第5章不定积分

1、5不定积分在微分学中，讨论了求已知函数的导数(或微分)问题，但在许多实际问题中，常常 需要解决相反的问题，即已知一个函数的导数(或微分)，要求这个函数，这就是积分学 的基本问题之一一一不定积分.5.1不定积分5.1.1 原函数5实践中经常要考虑如下类型的问题：即已知一个函数f(x)的导数为f(x)，要求f (x).例如：已知曲线y=f(x)上任一点(X, y)处的切线斜率为 2x，如何求该曲线方程？即求满足f (X)=2x的函数y = f(X)这类问题称为找 f (X)的原函数为此，我们引入原函数的概念:定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任意的 x I，都有F (x

2、 f (x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数.例如，因为在(-=C, +处)上(X2/ =2x，所以X2是2x在(二+处)上的一个原函数.又如，在X巳0, +处)内，所以JX是丄在(0,2jx2jx+处)内的一个原函数.什么样的函数存在原函数呢？我们将在下章中证明如下重要定理:原函数存在定理：若函数 f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F (x),使对任意的X引 都有F(x) =f(x) 即:任何一个在区间I上连续的函数，在区间I上都存在原函数.由于初等函数在其定义区间内都是连续的，因而都存在原函数，那么f(x)的原函数是否唯一？回答是

3、否定的，由原函数的定义知，若F(x) = f(x)，则对任意常数C均有：(F(X)+C) = f(X)，可见当F(x)是f (x)的一个原函数时，F(x)+C也是f(x)的一个原函数，所以若已知函数 f(x)存在原函数，那么 f(x)就有无穷多个原函数.定理1 若F(x)是函数f (x)的一个原函数，则函数f (x)有无限多个原函数，且其任何原函数均可表示成 F(X)+C的形式.证：设(X)是函数f(x)的任意一个原函数，并令y =Q(x)-F(x),由于Fx=f(x),x)= f(x).所以y=4(x)-F(x) = f(x)-f(x20 .于是(x)-F(x)=C 或 (x)=F(x)+C

4、 .由定理1可得，一个函数的任意两个原函数之间仅相差一个常数.5.1.2不定积分的概念定义2在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f (x)(或 f (x)dx )在区间I上的不定积分，记作Jf(x)dx，即Jf(x)dx = F(x) +C ,其中C为任意常数，F(x)是函数f(x)的一个原函数，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，J称为积分号，X称为积分变量.由此可见，一个函数的不定积分不是一个确定的数，也不是一个函数，而是一个函数 族.例如，因为(sinx)=cosxU Jcosxdx=sinx+C ,又因为(x2)=2x，则 J2xdx=x2 +C .下面来

5、阐述原函数与不定积分的几何意义.设F (X)是f (x)的一个原函数，y=F(x)在平面上表示一条曲线，该曲线称为f (x)的积分曲线.而Jf(x)dx=F(x)+C表示一族曲线，它是由y=F(x)沿y轴平移所得，其中任一条曲线在具有同一横坐标x点的处切线的斜率都等于f (x).在实际问题中，有时要求f(x)通过点(X0, yo)的积分曲线，此时有yo=F(xo)+C ,则C=yo-F(x0).于是所求积分曲线为：y = F(x)+(yo-F(X0).例1求一条通过点(2, 5)，且切线的斜率为 2x的曲线方程.解 设所求曲线为y=F(x)，则由题意：F(x)=2x .2F(X)= f2xdx

6、 =x +C .由条件，F=5即5 =2 jF(x)dx=F(x) +C +C，于是C =1 .故所求曲线方程为y =x2 +1 .如图5-1 .事实上，设F(x)是Jf (x)dx =F(x) +C，所以从不定积分的定义，即可知下述关系:(1) (Jf (x)dx) = f(X) 或 d(Jf(x)cX= f (x ) cX函数f (x)的一个原函数，即F (X)= f(X),则(Jf(x)dx)=(F(x)+C) = F(x) = f(x).或JdF(x) =F(x)+C .事实上，因为 F(x)是F(x)的原函数，故有 jF(x)dx=F(x)+C .求不定积分的方法称为积分法，上式表明

7、积分法是微分法的逆运算，因此我们可以利 用导数公式得到基本积分公式.5.1.3基本积分表由于积分运算是微分运算的逆运算，因此从每个基本微分公式很自然地得出相应的积分公式.F面我们把一些基本积分公式列出，通常称其为基本积分表.71、Jkdx = kx+C（k 为常数）;2、11）；、a +13、4、1f-dx = I n | X | +C ; Xdxf2 =arctanx +C ；1 +x5、f dX =arcsin x +C ; 76、Jcosxdx =sin x +C ；7、Jsin xdx =_cosx +C ；2Jsec xdX =tan x +C ；9、2fcsc xdx=cotx+C

8、 ;10、Jsecxtanxdx =secx +C ；11、Jcscxcotxdx =cscx+C ；12、fexdx =ex +C ；13、Xbdx +C （a0, a H1）; 、ln a14、Jshxdx = chx +C ；15、Jchxdx = shx + C .关于公式J丄dx = |n|x|p作如下说明: x当X :0时,（ln x）=丄，则成立 Qdxnnx+C .X、X当X 0时，ln（冈=-，则成立 J丄dx =1 n（鳴 +C .X、X因此对任意J dx = ln |x| 代. xjAfdx = fxdxxU+C4+13rc13求 Jx2MXdx 7fx2 Vxdx =

9、fx3d-xC .101丄f ,dxfx 4dx無J344+ C = -x +C.3上面三个例子的被积函数经整理后其实都是幕函数，遇此情形，应先把被积函数化为的形式，然后应用幕函数的积分公式来求不定积分.有了上述基本积分公式，我们可以求出基本初等函数的不定积分，所以必须牢牢记住 这些基本积分公式.为了更好地求初等函数的积分，还需要学习积分运算法则及求不定积 分的各种方法.5.1.4基本积分运算法则由不定积分的定义，易证下列不定积分的运算法则.本节中假设f (x),g(x)的原函数存在.法则 1 Jkf (x)dx =k J f (x)dx，其中 k是常数(kO).即被积函数的常数因子可以移到积

10、分号外边.事实上,(k J f (x)dx ) = kf (x)，即 fkf (x)dx = k J f (x)dx 法则2J f(X)g(x)dx = Jf (x)dx Jg(x)dx .事实上,(J f (x)dx 土 Jg(x)dx) =( Jf (x)dx)( Jg(x)dx) = f(X)g(x).J f(X)g(x)dx = Jf (x)dx Jg(x)dx .法则1和法则2合并起来称为积分的线性运算法则:Jkif (x)k2g(x)dx =匕 Jf (x)dxk2 Jg(x)dx其中ki,k2均是非零常数.这一运算法则可以推广到有限个函数的情况:ki fi(x) k2 f2(x)

11、 土km fm(x)dx=ki J fi (x)dx k2 J f2(x)dx 土kf fm(x)dx其中ki,k2,川，km均是非零常数.计算 J(3xex+2x)dx .f(3xex+2x)d J(3e)xdx+2 Jxdx旦 _21+CIn (3e) x计算 J(1 一) jxjxdx -xJ(1 -丄)JxVxdx = fyjxyfxdx-JxVxdx 、 x、X35=fxdx- fxdx4 Z J.=x4 +4x 4 +C .7计算 J 匕 cosx +2 -3x2f j5cosx+2 3x2 +1 2 1 1=5 fcosxdx +2 Jdx 3Jx dx+ Jdx 4 J dx、

12、X、1 +x3= 5sinx+2x x +1 n| x|4arctan x+C .计算 J(10x+3sinx+jx)dx .J(10x +3sin X +7x)dx = JlOdx +3 Js i xdx + J+Gdx10x1-h=-3cosx+ x2 +Cln10!+二但-3cosx+2x/c .ln103例 9 计算 f cos2x dx .、cosx +sin Xa2.2r CO 2X ,co sx _sInX ,fdx = fdxcos 0). x1丄+CIn a21求不定积分f_、(arcsinx)/1pdx x1.dx = (arcsin x)出 d(arcsin x) (ar

13、csinx)3？-x2=1 (arcsin x)+C3+11 +c.2(arcsin x)求不定积分 Jsecxdx因为secxdx所以2sec x+secxtanx . d(secx + tanx)dx =secx +ta n xsecx +ta n xsecx +ta n xF ,d(se(x+ t axn ),fseadk f = I n I setetxan CI secx+ taxnsecx(secx +ta nx) dx =同法可得：Jcscxdx = In I cscx - cot x| +C 求不定积分Jsin 3xdx -Js i Pixdx = Js i nxsi ndx

14、= J(1 -coSx)d( cox)2=- Jd(cosx) + Jcos xd(cosx)=-cosx+hosx + C 3求不定积分fsec6 xdx Js ecxdx = J( s e cx)2 se cxdx=f(1 +tan2 x)2dtanx24=f(1 +2tan x + tan x)dtanx=tanx+2tan3 x+1 tan5x + C .35cosx10求不定积分J厂.dx vs in x2111121314cos3 x (sin Xdx = fcos XCOSX. 2 . .-2. dx=J(1sin x)sin 2 xdsinx Jsin X=Jsin 方 xds

15、inx Jsin2 xdsinx=2sin 22 5 sin2 X +C5ex求不定积分J罕dx JxJd- Je3Ed(37X) =2e3衣 +C a/x331求不定积分 J J e r dx (a 0).Ja2 -x2J 1 dx =求不定积分f a2 +x21 Idx = f-=402.2a +x求不定积分因为右a1 +a2dP=arcsin- +C .a M桃丹吨+C -X2 2a+丄 +x a X所以23dx2 2 a -x丄dxa - x1 f 12aijda+x-)ja -xadxa -xx15求不定积分fy-dx 2+xX ,1.,f4 dx = - f _ 2 dx2+x 2

16、、(妬2+(x2)2例16ln tanx求不定积分 2 dx .、sin xxln tan 2x ln tan 2dxc Xx2sin -cos-22x2十 arctanp +C2罷罷x ln tan 2d(|)tan - cos2 -2 227x ln tan tan-216、Jtanxdx = -ln cosx +C17、Jcotxdx = ln sinx +C18、Jsecxdx = In | secx + tan x | +C19、Jcscxdx = In | cscx - cotX | +C20、,1xf dx =arcsin- +C jaa21、11xf -32 dx = arct

17、an +C ;a2 +x222、dx2 2a -x丄ln2aa +xa -x2 x2d(tan )2xx 1x=Jin tan-d(lntan-ln2(tan?) +C .例7及例12例14的结论作为新的积分公式.即熟练运用凑微分法的关键是要熟记基本积分公式在掌握求不定积分基本方法之后,可直接将被积函数凑成Jf (Wx)d(x)的形式来计算不定积分，并把函数W(x)看作是一个整体变量，然后再应用基本积分公式，因此称为“凑微分法”.5.2.2第二换元法在不定积分的计算中，常常会出现与前面介绍的情况刚好相反的问题，即不定积分化为易于计算的积分J f 申(t)W (t)dt的形式，这就是另一种通过变

18、量代换来计算不定积分的方法，称为第二换元法.定理2 设x=cp(t)是单调、可导的函数，并且字(t)HO，又设fW(t)A(t)具有原函 数，则有换元公式X鸟t)Jf(x)dx = 厂叫胪叫華(X),其中t =W(X)为X =(t)的反函数.证 由已知f申(t)(t)具有原函数，设其原函数为(F(x)+C)= f(x).因为F 伴/(x) +C1 =F (t)生=f评(t)(t)Ldx第二换元法是将变量x替换成适当的函数 x=(t),F(t)，只须证明将积分化成下面形式:Jf (x)dx = Jf (t)A(t)dt .这个换元公式的成立是需要一定条件的，由于积分Jg(t)p(t)dt求出后必

19、须用求出上式右端的积分后，再用x=W(t)的反函数t=rx)代回.x=W(t)的反函数t=W(x)代回去，为了保证该反函数存在而且是单值可导的，所以我们在定理的条件中要求函数x=(t)在t的某一区间(这区间和所考虑的x的积分区间相对应)上是单调的，可导的，并且伫t)HO,即要保证反函数t=3-1(x)存在.例17求不定积分1一d1 +Jl+x解 为去掉被积函数分母中的根式，设TTTx =t，则X =t2-1 , dx = 2tdt .dx - 冬dt =2fdt1 + j1+x1+t 1+t=2 fdt f丄dt l = 2(t -In |1 +t |) +CV1+t丿t=2(亓匸In|1+/

20、rB)+C .应用第二换元法时必须注意积分后一定要将变量代换回来.解如图 5-2， |x|a，设 X =asint，、/3TJI r3t 0).22aa=一 f(1 +cos2t)dt = ( Cdt + fcos2tdt)22a I 1 J a a=It + si n2t +C=t + sin 2t+C2 I 2 丿 24由于 t =arcsin，贝U sin2t =2sin t cost = 2Ja2 - x2，于是 2Na2 aaa-x2dx =arcsin + Ja2 -x2 +C .2a 2例19求不定积分dx (a 0).1Jx2 +a2解如图5-3，设X =atant，贝U dx

21、 =asec?tdt，当 一一ct /e-1Jex+1 +1令 x = tant，则 dx = sec tdt .于是dx2丄sec tx2 tan21 sectdttan t8St cos tdt=f csct cot tdt = - csct + C Sint Sintcost注：以上几例说明第二换元法的一个主要目标就是将被积函数中根式有理化.习题5- 21. 求下列不定积分:Ex ；(2) M -X2 dx ;C Jlnxdx ; x2(5) Jcosxsin xdx;(6) f(arCSinx)dx ;(7)fx2edx ;(8)(9)f 223 dx ； x2-3x+8(10)+x2

22、 +(1 -X2J1 -x4dx;(11)fdx ；2 +cos x(12) 2cos x(1+tanx)dx ;x eJ4 +e2x dx ；4 +e(14)丿低sin2仮dx ；(15)dX、反(1+2x) (16)(17)丄莓dx;GX2(18)*7dx ；(19)dx、xln xln(ln x)(20)2Jxcos(x )dx;(21)2,cos x , fdx sin 2x2. 求下列不定积分dxxVx2 -93J(1 x2)Pdx ;2f , x dx ;j尸 2V a -xsin 2xI4 dx ；v2 -cos xxJx2 - a22J 尸dx ；vx -x(8)Jx1?dx

23、;(x+1)(9)J tan4 xdx -(10)Jx3 J1 + x2dx ;x()J dx 1 + 山 +x25.3分部积分法分部积分法是计算不定积分的另一个重要方法，它是针对乘积函数的求导法则导出的 不定积分法.在微分法中，设 u(x)与v(x)是x的可微函数，有(uv)=uv 中uv 或 uv=(uv)-uv 对上述两式求不定积分得到Juvdx = J(uv) dx _ JuVdx(1)(2)Juvdx =uv - Ju VdxJudv =uv - fvdu以上两式称为分部积分公式.分部积分公式表明，如果求积分Juvdx有困难，可将积分分成Jvdx及Juvdx两部分来积，且这两个积分都

24、比较容易求解，所以这种方法称为分部积分法.下面通过例子说明 如何运用分部积分公式.例1求不定积分Jxsin xdx .解 被积表达式xsinxdx可写成xd(-cosx)的形式.这里 u =x, v=-cosx .由分部积分公式得Jxsin dx = Jxd(-cosx) = x(-cosx) - J(-cosx)dx=xcosx+ f cosxdx=xcosx + sin x + C .u和v很关键.V =eX .由分部积分公式得2注意：如本例选成u =sinx , V =22 2.y-y则 fxsinxdx =sinxd(-x2) =isinx- f cos xdx .而积分 f一 cos

25、 x ex 比原来 ， 2 2 2 2的积分还要复杂.由此可见，在运用分部积分法时，正确选择选取u和dv 一般考虑下面两点:(1) v容易求出；Jvdu比fudv容易积分.求不定积分Jxexdx.解 被积表达式xexdx写成xdex的形式，此时u =x.JxeXdx = JxdeX =xeX - 血=xeX eX +C例3求不定积分fx2 In xdx -解 被积表达式x2lnxdx必须写成ln xd(x3)的形式.因为Jin xdx在基本积分表中找不到，此时u =1 nx, vJx3，由分部积分公式得3,2 .,13、，1- 3 31 3|1.31 .=-x In xxd33 X213131

26、3fx In xdx = Jin xd(二x ) =(；x )1 n x - Jx dln x13,1x= xl * x39X+ C例4 求不定积分Jxarctanxdx .解 被积表达式 xarctanxdx可写成 arctanxdgx)的形式此时 U = arctanx ,vx2，由分部积分公式得1 2Jx arctan xdx = farctan xd( ? x ) 1 2=! X2 arctan x - )丄 x2d(arctan x) 2 c1 2=x2-21x2arctanx- f dx2 T + x2Jx2 arctan x亠 dx22、1 +x21=一 x22 arctan x

27、 -1Q fdx - f dx21、1+x22VJx2arct2aJ2 2a r c txOnC例 5 求不定积分 feax cos bxdx 与 Jeaxsinbx(a HO).r ax1 ax|b axJe cosbxdx= e cosbxJe sinbxdx ；aar ax . I .1 ax . Ib , ax .fe sinbxdx=-e sinbx-fe cosbxdx.aa .可见这两个积分可以相互表示出来，若用加减消去法，则有r ax 11 bsin bx + a cos bx ax ,Je cosbxdx =2 . 2e 十C ;与:2从2a +br axasin bx bc

28、osbx ax 4QJe sin bxdx =22 e +C .a2+b237例6求不定积分jsin(ln x)dx .解 这时设 u(x) =sin(ln X), dx = dv，即Jsin (I n x)dx =xs in (I n x) - fxd(s in (I n x)=xs in (I nx) - Jxcos(l nx) dx x= xsin(ln x) cos(lnx) Jsin(ln x)dx .所以 Jsi n(Xn XHd1 x si x(l n ) xOs(Cn )注:1、分部积分法主要适用于被积函数f(x)是下面四种类型:45f(x)为巳(X)与三角函数之乘积，这时,取

29、 u(x) = R(x) , v(x)为三角函数;f (x)为Pn(x)与指数函数之乘积，这时取u(x) = Fn(x) , v(x)为指数函数;f (x)为Pn(x)与对数函数之乘积，则取V(X)= Pn(x)，而U(x)为对数函数;f(x)为Pn(x)与反三角函数之积，则取v(x) = P(X)，而u(x)为反三角函数;f(X)为指数函数与三角函数之积，则取u(x)=指数函数，v(x)为三角函数或u(x)=三角函数，v(x)为指数函数.2、在求不定积分时，首先考虑能否用第一换元积分法来求解应当注意到，即使用 第二换元积分法或分部积分法来求解题时，也会同时用到第一换元积分法.3、应用分部积分

30、公式，还能得到一些有用的递推公式.7求不定积分.x2J n = 2 1 2 n dx =2 X+2 n U dxn (a2+x2)n(x2+a2)n(x2+a2S +X（x2 十a2） -a2 22n +2n f 22dx（X2 +a2）n（X2 +a2 严X1X22 1dX2na=k +2nJn 2na J!（X2 +a2）n1x2n-1 1n屮 2na2（X2 +a2）n 2na2 n这个公式称为J n的递推公式,n 1 11x当 n =1 时，有 J1 = f2 dx =arctan- +C （X +a ） aa=1时,求不定积分ln=J（lnx）ndx I n = f（ln xfdx

31、=x（in x）n 一 n J（in xfdx=x（ln x）n nl2,In =x（ln x）n -nln4 （n 2）, = Jln xdx =xln X - x +C 在计算积分时，有时要把不定积分的分部积分法与不定积分的换元法结合使用.例9 求不定积分f sec xdx32解fsecxdx = fsecxsecxdx = fsecxdtanx = secxtanx- jtanxdsecx2 2= secxtanx- Jtan xsecxdx = secxtanx- Jsecx-1secxdx3=secx tan x - /sec xdx + J secxdx所以推得 J sec3xdx

32、 =2 secx ta nx+ Jseccdx= 2secxtanx + ln secx +tanx + C例10求不定积分fexdx r解 令X =t，则X =t2 , dx=2tdt于是:jedx=2jtetdt =2e(t-1) + C= 2eR-1) + C.例11求不定积分Jcosjl +xdx . 2解 令 / +x =t，则 X =t -1,dx =2tdt 于是JcosJl +xdx = Jcost 2t dt =2 Jtdsint =2tsint -2jsintdt= 2tsi nt +2cost +C=2 J1 + X sin / + X + 2cos J1 + x + C

33、 . XQ 宀工 n 八 I- arcs in e例12求不疋积分 fx dx .1 x arcs in e解令ex =t aO，贝y X =1 nt,dx =；dt,有Ff 1 )dx = fares in td I V t丿 1arcs in t + f dtttVT?dtarcsi nt+tt加=-1 arcsint - f；=It丿-1=-arcsint Tn t-1 +c=-1 arcsint Tnt+ln (1 + J1 -t2 )+C t=-e arcsineX-x + ln( 1 +Ve2x )+C .例13求不定积分farcs2inxdx .xa r ：s ixnjx = -

34、 f a r c s xn x1 1arxsf-nd a r cs in x=-arcsin x + f严 x对上式右端第二个积分，令X =sint，于是盒Hicsct-cotti+c所以=ln1J1 -X2x xarcs in x+C.dx = - arcsinx + ln x1-J1 -X2习题5- 31.求下列不定积分:(1) Jxsin2xdx;(2) Jx2cosxdx ；Jesin xdx ;(4) fdx ；x(5)Jarcsin xdx ;(6)(7) Jxn Inxdx,n 工-1 ；(8) J x2 arctanxdx ；(9)Jx2 In(1 + x)dx ；(10) 4

35、dx ；x2(11) J(arcsinx ) dx ;2(12) Jx cosxdx,丰 0 ;(13)Jdx .2.求下列不定积分:(1) fxta nxsecxdx;2x +3(3) Jtan2x-xsin(x2+1)dx ;(4) Jarctan Jxdx ;(5) Ie2xsin2xdx ;(6) fcos(lnx)dx .23已知f(x)的一个原函数是e，求jxf(x)dx .5.4有理函数的不定积分计算不定积分的基本方法是换元积分法和分部积分法，用这两种方法，可以求出许多2J ex dxsinx ,函数的不定积分，但不能保证一定把被积函数的原函数找出来，例如dx,x等不能用初等函数

36、表示出来.下面我们介绍原函数一定能找到的积分类型.5.4.1有理函数的不定积分有理函数是指两个多项式P(x)与Q(x)的商，即其中n是非负整数;R(x)_ P(x) _a0Xn+qx2 卄 +anQ(x)b0xm+ +bm(1)a。，ai,an，b0, 6,，bm是常数，且a0工0, b0HO .当n m时，R(x)称为有理假分式，当n cm时，R(x)称为有理真分式.有理假分式 购总可以用Q(x)除P(x)化为一个多项式 T(x)和一个真分式之和而多Q(x)项式的不定积分是容易求出的因此计算有理函数的不定积分主要是计算有理真分式的不 定积分.由于两个真分式的代数和仍是一个真分式，因此我们更希望把一个真分式化为若干个 简单的真分式之和.关于有理真分式在代数学上有下面的结论：设(1)式是有理真分式(n cm ),不妨设bo =1，则Q(x)总能分解成质因式之积,Q(x) =(xa严(X b) 3(x2 +px +