医用高等数学：D2_2求导法则

1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 解决求导问题的思路解决求导问题的思路: x xfxxf xf x )()( lim)( 0 ( 构造性定义 ) 求导法则求导法则 其它基本初等其它基本初等 函数求导公式函数求导公式 0 xcos x 1 ) (C ) sin(x ) ln(x 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题初等函数求导问题 本节内容 目录 上页 下页 返

2、回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 可导都在点及函数xxvvxuu)()( )()(xvxu及 )()( )()() 1 (xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu )( )()()()( )( )( )3( 2 xv xvxuxvxu xv xu )0)(xv 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: ) () 1uC ) ()2wvu u C wvuwvuwvu ) log()3x a a x ln ln axln 1 ( C为常数 ) 目录 上页 下页

3、 返回 结束 例例1. 解解: xsin4 1( 2 1 )1sin , )1sincos4( 3 xxxy. 1 x yy 及求 y )(x x )1sincos4( 2 1 3 xx x 2 3( xx) 1x y1cos4)1sin43( 1cos21sin 2 7 2 7 )1sincos4( 3 xx )1sincos4( 3 xx 目录 上页 下页 返回 结束 ) (cscx xsin 1 x 2 sin )(sinx x 2 sin 例例2. 求证,sec)(tan 2 xx 证证: .cotcsc)(cscxxx x x x cos sin )(tan x 2 cos xx c

4、os)(sin)(cossinxx x 2 cos x 2 cosx 2 sin x 2 sec xcos xxcotcsc 类似可证: ,csc)(cot 2 xx .tansec)(secxxx 目录 上页 下页 返回 结束 )( x f 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ,)()( 1 的反函数为设yfxxfy 在)( 1 yf 0 )( 1 yf且 d d x y 或 ,0 x )()(xfxxfy,0 x y y x ,00yx时必有 x y xf x 0 lim)

5、( lim 0 y y x y x d d 1 )( 1 yf 1 1 )( 1 yf 1 1 目录 上页 下页 返回 结束 1 例例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , ) 2 , 2 (y )(arcsinx )(siny ycos 1 y 2 sin1 1 2 1 1 x 类似可求得 ?)(arccosx , 1 1 )(arctan 2 x x 2 1 1 )arccot( x x 2 1 1 x xxarcsin 2 arccos 利用 0cosy , 则 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设, )1,0(aaay x 则

6、),0(,logyyx a )( x a )(log 1 y a 1 ayln 1 aylnaa x ln xx e)e( ) arcsin(x 2 1 1 x ) arccos(x 2 1 1 x ) arctan(x 2 1 1 x ) cotarc(x 2 1 1 x aaa xx ln)( xx e)e( 特别当ea时, 小结小结: 推论3) 目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导, lim 0 xx u x u uf )( x y x y x 0 lim d d 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )

7、(xg且 )()( d d xguf x y 在点 x 可导, 证证:)(ufy 在点 u 可导, 故 )(lim 0 uf u y u uuufy)(（当 时 )0u 0 故有 )()(xguf u y )(uf )0()( x x u x u uf x y 目录 上页 下页 返回 结束 例如,)(, )(, )(xvvuufy x y d d )()()(xvuf y u v x u y d d v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 目录 上页 下页 返回 结束 例例将下列复合函数“分解”为简单函数：

8、(1)sin();yabxc (2); 12kx a y 2 (3)lg(11 cos).yx 解解: (1)sin(),sin ,.yabxcyauubxc (2),12 ,. 12 v kx aa yyuvkx u 2 (3)lg(11 cos),lg ,1,yxyuuv 2 1,cos .vwwx 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数 2 2 1 (1)sin 1 y x 2 2sin (2)ln(tane) xx y 目录 上页 下页 返回 结束 解解 (1) 最外层是二次方，即 2 2 1 (1)sin 1 y x 2 yu sinuv 次

9、外层是正弦，即 从外向里第三层是幂函数 1 2 vw 2 1wx 最里层是多项式，即 所以，分解得 1 22 2 ,sin ,1yu uv vwwx 目录 上页 下页 返回 结束 2 2sin (2)ln(tane) xx y 最外层是对数，即 ln ,yu 次外层是正切，即 tanuv 从外向里第三层是指数函数，即 e w v 最里层是简单函数，即 2 2sinwxx 所以，分解得 2 ln ,tan ,e ,2sin w yu uv vwxx 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxx x 解解: (1)(e)( ln x x

10、xln e )ln(x x x 1 x )(e)( ln xxx x xx ln e)ln( xx x x)1ln(x(2) (3) 2 ee )(sh xx x 2 x e x e xch 说明说明: 类似可得 ;sh)(chxx axx a ln e )(thx)( x a x x x ch sh th 2 ee sh xx x ; ch 1 2 x .lnaa x 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设, )cos(eln x y 求 . d d x y 解解: x y d d )cos(e 1 x )sin(e( x x e )tan(ee xx 思考思考: 若)(u f 存在 ,

11、 如何求)cos(e(ln x f的导数? x f d d )( f ) )cos(e(ln x )cos(eln )( x u uf 这两个记号含义不同 )cos(eln x 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, )1(ln 2 xxy . y 求 解解: 1 1 2 xx y1 12 1 2 x x2 1 1 2 x 记, )1(lnarsh 2 xxx 则 ) (arsh x 1 1 2 x (反双曲正弦) 其它反双曲函数的导数看参考书自推. 2 ee sh xx x 的反函数 双曲正弦 目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本

12、初等函数的导数 (P95) ) (C0 ) ( x 1 x ) (sin xxcos ) (cosxxsin ) (tan xx 2 sec ) (cot xx 2 csc ) (secx xxtansec ) (cscxxxcotcsc ) ( x aaa x ln ) (e x x e ) (log x a axln 1 ) (ln x x 1 ) (arcsin x 2 1 1 x ) (arccosx 2 1 1 x ) (arctan x 2 1 1 x ) cot(arcx 2 1 1 x 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu ) ( uCu

13、C ) ( vuvuvu v u 2 v vuvu ( C为常数 ) )0( v 3. 复合函数求导法则 )(, )(xuufy x y d d )()(xuf 4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, ) (C0 ) (sin xxcos ) (ln x x 1 由定义证 , 说明说明: 最基本的公式 u y d d x u d d 其它公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求 解解: , 11 11 xx xx y. y 2 122 2 xx y1 2 xx 1 y 12 1 2 x )2( x 1 1 2 x

14、 x 例例8. 设),0( aaaxy xaa axa 解解: 1 a aa xayaa a x ln 1 a xa aa x a ln 求 . y aa x ln 先化简后求导 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求 解解: ,1arctane 2sin 2 xy x . y 1arctan)( 2 xy ) (e 2 sin x 2 sin e x2 cosxx2 2 1 x12 1 2 x x2 x21arctan 2 x 2 sin e x2 cosx 2 sin e x 1 1 2 xx 关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 设

15、求, 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 x x xy. y 解解: y 22 )1(1 1 2 1 x 2 1x x ) 11ln() 11ln( 22 xx 11 1 4 1 2 x 2 1x x 11 1 2 x 2 1x x 2 1 2 1 x x 2 2 1 x 2 1 x 23 1)2( 1 xxx 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 求导公式及求导法则 (见P95 P96) 注意注意: 1),)(vuuv v u v u 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 . 4 1 1 4 3 x 1. xx 1 4 3 1 x 思考与练习思考与

16、练习 对吗? 2 11 4 3 4 1 xx 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 , )()()(xaxxf其中)(x在ax 因 )()()()(xaxxxf 故)()(aaf ax afxf af ax )()( lim)( ax xax ax )()( lim )(limx ax )(a 正确解法: )(a f 时, 下列做法是否正确?在求 处连续, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求下列函数的导数 解解: (1) 1 b x a by 2 x a 1 b b x ba (2) y )(x .)2(,) 1 ( xb b a y x a y x b a b a ln x a b b a ln 或 x a b y a b a b x ln 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设),99()2)(1()(xxxxxf).0( f 求 解解: 方法方法1 利用导数定义. 0 )0()( lim)0( 0 x fxf f x )99()2)(1(lim 0 xxx x !99 方法方法2 利用求导公式. )(xf)(x x )99()2)(1( xxx )99()2)(1(xxx !99)0(f 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P 97 2