概率论与数理统计习题及答案习题二

1、习题二3只，以X表示取出的3只1一袋中有5只乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，在其中同时取 球中的最大号码，写出随机变量 X的分布律.【解】X =3,4,51P(X =3H-y =0-1C53P(X =4-3 =0-3C5C2P(X =5)=朮= 0.6C5故所求分布律为X345P0.10.30.62设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；（3）1 33PX , P1 ： X , P1 乞 X , P1 ： X : 2.2 22【解】X =0,1,2.2235C3P(X

2、 =0) 丁C15P(X=1)=1235P(Xc；C3 c35丄35故X的分布律为X012P22121353535(2)当 x0 时，F (x) =P (X x) =0当0 x1时，F (x) =P (XW x)22=P(X=0)=35当 1 w x2 时，F (x) =P (Xwx) =1x：00 _x ： 11 _ x ： 2x_2故X的分布函数0,22F(x)3534351,1 122P(XHFH),2 23534 34 门035 353、3 3P(： X ) = F(：)-F(1)223 312P(1 冬 X ) = P(X =1)P(1 ： X )=2235341P(1XF F一 P

3、(X=2)八茴云73射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为 0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中 2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.P(X = 0) = (0.2)3 = 0.008P(X =1) = C；0.8(0.2)2 =0.096P(X =2)=c3(0.8)20.2=0.3843P(X=3)=(0.8) -0.512故x的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,x c00.008,0兰x1F(x) = 0.104,1Wxc20.488,2 兰 x31, x3P(X 2) = P

4、(X =2) P(X =3) =0.8964.（ 1）设随机变量X的分布律为PX=k= a -,k!其中k=0, 1, 2,，入0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X的分布律为P X=k= a/N，k=1，2，,N，试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知k1 八 P(X =k) =aaz7 k!故a = e_,(2)由分布律的性质知1 a1 =為 P(X =k)ak=1k 4 N即a=1.5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1) 两人投中次数相等的概率；(2) 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，贝UXb (3，0.6) Yb

5、(3,0.7)(1) P(X 二Y)二 P(X =0,Y =0) P(X =1,Y =1) P(X =2,Y =2)P(X =3,Y =3)331212-(0.4) (0.3)C30.6(0.4) C30.7(0.3) +C3(0.6)20.4C2(0.7)20.3 (0.6)3(0.7)3=0.32076(2) P(X Y)二 P(X =1,Y =0) P(X =2,Y =0) P(X =3,Y =0)P(X =2,Y =1) P(X =3,Y =1) P(X =3,Y =2)二 C；0.6(0.4)2(0.3)3 C2(0.6)20.4(0.3)3332212(0.6) (0.3) C3(

6、0.6) 0.4C30.7(0.3)(0.6)3C；0.7(0.3)2(0.6)3c3(0.7)20.3=0.2436设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02)，设机场需配备 N条跑道，则有P(X N) 9故机场至少应配备 9条跑道.7有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1

7、000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)？【解】设X表示出事故的次数，则Xb (1000, 0.0001)P(X _2) =1 - P(X =0) -P(X =1)8已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1= PX=2，求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则14223C5P(-P)二C5P (1- P)故所以P(X =4)=C：(1)4233102439设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号(1) 进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2) 进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解

8、】(1)设X表示5次独立试验中 A发生的次数，则 X6 ( 5, 0.3)5 kk5 _kP(X 工3)=送 C：(0.3)k(0.7)= 0.16308k=3 令Y表示7次独立试验中 A发生的次数，则 Yb ( 7，0.3)7P(Y3)=送 Ck(0.3)k(0.7) 1=0.35293k =310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2) t的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计)(1)(2)【解】(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.3P(X =0)5(2) P(X _1) =1 P

9、(X =0) =1 -e_211.设 PX=k= C2pk(1 P)2,k=0,1,2m=0,1,2,3,4mm4 _mPY= m= C4 p (1p)5分别为随机变量 X, Y的概率分布，如果已知 PX 1=，试求P Y 1.954【解】因为P(X _1) ，故P(X ：1)=99故得从而P(X :：: 1) = P(X =0)(仆亡1g.P(Y _1)=1 _P(Y =0) =1_(1_ p)4= (1-p)2650.80247810.001,试求在这 2000册书中12.某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为 恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则

10、Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算， - np = 2000 0.001 = 25P(x.00183 113.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X的分布律，并计算 X取偶数的概率.【解】X =1,2,k,l|P(X =k) =(1)kJ4P(X =2) P(X =4)|l P(X =2k)|lJ (丄)3?.()2心3 .4 44 44414有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从 保险公司领取2000

11、元赔偿金求：(1) 保险公司亏本的概率；(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日，保险公司总收入为 2500 X 12=30000元. 设1年中死亡人数为 X,则Xb(2500,0.002)，则所求概率为P(2000X 30000) =P(X 15) =1 - P(X 乞14)由于n很大，p很小，入=np=5,故用泊松近似，有；4 e5kP(X 15) ： 10.000069z k!(2) P(保险公司获利不少于 10000)= P(30000 -2000X _ 10000) =P(X 10)10-5 ke 50.98630

12、5k z0 k !即保险公司获利不少于 10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000 -2000X 一 20000) = P(X 乞 5)5 e5k0.615961k =0 k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量 X的密度函数为lx|f(x)=Ae ,-8 x+ ,求：(1) A 值；(2) P0 XO 时，F(x)=e*dx =2彳1 - =1 e2当 xO 时，F (x)=x1丄eXi 2eF(x)=21一丄x_02X ：: 016设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命暉 x_100,xx : 100.在

13、开始150小时内没有电子管损坏的概率；在这段时间内有一只电子管损坏的概率；F（ x）.X的密度函数为f(x)=0,求: (1)(2)(3) 【解】(1)P1 二P(X 150)3150 100吨)dx 二1.3827 p2=c31(|)23 3当 x 100 时 F(x) = .J(t)dt100,.:：f(t)dt心 100t2100F(x)A罟x _100f (x) = J7、0,其他故当xa 时，F (x) =1即分布函数0, x 017.在区间0, a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0, a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意

14、知X U 0,a，密度函数为1,0 _ x _ a0,X ：: 0xF(x) =-,la1,18设随机变量X在2 ,值大于3的概率【解】XU2,5，即5上服从均匀分布现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测卩f(x)= 3i0,2_x_5其他P(X 3)=Tdx上333故所求概率为PV(|)2120327119设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗口5等待服务，若超过10分钟他就离开他一个月要到银行 5次，以Y表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，1【解】依题意知X E(g，即其密度函数为并求 PY 1.f(x)=1_x-e

15、55e.0,x _0该顾客未等到服务而离开的概率为:1P(X 10H 10-ex5dx 二 e2Yb(5,e冷，即其分布律为P(Y 二k) =Ck(eBk(1e)5*,k=0,1,2,3,4,5P(Y 一1)=1 -P(Y = 0) =1 -(1-e)5 =0.516720某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N (40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N (50, 42) (1) 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2) 又若离火车开车时间只有 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第

16、一条路，XN (40, 102),则P(X ：60) =P 140 : 60 一40(2) =0.97727I 1010 丿若走第二条路，XN ( 50, 42),则吕(2.5) =0.9938+故走第二条路乘上火车的把握大些(2)若 XN(40，102)，则X -40P(X P 甘45 40(0.5) =0.691510若 XN ( 50 , 42),则P(X 5)=P 匸嬰3”4= ： ：(-1.25)=1 -门(1.25) =0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些21设 XN(3，22),(1) 求 P2X 5, P4X c= PX 2, PX 3;i2 3【解】(1)P(2 ： X

17、 _5) =PX -32=：G (1)_住=：G (1)_1 门= 0.8413 -1 0.6915 =0.5328，4 _ 3P(4 ： X 辽10) =PX -3006 丿=1 -门(2)亠尬(一2) =21-门(2)= 0.045623工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N( 160, 2),若要求P120 v X 2000.8,允许2最大不超过多少？【解】P(120 ： X _200) =PX -160 3;(3) 求分布密度f (x).【解】(1) 由gmF(x1得严xim.FgpmFglB-1(2) P(X 乞2) =F(2) h -e，P(X 3) =1 _F(3)h _(

18、1_eA) 2f(x) =F 0)=叫、尹0,x_0x ： 00 乞 x ,1 x ： 2,其他.25设随机变量X的概率密度为f (x) = 2 - x,丨0,求X的分布函数F (x),并画出f (x)及F (x).【解】当x0时F (x) =0x0x当 owx1 时 F(x)；f(t)dt；f(t)dt 0 f(t)dt2xxtdt =02当 1 wx2 时 F (x) f (t)dt = 1-odF(x)0,x ： 02x2x -1,21,x _226.设随机变量X的密度函数为(1) f(x)=ae_|x|,入 0；f(x)=bx,10 ： x : 1,试确定常数【解】(1)由2 x0,1

19、 0 时 F(x) = J f(x)dx=J edx+一eFdx20 2十lex2r 1.1一厂二 xaO2 F(x)=2一 e,x 兰02co12 1b 1(2)由 1 f(x)dx bxdx 2dx 二 G0 x22 2得b=1即X的密度函数为x, 0 ex v11f (x)2 , 1 _ x ： 2| x2 0, 其他当 x 0 时 F ( x) =0x0x当 0x1 时 F(x)二 f(x)dx 二 f(x)dx 亠！ f (x)dx0Xoxdx当 1W x 2 时 F (X)=1 故其分布函数为0,2XF(x)232 x1,x _227求标准正态分布的上分位点,=0.01，求 z ;

20、(2):=0.003，求 z： , z：./2.【解】(1)P(X zj -0.011 -G (z-.) =0.01门(zJ =0.09故z33(2)由 P(X 乙.)=O.O。3 得1 -门(z：.) =0.003即（乙）=0.997查表得z 二 2.75a由 P(X z：./2)=0.0015得1 一门(z./2)=0.0015人(z,/2) = 0.9985查表得28设随机变量X的分布律为XPk-21/5-101/61/511/15311/30求Y=X2的分布律【解】Y可取的值为0, 1 , 4, 9P(Y=0) = P(X =0)=丄5P(Yh) = P(X =1) P(X117_1

21、61530P(Y=4)P(Y=9)1= P(X 一2)：511-P(X =3)：30故Y的分布律为丫1,当X取偶数时1-1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律解 P(Y =1) = P(X =2) P(X =4) Hl P(X =2k) Iz 1 2“1、4, ,“ 1 、2k ,=(2(2)川(2)川111=()/(1 )=4 43P(Y =1) = 1 P(Y =1) = 23 30设 XN (0, 1).(1) 求Y=eX的概率密度；(2) 求Y=2X2+1的概率密度；(3) 求Y= | X |的概率密度【解】(1)当 yw 0 时，FY(y)二 P(Y 空 y) =0当 y0

22、时，FY(y)二 P(Y 空 y)二 P(e y)二 P(X 乞 In y)In y： fx(x)dxfY ( y)-dFY(y)dy1fx(ln y)=y11_ln2y/2八2 n,y 0(2) P(Y =2X2 1 _1) =1当 yw 1 时 FY(y)二 P(Y 1 时 FY(y)二 P(Y 空 y)二 P(2X21 乞 y)PX2咛 X 0 时 FY(y)二 P(| X 匡 y)二 P( y 乞 y)y=Jfx (x)dx故 fY(y)：FY(y)= fx(y)fx(-y)dy31. 设随机变量xu( 0,1),试求：(1) Y=ex的分布函数及密度函数；(2) Z= 21 nX的分

23、布函数及密度函数【解】(1)P(0 ：X 1) =1x故 p( 1 ： 丫 = e ： e) 1当 y _1 时 FY(y) =P(Y 乞 y) =0 当 1ye 时 FY(y) =P(ex 乞 y) =p(x 乞 In y)ln ydx = In y0当 ye 时 FY(y)二 P(ex _ y) =1即分布函数0, 八1R(y) n y, 1 y ey亠e1 ： y e其他1-故Y的密度函数为Z1_fY(y)二 y,(2) 由 P ( 0x0 时，FZ(z) =P(Z 乞 z) =p(2ln X Ez)= P(In X 乞 _自=P(X _e)1=edx =1 _e即分布函数故Z的密度函数

24、为32. 设随机变量X的密度函数为0,Fz( 1-e-z/2fz(z) = 2i0,2xf(x)= n【0,zOz 0z - 0z00 ： x n其他.试求Y=sinX的密度函数【解】P(0 : Y .,1) =1当yw 0时,FY(y) =P(Y 曲)=0当0y 22即随机数字序列至少要有22个数字。36.已知0,1x 21,x : 0,10 二 x ,2x 一1.2则F(A)(C)(乂)是(连续型；非连续亦非离散型)随机变量的分布函数(B )离散型;【解】因为F(x)在(4,+上单调不减右连续，且xLmF(x)=oF(x) =1,所以F (X)是一个分布函数。limx J-：:但是F( x

25、)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F ( x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37.设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间a,b等于(A)0, n /2;(C)-n2,o；(B) 0, n ;3(D) 0,二 n.2n【解】在0,寸上在0, n上n/2sinx0,且 0 sinxdx=1.故 f(x)是密度函数。nsin xdx = 2 = 1.故f(x)不是密度函数。0亠 n在匕,。 上sinx_0,故f(x)不是密度函数。3在0三n上，当故选(A)。38设随机变量 XN (0,3n ：n时，sinx0) =1，故

26、01 七宓1，即 P( 0Y1)=1当 yw 0 时，Fy (y) =0当 y1 时，Fy (y) =12x当 0y1 时，FY(y) =P(Y Ey) =P(e - 1 一 y)1二 P(x 2n( 1-y)1_2ln(1_2 x2 2e dx 二 y0即Y的密度函数为11,0 ： y ： 1fY(y)= 0,其他即 YU (0, 1)41.设随机变量X的密度函数为f(x)= “13,290,Qx k=2/3，求k的取值范围.1P (X k) =_ 知3k0,P(Xk)=0131 w kw 3 时 P (Xk)=3kw 6，贝U P (Xk)=13,k221dx dx k -33 9931

27、1 . dx 0dx 二- 0 311030 kw 1,P(Xk)=k 1 , -dx 0 3t 亠 1当 k=1 时 P (X6,则 P (Xk) =1故只有当1w kw 3时满足42设随机变量X的分布函数为F(x)=0,0.4,0.8,1,x ： -1,-1 _ x ： 1,1 1)知 P (X=0) = (1 -p) 3= I2727故p=-344.若随机变量X在(1 , 6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+仁0有实根的概率是多少?【解】f(x)= 5【0,1 ： x :： 6其他24P(X2 -4 _0) =P(X _2) P(X 乞 -2) = P(X _2)=545若随机变量 X

28、N (2, /),且 P2X4=0.3，则PX0=.22 X 24 2【解】0.3=P(2 ：X ： 4) =P()i crcr-：启)_G(0)八 (2) -0.5acr2故(一)=0.8CTX 2 022因此P(X ：0) = P( : )- ：(_ )aacr2=1 -(一)=0.2()从而 XN (72, 122)故 P(60 乞X 岂84) =P-() = 0.977I 121212 丿=0.68248在电源电压不超过 200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2 (假设电源电压 X服从正态分布 N( 220，252).试求：(1)该电子元件损坏的概率a ；(2)该电子元