2018-2019学年人教A版数学选修4-1同步指导讲义：第三讲 圆锥曲线性质的探讨 含答案

1、祝学子学业有成，取得好成绩讲末检测一、选择题1.如图所示，在半径为2 cm的o内有长为2 cm的弦ab.则此弦所对的圆心角aob为（)a.60 b。90c.120 d。150解析作ocab于c，则bc，在rtboc中cosb，b30,boc60.aob120.答案c2.如图所示，在o中,弦ab的长等于半径,e为ba的延长线上一点，dae80，则acd的度数是（）a.60 b.50 c。45 d。30解析连接ob，则aob60，acbaob30，又bcddae80，acdbcdacb803050.答案b3。如图，o的直径为cd，与弦ab交于点p，若ap4,bp6，cp3，则该圆的半径为(）a。5

2、.5 b。5c.6 d.6。5解析根据相交弦定理,可得apbpcpdp，即463dp，dp8，2rdpcp83,r5.5.答案a4。已知o的半径为5，两弦ab，cd相交于ab的中点e，且ab8，ceed49，则圆心到弦cd的距离为（）a。 b. c。 d.解析如图所示，过o作ohcd，连接od，则dhcd,由相交弦定理知aebecede，而aeeb4，可设ce4x，则de9x,所以444x9x，解得x,即oh.答案a5.如图，abc内接于o，abac，直线mn切o于点c，bemn交ac于点e，若ab6，bc4，则ae(）a。 b.c.1 d.解析mn为o的切线，bcma.mnbe,bcmebc

3、，aebc.又acbbce，abcbec,。abac，bebc。.ec，ae6.答案a6.如图，pa是圆o的切线,切点为a,po交圆o于b，c两点，pa，pb1，则pab的大小为()a。90 b.60 c.45 d。30解析连接ao，pa是圆o切线，a为切点,pao90，ap2ao2po2，即3r2(1r)2r1。由ap，po2,ao1及pao90，可得poa60，ab1,cospab.pab30。答案d7.点a，b，c都在o上，过点c的切线交ab的延长线于点d，若ab5，bc3，cd6,则线段ac的长为（）a。 b。 c。 d。解析由切割线定理，得cd2bdad。因为cd6,ab5，则36b

4、d（bd5）,即bd25bd360，即(bd9）（bd4）0，所以bd4。因为abcd，dd，所以adccdb。于是，所以acbc3。答案b8.如图，ab和bc分别与圆o相切于点d，c,ac经过圆心o，且bc2oc4，则ad的长为（)a。8 b。c. d。解析由题意可知bd与bc相等,bdbc4，ob2,sinb,cosb，sinb2sinbcosb，acbc，sinacosb，又ab,adabbd4.答案c9。如图，pt切o于t，ct是o的直径,pba是割线，与o的交点是a，b，与直线ct的交点是d,已知cd2，ad3，bd4，那么pb()a.10 b.20 c。5 d.8解析根据相交弦定理

5、可得addbcddt，342dt，解得dt6，圆的半径r4，ab7,不妨设pbx,则pax7，根据切割线定理，可得pt2pbpa，pt2x(x7），在rtptd中，dt2pt2pd2，36pt2（x4)2，36x(x7）（x4）2，解得x20。答案b10.如图，abc内接于o,过bc中点d作平行于ac的直线l，l交ab于e，交o于g，f，交o在a点处的切线于p,若pe3，ed2，ef3,则pa的长为（）a. b。c。 d。2解析依题意知，ed2,df1。aebe.设get，则pg3t。由相交弦定理得geefaebe，故aebe,又由pa是切线知pabc(弦切角等于弦所对的圆周角）bde，所以p

6、aebde。所以，即，解得t2.即ge2，pg1,再由切割线定理知pa2pgpf6，所以pa.答案b二、填空题11。如图， 一圆内切四边形abcd，且ab16，cd10，则四边形abcd的周长为_。解析由切线长定理知cdabadbc,abcd26，abbccdad52。答案5212。如图所示,分别延长圆内接四边形abcd的两组对边相交于e，f两点。若e30，f50，则a_。解析aadcf180，aabce180，adcabc180,a（180ef)50.答案5013.如图，o和o相交于a，b两点，pq切o于p,交o于q，m,交ab的延长线于n点，若mn1，mq3，则pn的长为_。解析依题意得，

7、np2nbnanmnq，则np2mnnq，所以np21（13)4,所以np2。答案214.如图，圆o上一点c在直径ab上的射影为点d，点d在半径oc上的射影为点e.若ab3ad，则的值为_.解析连接ac，bc，则acbc。ab3ad，adab，bdab,odab.又ab是圆o的直径,oc是圆o的半径，ocab。在abc中，根据射影定理有：cd2adbdab2。在ocd中,根据射影定理有：od2oeoc，cd2ceoc，可得oeab，ceab，8.答案8三、解答题15。求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形.证明如图,连接bd，依题意得aabcccdee108。因为a，b,d，e四点

8、共圆，且a108，所以bde72，而cde108,故cdb36。从而cbd36。所以cdcb。同理，其他各边也都相等，从而abcde是正五边形。16。如图，ab是圆o的直径，d，e为圆o上位于ab异侧的两点，连接bd并延长至点c，使bddc，连接ac，ae,de.求证：ec.证明如图，连接od，因为bddc，o为ab的中点,所以odac，于是odbc.因为obod,所以odbb.于是bc。因为点a,e,b,d都在圆o上，且d，e为圆o上位于ab异侧的两点，所以e和b为同弧所对的圆周角，故eb。所以ec。17。如图，o1，o2相交于a,b两点，过a作o2的切线交o1于c,直线cb交o2于d,直线

9、da交o1于e。(1）求证：ceca；(2）求证：ce2dadecd2.证明(1）如图，连接ab。ac切o2于点a，32。又2e,3e。31，1e，ceca.（2）由切割线定理,得ca2cdcb，ce2cdcb。由割线定理，得dadedbcd，ce2dadecdcbcddbcd（cbdb）cd2.18.如图，半径为2.5的o中，直径ab的不同侧有定点c和动点p，已知bcca43，点p在ab下侧半圆上运动,过点c作cp的垂线，与pb的延长线交于点q。(1)当点p运动到与点c关于直径ab对称时,求cq的长。(2）当点p运动到什么位置时，cq取到最大值?并求出此时cq的长.解（1)当点p运动到与点c

10、关于直径ab对称时，cpab于d。ab是o的直径，acb90。又ab5，bcca43，bc4，ac3.又acbccdab,cd，pc.在rtacb和rtpcq中，acbpcq90,cabcpq， rtacbrtpcq.cq。(2）点p在ab下侧半圆上运动的过程中，cqpc.可知当pc取到最大值时cq取最大值。显然当pc为o直径时取最大，即pc5时，cq取最大值，为5。学习目标1.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系,了解平行投影.2.会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆).3。能够用运动变化的观点理解柱面、旋转面的概念，进而掌握圆柱面的性质。4.在一般截面的几何性质的探究中，体验

11、使用焦球的意义，逐步培养对几何图形中不变量的研究意识。5.用平面截圆锥面研究所得曲线的基本特征并加以证明，从新的角度认识椭圆、双曲线和抛物线.知识链接1.一个圆所在的平面与平面平行时,该圆在平面上的正射影是什么图形?提示圆.2。一个圆所在的平面与平面不平行时，该圆在平面上的正射影是什么图形?提示椭圆.3.回想一下，椭圆是如何定义的？提示平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。4。用一个平面去截一个圆柱,截面将是怎样一个平面图形？提示用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时,截面是一个圆,当平面与圆柱的两底面不平行时,截面是一个椭圆，当平面与圆柱两底面垂直时，截面是一个矩

12、形。预习导引1.正射影(1）定义:给定一个平面，从一点a作平面的垂线，垂足为点a.称点a为点a在平面上的正射影。一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影.（2)圆面的正射影：一个圆所在的平面与平面平行，那么该圆在平面上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆；如果圆所在的平面与平面不平行且不垂直时,从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化，就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆；如果圆所在的平面与平面垂直时，那么该圆在平面上的正射影是一条线段，其长度等于圆的直径.2.平行射影定义：设直线l与平面相交（如图），称直线l的方向为投影方向.过点a作平行于l的直线

13、(称为投影线），必交于一点a，称点a为a沿l的方向在平面上的平行射影。一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫作这个图形的平行射影。显然，正射影是平行射影的特例。3.定理1文字语言圆柱形物体的斜截口是椭圆符号语言平面与圆柱oo的轴斜交，则截口是椭圆图形语言作用判断截口形状是椭圆4。椭圆（1）定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆.(2）组成元素：如图所示，f1，f2是椭圆的焦点,b1b2是f1f2的中垂线。我们把a1a2叫作椭圆的长轴，b1b2叫作椭圆的短轴，f1f2叫作椭圆的焦距,如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c2.(3)dandelin双球探究椭圆性质：

14、如图所示，设球o1,o2与圆柱的交线(圆）所在的平面分别为,，椭圆所在的斜截面与它们的交线分别为l1，l2,，与所成的二面角为,母线与平面的夹角为。由于，,都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的，且，均为定值.当点p在椭圆的任意位置时，过p作l1的垂线,垂足为q，过p作平面的垂线，垂足为k1，连接k1q，得rtpk1q,则qpk1。从而有cos 定值。椭圆上任意一点到焦点f1的距离与到直线l1的距离之比为定值cos .我们把直线l1叫作椭圆的一条准线。椭圆上任意一点到焦点f2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cos ，所以l2是椭圆的另一条准线。记ecos ,我们把e叫作椭圆的离心率。5.

15、定理2文字语言若用一个平面去截一个正圆锥（两边可以无限延伸），而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现下列情况:（1)如果平面与一条母线平行，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是抛物线；（2)如果平面不与母线平行，当平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；当平面与圆锥的两个部分都相交,这时的交线是双曲线.符号语言在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于o点，夹角为，l围绕l旋转得到以o为顶点，l为母线的圆锥面。任取平面，若它与轴l的交角为（当与l平行时，记0)，则:(1)，平面与圆锥的交线为椭圆;（2）,平面与圆锥的交线为抛物线；（2），平面与圆锥的交线为双曲线.图形语言作用确定交线的

16、形状6.圆锥曲线的结构特点（1)椭圆上的点到两个定点（焦点)的距离之和为常数(长轴长2a).(2）双曲线上的点到两个定点(焦点）的距离之差的绝对值为常数（实轴长2a）.（3)抛物线上的点到一个定点（焦点)和一条定直线的距离相等.7.圆锥曲线的几何性质（1）焦点:dandelin球与平面的切点.（2）准线：截面与dandelin球和圆锥交线所在平面的交线。(3）离心率:e。(4）圆锥曲线的几何性质项目椭圆双曲线抛物线焦点2个2个1个准线2条2条1条离心率e1e1e1焦距f1f22c c2a2b2f1f22c c2a2b2离心率ee准线间距曲线上的点到焦点距离pf1pf22a|pf1pf2|2a要

17、点一正投影例1p是abc所在平面外一点，o是点p在平面内的正射影。（1)若p点到abc的三个顶点等距离，那么o点是abc的什么心?（2）若p点到abc的三边距离相等,且o点在abc的内部，那么o点是abc的什么心?（3）若pa，pb，pc两两互相垂直，o点是abc的什么心？解如图所示。（1）若papbpc，o为p在平面abc上的正射影。故有oaoboc，o为abc的外心。（2）由p到abc的三边距离相等.故有o到abc的三边距离相等，o为abc的内心。（3）po平面abc，pabc，oabc,同理obac，ocab，o为abc的垂心。规律方法确定一个几何图形的正射影，其实质是确定其边界点的正射

18、影的位置.在解决此类问题时，一定要全面考虑。跟踪演练1已知l1，l2为不垂直的异面直线，是一个平面，则l1,l2在平面上的正射影有可能是:两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点。其中结论正确的是_（写出所有正确结论的编号).解析如图所示，可知正确，而对于,若两直线的正射影是同一条直线，则两直线必共面，这与l1,l2异面矛盾，错。故填。答案要点二平行投影例2如图所示，边长为20的正abc的顶点a在平面内，b，c在平面同侧,且b，c到的距离分别是10和5，求abc所在平面和所成的二面角的大小。解设bd，ce是点b，c到平面的距离，则bd,ce，bd10，ce5，由直线与平

19、面垂直的性质，得bdce，b,d，e,c共面。bdce,bc,de必相交，设交点为f.df，f。bc平面abc,f平面abc，f是平面abc和平面的又一公共点.a是平面abc和平面的公共点，平面abc平面af.在bdf中，bdce，bd2ce，cfbc。又abc为正三角形，cfac，acf120.bafbaccaf603090。由正投影变换的性质，得daaf，bad是abc和平面所成的二面角的平面角.在rtabd中，ab20，bd10,bad30,abc所在平面和所成的二面角的大小为30.规律方法在必修中,我们讨论了点、直线在平面上的射影,也就是正射影，因而利用平行投影及其性质可以讨论立体几何

20、中有关射影问题，如直线与平面所成的角、二面角的大小等.跟踪演练2有下列4个命题：矩形的平行射影一定是矩形;矩形的正射影一定是矩形；梯形的平行射影一定是梯形；梯形的正射影一定是梯形.其中正确命题的个数是（)a.0 b.1 c。2 d.3解析矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段，因而一定是矩形不成立。矩形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，因而矩形的正射影一定是矩形不正确.梯形的平行射影可以是梯形、线段，因而梯形的平行射影一定是梯形不正确。中梯形的中正射影可能是梯形、线段,因而梯形的正射影一定是梯形的说法是错误的.故选a.答案a要点三圆锥曲线类型的判断例3圆锥侧面展开图扇形的中心角为

21、，ab，cd是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过cd和母线vb的中点e作一截面,求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小,并说明截线是什么圆锥曲线?解设o的半径为r,母线val，则侧面展开图的中心角为，圆锥的半顶角.连接oe,o，e分别是ab，vb的中点，oeva。voeavo。又abcd，vocd，abvoo，cd平面vab,平面cde平面vab，即平面vab为截面cde的轴面，voe为截面与轴线所夹的角，即为。又圆锥的半顶角和截面与轴线的夹角相等,故截面cde与圆锥的截线为一抛物线。规律方法判断平面与圆锥面的截线的形状的方法:（1)求圆锥面的母线与轴线的夹角，截面与轴线的夹角；（2)判断与的大

22、小关系；(3）根据定理2判断截线是什么曲线.跟踪演练3在圆锥内部嵌入dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切，若平面与双球的切点不重合，则平面与圆锥面的截线是（）a。圆 b.椭圆c.双曲线 d.抛物线解析由于平面与双球的切点不重合,则平面与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交，则截线是椭圆.答案b要点四圆锥曲线的性质例4 已知一平面垂直于轴线截一圆柱面所得的截线为半径为3的圆，另一截面与圆柱的轴线的交角为60，求椭圆截线的两个焦点之间的距离。解如图所示，已知斜截面与圆柱的轴线的交角为60,即与圆柱母线的交角为60，故椭圆的长半轴长a2，又椭圆的短半轴

23、长br3，故椭圆的焦距2c22.即椭圆截线的两个焦点间的距离为2。规律方法当已知斜截面与圆柱面的母线或直截面的交角时,我们可以确定椭圆的各个参量.如设斜截面与圆柱面的母线的交角为，圆柱面的半径为r，则截线椭圆的长轴长2a，短轴长2b2r，离心率ecos ,焦距2c2acos 2rcot .跟踪演练4如图,讨论其中双曲线的离心率，其中是dandelin球与圆锥面交线s2所在的平面,与的交线为m。解p是双曲线上任意一点,连接pf2，过p作pam于a，连接af2，过p作pb平面于b，连接ab，过p作母线交s2于q2.pb平行于圆锥的轴，bpa,bpq2.在rtbpa中,pa，pq2，由切线长定理得p

24、f2pq2，pf2。e。01.同理，另一分支上的点也具有同样的性质，综上所述，双曲线的准线为m，离心率e。1.一个平面图形在平面上的射影形状取决于该平面图形所在平面与投影平面的空间关系：所在平面与投影平面平行，射影图形与原图形全等，圆的射影仍然是圆；所在平面与投影平面垂直，射影图形是一条直线或线段或点，圆的射影是线段;所在平面与投影平面斜交，圆的射影是椭圆。2。几个重要结论(1）垂直截面与柱面的交线为一个圆.(2)不平行于圆柱面母线的平面截割圆柱面，其截线是一个椭圆,椭圆的短半轴等于圆柱面的半径r。长半轴等于(是截割平面与圆柱面母线所成的角）.1。下列说法正确的是()a。两条相交直线的平行射影

25、还是相交直线b。两条平行直线的平行射影还是平行直线c。线段中点的平行射影仍然是该线段平行射影的中点d。角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线解析两条相交直线的平行射影可能是相交直线，也可能是一条直线，a错，两条平行直线的平行射影可能是平行直线，也可能是一条直线，甚至是两个点，b错，角的平分线的平行射影可能与角的两边重合，不一定是该角平行射影的平分线,d错;c对.答案c2.一圆柱面被一平面所截，平面与母线成60角,截线上最长的弦长为4，则该圆柱底面的半径为（)a. b.2 c.3 d。6解析圆柱面被一平面所截，截线是椭圆，由已知其长轴长为4，故圆柱底面半径为:4sin 603。答案c3.在

26、圆锥的内部嵌入dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面和圆锥面均相切,则两切点是所得圆锥曲线的_.解析根据焦球的定义知，两切点是所得圆锥曲线的焦点.答案两焦点4.如图所示,已知球o1，o2分别切平面于点f1,f2，p1p2为o1的一条直径,q1,q2分别为p1，p2在平面内的平行射影，g1g22a,q1q22b，g1g2与q1q2垂直平分，求证：f1f22。证明如图,过g1作g1hbg2,h为垂足，则四边形abhg1是矩形，g1hab。q1，q2分别是p1,p2的平行射影，p1q1綊p2q。p1q1q2p2是平行四边形.q1q2p1p2.一、基础达标1。一个圆的

27、正射影不可能是()a.圆 b。椭圆 c.抛物线 d。线段解析当圆所在的平面与射影平面平行时,射影是圆；不平行时是椭圆，垂直时是线段，不可能是抛物线,故选c。答案c2.用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则交线为（）a.椭圆 b.双曲线c。抛物线 d。两条相交直线解析所得交线为圆锥面的两条母线.答案d3。用一个平面去截一个圆柱面，其交线是（)a.圆 b.椭圆c。两条平行线 d。以上均可能解析当平面垂直于圆柱面的轴时,交线为圆；当平面与圆柱面的轴平行时，交线为两条平行线,当平面与圆柱面的轴不平行也不垂直时，交线为椭圆，故选d。答案d4。一组平行平面与一正圆锥的交线具有（)a。相同的焦距 b。相同的

28、焦点c.相同的离心率 d.相同的准线解析平行平面与圆锥轴线夹角相等,由离心率定义e（圆锥半顶角为定值）知，离心率相同.答案c5.已知圆锥面的母线与轴成44角,用一个与轴线成44角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是_。解析根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线。答案抛物线6.一平面截半径为3的圆柱面得椭圆,若椭圆的dandelin双球的球心距离为10，则截面与圆柱面母线夹角的余弦值为_.解析dandelin双球球心距离即为椭圆的长轴长，2a10，即a5，又椭圆短轴长2b6，b3.c4.故离心率e，cos ，故截面与母线所成角的余弦值为.答案二、能力提升7。平面与圆锥轴线的夹角为30，

29、与圆锥面交线的离心率为,则圆锥母线与轴线的夹角为(）a.60 b。45c。30 d.无法确定解析由已知30，e，设圆锥母线与轴线的夹角为,则e,cos ,60。答案a8。一圆锥面的母线与轴线成角，不过顶点的平面和轴线成角，且与圆锥面的交线是椭圆，则和的大小关系为(）a。 b.答案a9.在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距离为13，若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为_。解析图为圆柱的轴截面，ab为与球o1和球o2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知ab过圆柱的几何中心o,由o1ood，o1coa，得oo1caod，且o1cod6，所以rt

30、oo1crtaod,则aoo1o，故ab2ao2o1oo1o213。显然ab即为椭圆的长轴.故填13。答案1310.已知圆锥的母线长为l,底面半径为r，如果过圆锥顶点的截面面积s的最大值是l2，则的取值范围为_。解析如图所示，pab是过圆锥的顶点p的截面,设apbx,圆锥的顶角为，则pab的面积为：spapbsin xl2sin x(0x），smax由题设知mn b。bmcnmn.故选a。答案a9。如图，点a、b、c都在o上，过点c的切线交ab的延长线于点d，若ab5，bc3，cd6，则线段ac的长为（）a。4 b。2 c。 d。解析dc是o的切线，c为切点，dc2dbda。即62db(abd

31、b）36db（5db）即bd25bd360，即(bd9)(bd4）0，所以bd4。因为abcd,所以adccdb，于是.所以acbc3。答案d10。如图所示，o的弦ab,cd相交于点p,pa4 cm，pb3 cm,pc6 cm，ea切o于点a，ae与cd的延长线交于点e，ae2 cm，则pe的长为（）a。4 cm b.3 cmc。cm d。2 cm解析由相交弦定理知pdpcpapb，即pd2,又ea是圆o的切线，由切割线定理知ea2edeced（ed8），(2）2ed28ed，即ed28ed200，ed2.pepdde4.答案a二、填空题11。已知o的弦ab交半径oc于点d。若ad3，bd2，

32、且d为oc的中点，则cd_.解析延长co交圆o于点m,由题意知dc，dmr.由相交弦定理知addbdcdm，即r26，r2,dc.答案12.如图，直线pc与圆o相切于点c，割线pab经过圆心o,弦cdab于点e，pc4，pb8，则ce_。解析如图，pc为圆o切线，c为切点，pab为割线且pc4,pb8，pc2papb，pa2,oa（pbpa)3，pooaap325，连接oc，则ocpc,在rtocp中，oc3，pc4，po5，且ceop.opceocpc，ce.答案13.如图，ae是圆o的切线，a是切点，adoe于点d,割线ec交圆o于b、c两点,设odc,dbc,则oec_（用、表示)。解析先证明o，d,b，c四点共圆。如图，连接oa，ob，在rtoae中,adoe，由射影定理知ea2edeo.再由切割线定理知ea2ebec，故edeoebec.故o，d,b，c