36数列和不等式的微积分证明

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持251第30讲:数列和不等式的微积分证明第30讲:数列和不等式的微积分证明选修2-2(人教版).第32页习题1.3B组第1(3)题：证明不等式ex1+x,x工0.近年来，流行以该不等式及其变形为 背景的数列不等式，记忆该不等式及其变形和如何赋值？是解决该类问题的关键；定积分源于求函数y=f(x)(f(x)0)的图像与直线x=a,x=b(ab)及x轴围成的曲边梯形的面积；其基本思想是：首先在区间a,b内取X1=a,X2,X3,x n=b(x 1X2Xn);则直线x=X2,x=x 3,x=x n-1把曲边梯形分成 n个小曲边梯形，用(Xi+

2、1-xJf(x i),或(X i+1 -X i)f(x i+1 )分别近似代替第i个小曲边梯形的面积n 1n 1,贝u (X1 X)f(x),或(Xi 1 X)f(X1)就近似于曲边梯形的面积i 1i 1f (X),且 lim n(X1i 1x)f(x)= limnn 1(X 1i 1X)f(X1)= ：f(x).n1易知,当f(x)单调递增时，(X11bn 1x)f(x)v f (x)dx 1+x.S 满足:nS n+1-(n+3)S n=0.始源问题：(2013年黄冈中学高三上学期期末考试题)在数列ad中,a 1=1,前n项和(I )求数列a n的通项公式；(n)求证：1虫 1巴a1a29

3、.an解析:(I )由 nSn+1-(n+3)S=0 n(Sn+1-S n)=3Snan+1=3Snnan+1-(n-1)a n=3(S n-Sn-1 )nan+1=(n+2)a nan 1(n 1)(n 2)ann(n 1)an=；n(n1)1(1a1an=n(n 1-寺=1 +丄anan1ean1 4a11a2a21anan182e 21ea1云；而丄+丄a1 a2+ 丄=2(1-丄)+an2)=2(1-)2a11a?a21anane21+x 可证明:(1+a 1)(1+a 2)(1+a n)v1原创问题:设数列an的前n项和Sn满足:a n+Sn=n+3-( )n-1.(I)求数列a n

4、的通项公式；(n )设数列a n的前n项积为Tn,求证:T n 9.解析：(I )当 n=1 时,ai+S=3a=S = 3 ；当 n2 时,由 a+S=n+3-(丄)n-12 2an-1 +Sh-1 =n+2-( )n2(a n-a n-1 ) + (S n-Sn-1 )=1+( 1 ) n1an=lan-1+l +( 1) n(an-1)= 1 (a n-1 -1)+(丄)2(日 n-1) = 2(日 n-1 -1)+12(an-1) = n2 2 2 2 2 2n-11an=1+ n( )n；21 1(n )令 bn=n( 1 )n,则 an=1+bn,且bn的前 n 项和 M=2-(n

5、+2)( -1 )n2 Tn=aa an=(1+bj(1+b 2)(1+bn) eb eb2ebn=eMe29.原创问题:设数列an的前n项和Sn满足:a n+S=n+2.(I)求数列a n的通项公式；252第30讲:数列和不等式的微积分证明(II)设数列a n的前n项积为Tn,求证:Tn 0ln(1+x)x ln(1 +1丄)+ln1+(2艸+ln1+( M)21 1 1 1 1+(2)n=1-(2)n1 Tn=(1+2)1+( 2)21+( 2)ne3.例2:对数不等式ln(1+x)2,n N+). n 1(I)求数列an的通项公式；(I)证明：对一切正整数n,不等式aaa“2x n!恒成

6、立.解析:(1)由an=瓯3nan 11 n 1n12+ _an 13上-仁an-1)an 1-1=-(an3n3n 1(I)因日1日2an2x n!3131 1323n3n12(1+3)(1 +132 1)(1 +1) 0ln(1+x)x(1+ A)+ln(1 +-)+ +ln(1 +1/ 1 n-111(3) )21+ _ +8 26占1-(I)n-3!32+1+丄+丄w8263633131 1323213n3n 12e1时,1an(a-利用该不等式，可以解决与此有关的求和不等式的上限问题关于数列an：an=1Pn(Pq1)an=13n 113( 3n 11)1an-131ana1(Rn-

7、1 =列)1311+ 3n 11 1+ 826(尹1(-)n 331 2311+ + 826(-)33773+ 一26P(pn 19)p2363般地，由1/ n 1、p( pq)1an-1Pana 1 (1 )n-1Pa1+a 2+ +a n1 2解析:(I)由 f(1)=1,f(-)=-a=b=1Xn+1=Xn11Xn 11 1=-( +1)2Xn1 11-1 =丄(丄-1)Xn 12Xn11丄-1=(-)Xn2Xn=2n 1 1(I )因 X1X2 Xn 丄2elnx 1+lnx 2+lnx n-(ln2+1)In 丄 +lnX111 11 1+lnln2+1;而 ln +ln + +ln

8、 =ln1 +x2xnX1x2xn5文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑44解析 :( I )由 Sn= 3 an-2n+ 3,4444a1=S=2;当 n2 时,a n=Sn-S n-1 =(an-2n+)-(an-1 -2n+2+)3333a =4a“ +6an=4n-2;(I)由 ln(1+ 丄)(1+ 丄)(1+丄)=ln(1 +a1a2an)+ln(1 +a2an a1a2anan 4(4n )2丄)+ln(1+ 丄) 丄 + 丄 +丄；而丄 =111 11 11112vv .()n+ + -v_n 14(42)4 an 1ana14a1a2an32(1+丄)ve 2.an

9、1 a;111211ln(1+ )(1+)(1+ ) -(1+- )(1+ -)31323n33132例3:对数不等式& Vn(1+x).始源问题:(2013年大纲卷高考试题)已知函数f(x)=ln(1+x)-X(1 X)1 X(I )若 x0 时,f(x)2.23 n4n解析:(I )因 f(0)=0,口沪 4；当1-2。，即i时，f(x)0f(x) 0f(x)f(0)=0.1综上，入的最小值=_ ;2(I)令入=丄，由(I )知，当x0时,f(x)ln(1+x)( 令 x=l)2(1 x)k2k 1 ln J =ln(k+1)-lnk2k(k 1)ka2n-a4n12(n 1)12(2n

10、1) 1+ +2(2n 1) 4n 2n(n 12(n1)(n2)2(2n 1) 2n1 t 2n + =ln(n+1)-lnn+ln(n+2)-ln(n+1)+ln(2n)-ln(2n-1)=ln(2n)-lnn=ln2.原创问题:设数列ad的前n项和Sn满足:S1=3,Sn=an+n2-1.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持(I)求数列a n的通项公式；(解析:(I )当 n 2 时,a n=Sn-Sn-1 =(a n+n-1)-a2n-1 -(n-1) -1 an-1=2n-1a“=2n+1;2n 1 2n 3丄)丄x 1222n1212n 1XnXn+1XnX4

11、nXn-X 4n0；1又由 Xn-X n+1=ln(1 +22 )- 1(ln(1+x)x)2n 1 2n 322n 12n 3 2n 112n 3Xn -X 4n = (X n-X n+1 )+(X n+1 -X n+2)+ +254第30讲:数列和不等式的微积分证明(X 4n-1 -X 4n)(1-1) + (1 -1)+ +(1-1)=2n 1 2n 3 2n 3 2n 52(4n 1) 1 2(4n 1) 3 2n 16n3 .8n(2n 1)(8n 1)原创问题:已知数列an和bn满足:a 1=b1,且对任意n 2,都有a+b=1.an 1bn1n )设数列 的前n项和为Tn,X n

12、=Tn-lnan ,证明:0X n-X 4nan7文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑解析 :( I )由 a1 = b1,a n+bn=1a=b = 2;又由 g2anbn1ananan 11an 1 an=丄+1丄=n+1an(n )由(I )知：an= !,故巴 + 竺 + + _a12 ln(1+n)bnn 4 鸟bn 1a1 + a2 +. + an b1bn丄+2 +2ln(1+n)1 +1ln(1+x)x 中,令 x= 得: n&ln(1+丄) 丄n n1ln(1+n)-lnnn 1-+- + + ln(1+n)-ln11 +23 n 12+1+231 11+ln(1+

13、n)0)的图象在点x(1,f(1)处的切线方程为y=x-1.(I )求数列an和bn的通项公式;bn 1(n )证明:竺+乜+2ln(1+n)lnx在1,+ g)上恒成立，求a的取值范围；1(m)证明:1+ 1 +-+1+ ln(n+1)+ n解析:(I )由 f(1)=0,(1)=1a+b+c=0,a-b=1b=a-1,c=1-2a;(n )令 g(x)=f(x)-lnx=ax+a 1+1-2a-lnx,xx 1,ag),则 g(1)=0, g (x)= (x-1)(x-X宁);当F1,即冋时,g(x)在(1, 口)上单调递减g(口)g(1)=oaaf()ln a ,不合题意；当 a 丄时,

14、g(x)在1,+ g) aaa2文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持上单调递增 g(x) g(1)=0f(x) lnx在1, g)上恒成立.故a的取值范围是1 ,+ g);21(山)由(n )知,当a=2时f(X)1/1k 1k11/k1 k lnx(x 1) lnx1); 令 x=,贝U ln _ (-)ln(k+1)-2 xkk 2 k k 111 1 1 1 lnk2ln(k+1)-lnk11111 + 12(ln2-ln1),_+22(ln3-ln2),2231 1,丄 + 丄 2ln(n+1)-lnn, n n 1以上不等式相加得1+2(卜31 -)+严阿1)1

15、+机+ln(n+1)+命(n 1).原创问题 :设正项数列an的前n项和Sn满足s= n(a； “ ,a 2=2.(I)求数列a n的通项公式；(n )设数列丄的前n项和为Tn,证明:T n+1-1lna n+13 时,a t1=S_St1-1= n(a。_1)(an 1_1_!(n-2)a n=(n-1)a 十1an = an 1 -1ann 1 n 2(n 2)( n 1) n 1an 1n 2=_(二an = a2 +( _aL -a2 )+ +( ann 13 23 13n 1冷=2-(1一*1 1 1 1+(2-3)+ +(7V)=2-(j丄)=丄n 1 n 1an=n;1 1k 1

16、k 1(n )由 lnx1); 令 x= _1 ,则 ln2 xkk1 1 1)ln(k+1)-lnk2ln(k+1)-lnk1 + - 2(ln2-ln1),- + 3 2(ln3-ln2),2231 1 11 1+2ln(n+1)-lnn,以上不等式相加得1+2( + + + )+n n 123 n1 12ln(n+1)1 + _ + + + 丄 ln(n+1)+ 二(n 1)1 + 1 + + + 丄 ln(n+1) lna n+1n 12 3 n2(n 1)2 3 n111ln(1+ 丄)1丄 ln(k+1)-lnkk k 1 k 11 1 1 1Tn+1-1=+_+ +_ + ln(

17、n+1)=lna 田23 n n 1Tn+1-1lna n+10对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；(n )证明：对任意正整数 m,n,不等式 1+ln(m 1) ln(m12)+1 n 恒成立.ln(m n) m( m n)1解析:(I )由 f(1)= -(1+a)(x)=a +x-(1+a)= -1 x2-(1+a)x+a=丄(x-1)(x-a)Xf min(X)=f(1) =1列1+a) o.故a的取值范围是1(-g，-;(n)由(I)知,当a二丄时,f(x)2丄lnxAW_ ln(m i) m(i=1,2,m)1 1 1+ + +ln( m 1) ln( m 2)ln( m

18、 n)1 1(rn-m )+(1 1 1 市齐)+(m n m(m n)例5:含n的求和不等式.14文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑彳11 12 1 n i o始源问题：(2010年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设对任意正整数n,都有:-il (石)+J (-) +(1 ()112n 1an1+ 八1 (n)1 % F)，则实数 a=-解析：令x呻(x)=J *1)，则 x+1-xv(n)2+r(:)2+j (nn1)2 =(x2-x1)f(x 1)+(x 3-X 2)f(x2)+(xn-xn-1 )f(X n-1 )；丄1+1(I)2 + ,1( 2)2+ + 1(_T_)21

19、 = (X1-0)f(0)+(X2-X 1 )f(X1)+(X3-X2)f(X2)+ n K n V nn+(x n-x n-1 )f(x n-1),所以，1 / ( )2 +(2)2 + + ；1)2a 丄1+J (-)2 + 1 G2)2 + + | 1 ) 2 n、nYn nnYnnf n11 22 2, n 1 2 b11 22 2n2朮J1匸+J1(n)+ +/ F) af(x)dx 2),非负数列ak满足:a “=0,a k+12=a-(k=0,1,2,n-1).256第30讲:数列和不等式的微积分证明Sn,若对任意正整数n,都有:S n-1anSn,求常数a的值.(I )求数列a

20、 k的通项公式；22 2k 1ak+1 -a k =- 2- n(n)设数列a k的所有项的和为ak2=aj+(a 22-a 12)+(a 32-a 22)+ +(a k2-a 耐 2)=a 12- 3+5+ +(2k-1)=a 12 nJ2(k2-1);由 a=0 a12- JL(n 2-1)=0 a= ：1 丄 n2n2 n2ak2=(1- )- (k2-1)=1-与ak= 1 k：n nnn2(n )由 S-1vanSn.1 (!)2 +J1n石 + JTZanv1 +nn n2 + .1 (n 1)2n-J1 (丄)2 + n . n+ J )2 0.(l) 求a的值；(n )若对任意

21、的x匕0,+ 3),有f(x) kx2成立，求实数k的最小值；n 2(m)证明：ln(2n+1)00 f(x) 0;又因 f(x) kx2 x-kx 2 ln(x+1)(函数 y=x-kx 2与 y=ln(x+1)均过点 0(0,0),只需函数y=x-kx2在(0,丄)内单调递增的速度不大于y=ln(x+1)的单调递增速度) 当x (0, 1 )时,1-2kx 1 2k 1k的最小值=丄(本解法为作者给出);2 k2(m)考虑到 F(x)=ln(2x-1)的导函数 f(x)=- 单调递增，作分点 Xi=i(i=1,2,3,n),则(x 2-x 1 )f(x 2)+(x 3-x 2)f(x 3)

22、+ 2x 1+(X n-X n-1 )f(X n)； f (x)dXn 2i 2 2TiF(n)-F(1)=ln(2n-1)n 2=2+ _ 2+ln(2n-1)2+ln(2n+1)i 221n 2i i2T1-ln(2n+1)2.n本题充分体现了 m(n) f(i)ln(n-1)+(n 2).an2(n 1)解析:(I )由 2Sn=an2+n2S=a+1a1=1;当 nA2 时,2a n=2Sn-2Sn-1 =(a n +n)-(a n-1 +n-1)(a n-1) =an-1a“-1=an-1;n-当 an-1=-a n-1 时,a 2n-1 =1,a 2n=0,不符合题意;当 an-1

23、=a n-1 时,a n=n;(n )考虑到F(x)=lnx的导函数f(x)= 1单调递增，作分点Xi=i(i=1,2,3,n+1),则(x 2-x 1) f(X1)住2)X+(X3-X 2)+ +(X n+1-Xn)f(Xn) f(Xn1) n1f(x)dx盹d+f(x 2)+ +f(x n)- f(X1)f(Xn ln(n+1)Tn=f(X 1)+f(X2)+ +f(X n)ln(n+1)+;而 ln(n+1)+ n 2 ln(n-1)+2(n 1)2(n 1)矿气 ln(1+-)-(令 x=1 +二2(n 1) n 1 n 1n 1(1,3丄=丄-丄)n 12 2x257lnx 1 -丄

24、 lnx+ 丄-丄 0;令 g(x)=lnx+ -丄2 2x2x 22x 2g(x)=0g(x)g(1) = 0;故 Tnln(n-1)+ 命第30讲:数列和不等式的微积分证明例7:递推求和不等式.始源问题:(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)数列中，已知 a1 (1,2),a n+1=an3-3an2+3an,n N,求证:解析:由 an+1=an -3a n +3a“an+1- 1=(a n-1),令 bn=a“-1b1=a1-1 (0,1),bn+1=bn3 (0,1),且 bn+1-b n = bn3-b n=bn(b n+1)(b n-1)0b+1bn,(an-an+1)(a

25、n+2-1)=(bn-b n+1 )bn+2=(bn-bn+1 )f(b n+1 ),其中 f(X)=X ,所以,(a1-a2)(a3-1) + (a2-a3)(a4-1)+ * (an-an+1 )(a n+2-1) 0f (x)dx=F(1)-F(0)=1 .其中 F(x)= 1 x4.nn本题给出了关于(ai ai 1)ai 2、(ai 1 ai)aii 1i 12型上、下界问题的定积分解决，该解法具有通性.原创问题:已知函数 f(x)=x-ln(x+1),x (0,1),数列an满足:a 1=a (0,1),an+1=f(a n).(I )求证:0a n+1 an1;、 1(n )求证

26、:(a 1-a2)a3+(a 2-a3)a4+(an-a n+1)a n+20 f(x)在区间(0,1)1 x内单调递增f(x)值域为(f(0),f(1)=(0,1-ln2)(0,1);又因 f(x)-x=-ln(x+1)00f(x)x10f(a 1)a110a2a110an+1 an1;(n )考虑到 F(x)= 1x2+x-(x+1)ln(x+1)的导函数 f(x)=x-ln(x+1) 单调递增，作分点 Xi =a(i=1,2,3,n+1),则(a i-a2)a3+2(a 2-a 3)a 4 (a n-a n+1 )a n+2=(a 1-a 2)f(a2)+(a 生a 3)f(a 3)+

27、+(a n-a n+1 )f(an+1) 0f (x)dx=F(1)-F(0)=f -ln40,如图，己知直线 l:y=ax 及曲线C:y=x2,C上的点Q的横坐标为 a(0a1 1)作直线平行于x轴,交直线l于点Pn+1,再从点 Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q+1,Qn(n=1,2,3,)的横 坐标构成数列a n.Q(I)试求an+1与an的关系，并求an的通项公式；O1 n1(n )当 a=1,a1 -时，证明： 何 ak1)ak+2 ;2 k 132n1(山)当 a=1 时，证明：(ak ak1)ak+2_.k 13解析:(I )由Q的横坐标=anQ(a n,a n2)P+1

28、( an ,aa2)Q+1(丄 a2,(2 an2)2)a aa = 1n+1lga n+1=2lga n-lgalga n+1-lga=2(lga n-lga)n 1a 彳 Qn 1lga n-lga=(lga 1-lga) x 2an=a( )2a(n )当a=1时，考虑到F(x)= 1x3的导函数f(x)=x 2单调递增，作分点Xi=a(i=1,2,3, 3n,n+1),贝U(ak ak 1) ak+2=(a1-a2)a3+k 1(akk 2ak !) f(a k+1)v(a 1-a 2)a 3+ a f (x)dx =(a 1-a 2)a3+F(a2)-F(0)=(a1-a 2)a3+

29、1a23=- 2336+a15 ?(丄)6+(3 2 2)5=2258第30讲数列和不等式的微积分证明nn13131(山)(ak ak J ak+2=(ak ak 1) f(a k+Jv 01f(x)dx= Q 1)作直线平行于x轴，交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q+1,Qn(n=1,2,3,)的横坐标构成数列an.(I )试求an+1与an的关系式；(n )当 a=1,f(x)=2 x-1,a 1 (0,1)时,求证:(i) 0a n+1 an1；ne(ii) (ak ak 1) ak+2log 2k 12解析:(I )由 Q 的横坐标=an Q(an,f(an