计量经济学第五章

1、1 第五章第五章 扩展的单方程模型扩展的单方程模型 第一节第一节 变参数单方程模型变参数单方程模型 第二节第二节 非线性单方程模型非线性单方程模型 第三节第三节 非因果关系的单方程模非因果关系的单方程模 型型 2 第一节第一节 变参数单方程模型变参数单方程模型 v确定性变参数模型确定性变参数模型 v随机变参数模型随机变参数模型 3 基本概念 v 常参数模型 v认为参数，在样本期内是常数 v即认为产生样本观测值的经济结构保持不变， 解释变量对被解释变量的影响保持不变 变参数模型 v将参数，作为变量 v nixy iii , 2 , 1 nixy iiiii , 2 , 1 4 确定性变参数模型确

2、定性变参数模型 v确定性变参数模型 参数i，i是确定性变量，而不是随机变量 v类型 参数随某一变量呈规律性变化 参数作间断性变化 nixy iiiii , 2 , 1 5 确定性变参数模型（续确定性变参数模型（续1 1） v参数随某一变量呈规律性变化 v参数 是常数 vp 往往是一个政策变量，表示由于政策的变化改 变了解释变量对被解释变量的影响程度 代入原模型得 v 采用OLS估计，得到参数估计值 v因为p为确定性变量，与随机误差项不相关 通过检验 是否显著为0来检验变量p是 否对 有影响 ii ii p p 10 10 1100 ， iiiiii xpxpy 1010 1100 ， ， 11

3、 ， 6 确定性变参数模型（续确定性变参数模型（续2 2） v参数作间断变化 v参数在 n0 处发生了突发性变化 v实际中往往表示某项政策的实施所产生的影响 模型的估计 1 01 0 0 10 10 i i ii ii pnin pni p p 当 7 随机变参数模型随机变参数模型 v随机变参数模型 参数i，i不仅是变量，而且是随机变量 v类型 参数在一常数附近随机变化（类型一） 参数随某一变量作规律性变化，同时受随机 因素影响（类型二） 自适应回归模型（类型三） nixy iiiii , 2 , 1 8 随机变参数模型（续随机变参数模型（续1 1） v类型一 v其中， 为具有0均值的随机项

4、则： v其中： v显然模型具有异方差性，则可采用第四章中介绍 的相关方法很方便的对参数进行估计 iiii ii ， iii xy 22 2 22 2 2 2 var 0 0 iiiii iiiii iiiiiiii iiiiii xxEEE xE xxxExE Ex 9 随机变参数模型（续随机变参数模型（续2 2） v类型二 v其中， 为具有0均值的随机项 则： v容易导出，上式是具有异方差性的多元线性模型， 同样可采用第四章中介绍的估计方法方便的对参数 进行估计 iiiiii pp iiiiiiiii xxpxpy ii ， 10 随机变参数模型（续随机变参数模型（续3 3） v类型三 形式

5、一 v模型 中的参数 可 以表示为 则称该模型为自适应回归模型 它是由影响 的变量具有一阶自相关所引起的 v例如：模型是一个消费方程， 表示自发性消费 （即收入等于0时的消费水平），国家的消费政策 （刺激、鼓励、一般或抑制的政策）使得自发性 消费是一个随机变量，而国家的消费政策往往具 有一阶自相关性，引起自发性消费也具有一阶自 相关性 nixy iiiii , 2 , 1 i 2 11 var0 ii iiii E i i 11 随机变参数模型（续随机变参数模型（续4 4） v类型三 形式二 v模型中的参数可表示为 v例如，在消费方程中 表示边际消费倾向，在生 产方程中 表示某种投入要素的产出

6、弹性，而影 响边际消费倾向的利率、影响投入要素产出弹性 的投入要素的比例，都具有一阶自相关性，则导 致 具有一阶自相关性 2 11 var0 ii iiii E i i i 12 第二节第二节 非线性单方程模型非线性单方程模型 v模型概述模型概述 v非线性最小二乘法非线性最小二乘法 13 模型概述模型概述 v解释变量非线性模型 一般都可以化为线性模型 v可化为线性的包含参数非线性的模型 对数线性模型(Cobb-Dauglass生产函数模型) v 其他几种通过变换可化为线性的非线性模型 lnlnlnlnln LKAQ LAKQ 14 模型概述（续）模型概述（续） v不可化为线性的包含参数非线性的

7、模型 一般表达式 v f 为非线性函数，n 为样本容量 是真正的非线性模型 niXfy iii , 2 , 1, ppiiii xxxX, 2121 15 非线性最小二乘法（非线性最小二乘法（NLS） v非线性最小二乘原理 vGauss-Newton迭代法 vNewton-Raphson迭代法 vGauss-Seidel迭代法 v实例 16 非线性最小二乘原理 v非线性模型 单参数非线性模型 v v残差平方和 多参数非线性模型 v v残差平方和 ,XfY , , , 1 2 XfYXfY XfyS n i ii iii xfy, n i ii xfyS 1 2 , 17 非线性最小二乘原理（续

8、） v非线性最小二乘法 使得残差平方和达到最小的 为的非线性最 小二乘估计 求解 通常是令残差平方和对的偏导等于零 v单参数非线性模型 v多参数非线性模型 0 , , XfYXf 0 , , 1 d xdf xfy i n i ii 18 Gauss-Newton迭代法 v原理 根据经验给出参数估计值 的初值 将 在 处展开泰勒级数，取一阶近似值 v 令 ，则 0 , i xf 0 00 , , , 0 d xdf xfxf i ii 0 0 , d xdf z i i , d xdf z i i 19 Gauss-Newton迭代法（续1） v原理（续1） 代入残差平方和式 v 其中： 假设

9、有一线性模型 v v易求出其参数 的普通最小二乘估计值 ，该 估计值使得残差平方和式最小 1 , 1 2 00 1 2 000 n i ii n i iii zy zxfyS 0000 , iiii zxfyy 2 00iii zy n i ii zyS 1 2 1001 1 20 Gauss-Newton迭代法（续2） v原理（续2） 则估计值 同时也是使(1)式达到最小的 v即线性模型(2)(线性伪模型)的OLS估计值就是原非 线性模型的一个近似估计值 v将 作为参数估计值 的第一次迭代值 将 作为 的新的给定值，如前所述进行迭 代，直至收敛 v即连续两次得到的参数估计值之差满足确定的标准

10、 至此完成非线性模型的OLS估计 1 1 1 21 Gauss-Newton迭代法（续3） v步骤 给出参数估计值 的初值 ，将 在 处展开泰勒级数，取一阶近似值 计算 和 的样本观测值 采用OLS估计模型 ，得到 的估 计值 用 代替第一步中的 ，重复这一过程， 直至收敛 0 , i xf 0 0 0 , d xdf z i i 00 , iiii zxfyy iii zy 1 1 0 22 Newton-Raphson迭代法 v原理 作为Gauss-Newton迭代法的改进 当给出参数估计值 的初值 ，将残差平方 和式在 处展开泰勒级数，取二阶近似值 v 使得上式达到极小的条件为 v 0

11、0 2 0 2 2 00 2 1 00 d Sd d dS SS 0 d dS 23 Newton-Raphson迭代法（续1） v原理（续） 即： 则有： 将上式估计值作为第一次迭代值 ，再进行 上述迭代，直至收敛 00 1 2 2 0 d dS d Sd 0 0 2 2 00 d Sd d dS d dS 1 24 Newton-Raphson迭代法（续2） v与Gauss-Newton迭代法的区别 直接对 展开泰勒级数，而不是对其中的 展开 取二阶近似值，而非取一阶近似值 v注意 为保证迭代所逼进的是总体极小值（即最小 值）而不是局部极小值，需要选择不同的初 值，进行多次迭代求解 Gau

12、ss-Newton迭代法亦同 S , i xf 25 Gauss-Seidel迭代法 v迭代停止遵循的法则 基于回归函数或参数在每次迭代后的变化率 v当待估参数的变化百分比的最大值小于事先给定的 水平时，就会停止迭代 v未达到收敛却停止迭代的原因 迭代次数已经达到了给定的次数 v应重新设定迭代次数以取得收敛 经过一定迭代后，发出显示失败的错误信息 v可选取不同的参数初始值，从不同方向逼近估计值 26 实例 v例5-1粮食产量(Y：万吨)通常是由粮食 生产劳动力(L：万人)、化肥施用量(K： 万公斤)等因素决定的。下表是我国粮食 生产的有关数据(由于粮食生产劳动力不 易统计，假定它在农业劳动力中

13、的比例 是一定的，故用农业劳动力的数据代替)， 研究其间关系，建立Cobb-Douglas生产 函数模型 Cobb-Douglas生产函数模型为 v 1 KLY 27 实例（续） v估计结果 取初始值c(1)=c(2)=0.5，估计结果如下 v 从参数估计值看 v=0.7636，其经济意义为劳动力对产量的弹性 系数，即当劳动力增长1%时，粮食总产量增加 0.7624% v对化肥施用量而言，弹性为0.2364 v从弹性系数的比较来看，劳动力弹性大于化肥施 用量弹性，反映出它在粮食生产中的贡献较大 2364. 07636. 0 4743. 0KLy 28 第三节第三节 非因果关系的非因果关系的 单

14、方程模型单方程模型 v增长曲线模型增长曲线模型 v多项式增长曲线模型多项式增长曲线模型 v简单指数型增长曲线模型简单指数型增长曲线模型 v修正指数型增长曲线模型修正指数型增长曲线模型 vLogistic增长曲线模型增长曲线模型 vGompertz增长曲线模型增长曲线模型 29 增长曲线模型增长曲线模型 v增长曲线模型 描述经济变量随时间变化的规律 从已经发生的经济活动中寻找这种规律，并 用于未来的经济预测 不属于因果关系模型 v时间并不是经济活动变化的原因 v类别 多项式增长曲线模型 简单指数型增长曲线模型 修正指数型增长曲线模型 Logistic增长曲线模型 Gompertz增长曲线模型 3

15、0 多项式增长曲线模型多项式增长曲线模型 v一般数学形式 vyt：第t期的某个经济指标；t：时间 va0，a1，ak：模型参数 常见形式 vk=0，增长曲线为一条与时间轴平行的直线 vk=1，增长曲线为一条截距为a0 ，斜率为a1的直线 vk=2，增长曲线为一条抛物线 v参数估计方法 采用变量置换法将模型化为线性进行估计 k kt tatataay 2 210 31 简单指数型增长曲线模型简单指数型增长曲线模型 v一般形式 v当a0、b1时，y 随着t 的增加而无限制的增大 v当a0、0b0、b1时， y 随着t 的减少直至-而逼近于L v当a0、0b1时，y 随着t 的增加直至+而趋向于L

16、描述初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终以L为增长 极限的现象 v参数估计方法 线性化估计 “三和法”估计 非线性估计 t t abLy 33 Logistic增长曲线增长曲线 vLogistic增长曲线 俗称“S曲线”，Verhulst于1845年提 出 当时主要目的是模拟人口的增长 v一般形式 广义: v 狭义： t t e L y 1 k kt atataat 2 210 bt t ae L y 1 34 Logistic增长曲线（增长曲线（续续1 1） v特点 y随着t 的增加直至+ 而趋向于L，L即为y 的饱和值；反之，当t - 时，y 0 增长曲线具有一个拐点 v拐点之前，y的增

17、长速度越来越快 v拐点之后，y的增长速度越来越慢，逐渐趋近于0 v应用 描述初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到 一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近 一条水平线的现象 v常用于描述事物发展由萌芽、成长到饱和的状态 v例如，一种新产品、新技术的普及率，一种耐用 品的存量 35 Logistic增长曲线（增长曲线（续续2 2） v参数估计方法 线性化估计 v将模型线性化 v用线性模型的参数估计方法估计其参数 “三和法”估计 v是增长曲线模型的一种代数估计方法 非线性估计 v采用非线性最小二乘法即可直接估计模型 36 Gompertz增长曲线模型增长曲线模型 vGompertz增长曲线模型 由B.

18、 Gompertz于1825年提出 一般形式 v L、a、b为待估参数 特点 vL为y的上限逼近值，0为y的下限逼近值 v与Logistic增长曲线相似 二者的拐点的位置不同 v具有广泛的适用性 t b t Lay 37 Gompertz增长曲线模型（续）增长曲线模型（续） v参数估计方法 线性化估计 v “三和法”估计 v 非线性估计 bta L y a L y t b t t lnlnlnlnln abLy t t lnlnln 38 模型的估计 vn0已知 可分段建模，分段估计模型 v v分别估计两个方程，得到参数估计量 也可建立统一的模型 v v其中D为虚拟变量，其样本观测值为 v直接

19、估计则可得到参数估计量 nnixy nixy iii iii , 1 , 2 , 1 021010 0100 1100 ， nixDDy iiiii , 2 , 1 1010 1 01 0 0 Dnin Dni 1100 ， 39 模型的估计（续1） vn0未知，但 var(1i )= var(2i ) 一般可以选择不同的n0 ，按照n0已知的方法 进行试估计，从多次试估计中选择最优者 选择标准 v使得两段方程的残差平方和最小 40 模型的估计（续2） vn0未知，且 var(1i ) var(2i ) 假设1i N( 0,12 )，2i N( 0,22 )，且不存 在自相关 构造关于n0的对

20、数似然函数(Goldfeld和Quandt， 1973) v遍取1,2,n作为n0的可能值，代入对数似然函数 v选择使得对数似然函数最大的n0值作为突变点的估 计值 n ni ii n i ii xyxy nnn n nL 1 2 1010 2 2 1 2 00 2 1 20100 2 0 0 2 1 2 1 lnln2ln 2 ,ln 41 其他几种通过变换可化为线性的非线性模型 XY XXYYloglog XYlog XYlogYYlog X eY XYXXlogXYlog XYXXYY/1/1 X X Y XY Y Y Y 1 log X X e e Y 1 42 修正指数型增长曲线模型 v线性化估计 给定L值，通过两边对数变换后，将模型化为 线性模型进行估计 反复试算，选择使y的估计值与观测值拟合最 好的L以及在该L值下估计得到的a和b的估计 值，作为原模型参数的估计结果 t t abLy 43 修正指数型增长曲线模型（续） v“三和法”估计 m mt t m mt t m t t ySySyS 3 12 3 2 1 2 1 1 , 1 )1(1 )1( 1 1 2 12