam exp iRm k a k,rm4m二 Eak ak, r(2.3-14 )上式中利用了泰勒展开-a k4 r k1飞人呻呼2 7厂a K r1 2 也即，exp Rm人是平移算符，它把a k, r变为；k,r Rm。可见a k,r是算符Ea -广的属于本征值Ea k的本征函数当晶体中存在

3、缺陷时，周期势VC受扰动，变为V/ U，薛定谔方程变为H 0 U 二 E（2.3-15）方程的解 可按Ho的本征函数-布洛赫函数展开为波包:* = zCa ka k,（236）a,k将它代入薛定谔方程（2.3-15），得瓦 Ca（k）（H + U %（k,r）=瓦 Ca（ kEa（ k）+U蔦（k,r）a,ka, k *八 Ca k Ea 十 U a k,r = Ea,k（2317） 对典型的浅杂质能级，可作如下 近似：首先，假定波包中只包含导带的波函数。例如对半导体中的施主，当导带电子束缚在缺陷上的束缚能比 带隙Eg小得多（比如Ll%Eg），波函数的展开式的取和可只限于 一个带（这里为导带）

4、，其它带的能量差得较远，对波函数的贡 献较小。再考虑到 算符Ea -h U不依赖于k，可提出取和号，方程变为Ea（-严）+U弹 Ca（kWa（kF）= Ea（-r ）+uy = E*k(2318)第二，考虑到电子波函数展布的范围比晶格常数大得多，*晶格可视为均匀的连续介质， 可用介电常数来反映它对电子与缺陷相互作用的影响。于是，带一个单位正电荷的施主杂质与电子的库仑相互作用(2.3-19)4 r 0r*同样由于电子波函数展布的空间范围大， 这样的状态在k空间 的范围将明显小于布里渊区， 也即它的展开式将只包含k空间能带极值附近小范围内的布洛赫波。对各向同性，抛物线型的导带底(k=0),取和只对

5、小的k值就足够。而布洛赫函数中，具有晶格周期性的因子 Ua k,r，在k = 0附4 444近：虫 k,r ua 0,r 八 0,r作了这些近似后，被陷阱束缚的电子的 这种浅能级的波函数变为：i c k ua 0, r exp ik rk(2.3-20) =iS c(k )exp(ik r ) ”(0,r )三 F (r W (0,r)I k一上式定义了波函数的轮廓函数FF r 八 c k exp ik rk算符Ea -八 作用在这样的波函数上，得：Ea -h F r 0,r 八 Emexp Rm F r 0,rm八 EmF r Rm0,r RmmH4二 0,r Em expA F rm=0,

6、r Ea -h F r(2.3-21)利用上式，薛定谔方程变成：Ea(-浮)+U F(rl(0；)“(0；)Ea(-iW )+UF(?)=E = E 0,r F r(2.3-22)二边约掉因子o,r，方程即变为:Ea -hU F r 二 EF r(2.3-23 )原先方程中的 是空间快变化的函数， 现在的新方程是关于慢变化的轮廓函数F的方程。如果导带底具有各向同性的抛物线型结构,上述算子在导带底附近可近似为:_Ear UEc匚2*2m(2324)于是方程（2.3-23）变为:,22mF r = E牛 0rEc F r(2325)这一方程形式上与熟知的氢原子的薛定谔方程完全一致, 类氢模型。这一近似因而也称之为“类氢”是对波函数展开式的轮廓函数而言的。上述方程的解可以套用氢原子的薛定谔方程的解来得到。本征能为:E E：jn2 32e4m*2 z制21n2 2m a02(2326)也可写出相应的本征波函数。例如基态轮廓函数:F ?二 dexp - 质 I* Ia。(2327)其中a。f0mme ma。? a。匸,a。=0.053nm为氢原子玻