2020-2021学年人教A版数学选修2-1学案：2.3.1　双曲线及其标准方程 Word版含解析

1、2.3.1双曲线及其标准方程目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题重点 双曲线的定义及标准方程难点 双曲线标准方程的推导知识点一双曲线的定义填一填把平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距答一答1在双曲线的定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹还是双曲线吗？提示：不是，其轨迹是双曲线的一支2在双曲线的定义中，常数为什么要小于|f1f2|?提示：如果定义中常数改为等于|f1f2|，此时动点的轨迹

2、是以f1、f2为端点的两条射线(包括端点)如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段f1f2的垂直平分线如果定义中常数改为大于|f1f2|，此时动点轨迹不存在3平面内与两个定点f1、f2的距离的差等于非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹是不是双曲线？提示：不是，是双曲线的某一支在双曲线的定义中，p为动点，f1，f2分别为双曲线的左、右焦点，则|pf1|pf2|2a，曲线只表示双曲线的右支|pf1|pf2|2a，曲线只表示双曲线的左支知识点二双曲线的标准方程填一填答一答4双曲线的标准方程1(a0，b0)和1(a0，b0)有何异同点？提示：相同点：它们的形状、大小都相同，都有a0，b0和c2a2b2

3、.不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同5a，b，c的关系在双曲线方程1(a0，b0)，与椭圆方程1(ab0)中有什么不同？提示：在椭圆方程1中，a2b2c2；在双曲线方程1中，c2a2b2.1对双曲线定义的两点说明(1)距离的差要加绝对值符号，否则只为双曲线的一支若f1，f2表示双曲线的左、右焦点，且点p满足|pf1|pf2|2a，则点p在右支上；若点p满足|pf2|pf1|2a，则点p在左支上(2)在双曲线定义中，规定2a|f1f2|，若把|f1f2|用2c表示，则当2a2c时，动点p的轨迹不存在2对双曲线标准方程的四点认识(1)只有当双曲线的两焦点f1，f2在坐标轴上，并且线段f1f2的垂

4、直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，与椭圆中b2a2c2相区别，且椭圆中ab0，而双曲线中a，b大小则不确定(3)焦点f1，f2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上，若y2项的系数为正，则焦点在y轴上(4)双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式，即ax2by21(ab0)过点(，)，点p在双曲线c上，若|pf1|3，则|pf2|()a3b6c9d12【解析】(1)到两个定点距离之差的绝对值等于常数，并且这个常数

5、小于这两个定点的距离，根据双曲线的定义可知：动点的轨迹为双曲线故选c.(2)左、右焦点分别为f1，f2的双曲线c：y21(a0)过点(，)，可得：1，解得a3，b1，c，ac3，点p在双曲线c上，若|pf1|3，可得p在双曲线的左支上，则|pf2|2a|pf1|639.故选c.【答案】(1)c(2)c与焦点有关的问题应考虑利用定义，一些小巧的题目，其考查点就是双曲线的定义，合理利用定义往往是优化解题的关键.已知双曲线的方程是1，点p在双曲线上，且到其中一个焦点f1的距离为10，点n是pf1的中点，求|on|的大小(o为坐标原点)解：连接on，on是三角形pf1f2的中位线，所以|on|pf2|

6、，因为|pf1|pf2|8，|pf1|10，所以|pf2|2或18，|on|pf2|1或9.类型二双曲线标准方程的识别【例2】已知曲线c：1(t0，t1)(1)求t为何值时，曲线c分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线c有相同的焦点【分析】方程ax2by21表示的轨迹是由参数a，b的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对a，b进行讨论【解】(1)当|t|1，即t1或t0，t210，且t2t21，曲线c为椭圆；当|t|1，即1t0，t211时，曲线c是椭圆，且t2t21，因此c2a2b2t2(t21)1，焦点为f1(1,0)，f2(1,0)当|t|1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k

7、21所表示的曲线是(c)a焦点在x轴上的椭圆b焦点在y轴上的椭圆c焦点在y轴上的双曲线d焦点在x轴上的双曲线解析：原方程化为1，k1，k210，k10.方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线类型三求双曲线的标准方程【例3】(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和(，5)，求双曲线的标准方程(2)求与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程【分析】可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组，求得a，b，从而求得双曲线的标准方程注意对平方关系c2a2b2的运用【解】(1)由已知可设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则解得双曲线的方程为1.(2)解法一：设双曲线方程

8、为1.由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为1.解法二：设双曲线方程为1(4k16)，将点(3，2)代入得k4，所以所求双曲线方程为1.求双曲线的标准方程一般采用待定系数法.若明确焦点位置时，可直接设出双曲线方程，若无法判定双曲线的焦点位置，分两种情况讨论，或者将双曲线方程设为mx2ny21(mn0).同时在解题时应注意方法技巧的灵活运用.(1)已知双曲线过m(1,1)，n(2,5)两点，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线1有相同的焦点，且过点p(2,1)的双曲线的方程解：(1)设双曲线的方程为ax2by21(ab0)双曲线过

9、m(1,1)，n(2,5)，解得双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线的方程为1(24)双曲线过(2,1)，1，解得4(舍)或1，所求方程为1.类型四素养提升双曲线中的焦点三角形问题【例4】若f1，f2是双曲线1的两个焦点，p是双曲线上的点，且|pf1|pf2|32，试求f1pf2的面积【思路分析】【精解详析】由双曲线方程1，可知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|pf1|pf2|2a6，将此式两边平方，得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36，|pf1|2|pf2|2362|pf1|pf2|36232100.如图所示，在f1pf2中，由余弦定理，得cosf1pf20，f1pf2

10、90，sf1pf2|pf1|pf2|3216.【解后反思】在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件|pf1|pf2|2a的应用其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用双曲线1上有一点p，f1、f2是双曲线的焦点，且f1pf2，则pf1f2面积为9.解析：，|pf1|pf2|36，s|pf1|pf2|sin9.1双曲线1上一点p，到点(5,0)的距离为15，那么该点到(5,0)的距离为(d)a7b23c5或25d7或23解析：双曲线的焦点(5,0)，设f2，f1分别为双曲线的左、右焦点，故|pf1|15，由|pf1|pf2|8，解得|pf2|23或|pf2|7.2若方程3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(c)a1m2cm2d2m2解析：由题意得解得m0，b0)由0，得pf1pf2.根据勾股定理得|pf1|2|pf2|2(2c)2，即|pf1|2|pf2|220.又根据双曲线定义有|pf1|pf2|2a，两