初中圆知识点总结与练习

1、A(1) 在一个平面内，线段 OA绕它的一个端点0旋转 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点 叫做圆心，线段0A叫做半径，如右图所示。(2) 圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合，定点为圆心，定长为圆的半径。说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆2 圆的有关概念DB(1) 弦：连结圆上任意两点的线段。(如右图中 的 CD)。(2) 直径：经过圆心的弦(如右图中的 AB)。 直径等于半径的2倍。(3) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。(如 右图中的Cd、Cad )其中大于半圆的弧叫做优弧，如 Cad，小于半圆的弧叫做劣弧。(4) 圆心

2、角：如右图中/ COD就是圆心角。3. 与圆相关的角(1) 与圆相关的角的定义 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。(2) 与圆相关的角的性质 圆心角的度数等于它所对的弦的度数； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆(或直径)所对的圆周角相等； 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角； 两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。(1)

3、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。(2) 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等【例1】 下面四个命题中正确的一个是()A. 过弦的中点的直线平分弦所对的弧B. 过弦的中点的直线必过圆心C. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D. 弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C_与圆有关的位置如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:(1)点在圆外？ dr(2)点在圆上？ dr(3)点在圆内？ dr2.直线和圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离(1)直线和圆相离

4、？dr，直线与圆没有交点；(2)直线和圆相切？dr，直线与圆有唯一交点；(3)直线和圆相交？dr，直线与圆有两个交点。3.两圆的位置关系设R、r为两圆的半径，d为圆心距(1)两圆外离？ dR +r ；(2)两圆外切？ dR +r ；(3)两圆相交？ Rr d r)；(5)两圆内含？ dR-r(R r)。(注意：如果为d1.点与圆的位置关系=0 ,则两圆为同心圆。4.切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可这点和圆心的即： MN OA且MN过半径OA外端 MN是O O的切线(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如

5、上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。5. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等, 连线平分两条切线的夹角。即： PA、PB是的两条切线 PA PBPO平分 BPA【例2】 已知。O的半径为1,点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2 2x+ d=0有实 根，则点P()A. 在O O的内部B.在O O的外部C.在O O上D.在O O上或O O的内部【答案】D【例3】 已知：如图，PA PB分别与O O相切于A, B两点.求证：OP垂直平分线段 AB.【答案】略【例4】 已知：如图，PA切O O于A点，PO/ AC, BC是O

6、O的直径.请问：直线 PB是否与 O O相切？说明你的理由.【答案】直线PB与O O相切.提示：连结 0代证4 PAOA PBO【例5】已知：如图，O Oi与OO2外切于A点，直线I与O Oi、OO2分别切于B，C点，若O Oi 的半径ri=2cm，O O2的半径r2=3cm.求BC的长.【答案】2 6cm .提示：分别连结OiB，O1O2，O2C.【例6】如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，O A，O B的半径均为Icm.O A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，OB的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s) 之间的关系式为r=1 + t(t 0).(1) 试写出点A，

7、B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式；(2) 问点A出发多少秒时两圆相切？【答案】(1)当 0t5.5 时，d= 2t 11.(2)第一次外切，t = 3;第一次内切，t耳；3第二次内切，t = 11;第二次外切，t= 13.垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1： (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O O 中AB / CD弧 AC 弧 BD【例7】在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为1

8、6cm，那么油面宽度AB是cm.【答案】4 159【例8】如图，F是以0为圆心，BC为直径的半圆上任意一点,A是館的中点，AD丄BC于D，1 求证：AD二BF.2【答案】提示：连接OF,证明VADO ,VFOE ,VBOE圆周角定理C三角形。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一即： AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB 2 ACB半。2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即：D都是所对的圆周角推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦即：在O O中， AB是直径或 C

9、 90是直径。C 90 AB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，T OC OA 0B ABC是直角三角形或 C 90【例9】已知：如图，AB是。O的直径，弦 CD丄AB于E,Z ACD=30，AE=2cm.求DB 【答案】4、3cm.【例10】已知：如图，O O的直径AE=10cm,Z B=Z EAC求AC的长.【答案】提示：连结CE不难得出AC 5.2cm.与圆有关的计算【例11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB, AC夹角为120, AB的长为30cm, 贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为（cnmA. 10

10、0 nB.C. 800ncnmD.).4002n cm38002n cm3【答案】D【例12】已知：如图,以线段AB为直径作半圆Oi,交半圆O2于D点.试比较与1.的长.【答案】；E的长等于的尬长.提示：连结O2D.以线段AO为直径作半圆02,半径OiC即：在。O中，弦AB、CD相交于点P , PA PB PC PD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比即：在O O中，直径AB CD ,2二 CE AE BE2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是线与圆交点的两条线段长的比例中即：在O O中PA是切线，PB是割线2PA PC PB这点到割例中项。E项。

11、3.害熾定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每1.圆周长：c = 2pR2.弧长：1 =-nPR ；180 3.圆面积：2S= PR ;4.扇形面积:-S扇形_:条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 即：在。O中， PB、PE是割线 PC PB PD PE【例13】如图，P是。0外一点，PC切。0于点C, PAB是OO的割线，交。0于A、B两点, 如果PA P吐1: 4，PC= 12cm OO的半径为10cm则圆心0到AB的距离是【答案】9正多边形与圆1.正三角形在O 0中厶ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进行：0D : BD : 0B 1: .3:2 ；2. 正四边

12、形同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行，OE:AE:OA 1:1: .2 :3. 正六边形同理，六边形的有关计算在 Rt OAB中进行，AB :OB : OA 1: . 3:2 .【例13】已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足1 a 2，则这个多边形是（）RA. 正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形【答案】C提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有R a 2R因为 a6 R， a4- 2R，所以 a6 a a4则a6a5a4，是正五边形，应选 G课后练习题【例1】若P为半径长是6cm的O O内一点，OP= 2cm，则过P点的最短的弦长为（）.A. 12cmB. 2.2

13、cmC. 4 - 2cmD. 8 2cm【答案】D【例2】若O O的半径长是4cm，圆外一点A与OO上各点的最远距离是12cm，则自A点所 引O O的切线长为（）.A. 16cmB. 4 3cmC. 4、2cmD. 4.6cm【答案】B【例3】OO中，/ AOB= 100,若C是上一点，则/ ACB等于（）.A. 80B. 100【答案】A【例4】三角形的外心是（）.A.三条中线的交点C.三条边的垂直平分线的交点 【答案】CC. 120D. 130B. 三个内角的角平分线的交点D. 三条高的交点【例5】如图，A是半径为2的O O外的一点，OA= 4, AB是O O的切线，点B是切点，弦 BC/

14、 OA,贝,.的长为（）.7题图B.A.2C. nD. n * 33【答案】A【例6】如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿 ；，声*，心机，為加路线爬行，乙虫沿云亍路线爬行，贝U下列结论正确的是（）.A.甲先到B点C. 甲、乙同时到B点【答案】C【例7】如图，同心圆半径分别为A. nB. 4 n38题图B.乙先到B点D. 无法确定2和1，Z AOB= 120,则阴影部分的面积为（ 9题图C. 2 nD. 4 n).【答案】C【例8】如图，在O O中，AB为O O的直径，弦CD丄AB,Z AOO60，则/ B=.【答案】30【例9】如图，将半

15、径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O,则折痕AB的长为【答案】2 . 3cm.【例10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB切小圆于C点，AB= 12cm. 求两个圆之间的圆环面积.【答案】36 cm2.提示：连接OC,OA.【例11】如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三 个圆完全覆盖，求这个大圆片的半 径最小应为多少？【答案】设三个圆的圆心为O1、O2、O3,连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正 O1O2O3,则正 O1O2O3外接圆的半径为3 cm,所以大圆的半径为4 3 +2=- 6333【例12】如图，在 ABC中，/ C=90,以BC上一点0为圆心，