分式方程竞赛题

1、第一讲 分式方程（组）的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解, 转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变 形时可能会扩大（或缩小）未知数的取值范围，故必须验根.例1解方程解 令y= x2+ 2x-8,那么原方程为去分母得y(y- 15x)+ (y+ 9x)(y- 15x) + y(y+ 9x)= 0,y 4xy- 45x2= 0,(y+ 5x)(y 9x)= 0,所以 y= 9x 或 y= 5x.由 y= 9x得 x2 + 2x 8= 9x,即卩 x2 7x 8= 0,所以 Xi= 1,8;由 y= 5x,得 x +

2、 2x 8 = 5x, 即卩 x? + 7x 8= 0,所以 X3= 8, x4 = 1. 经检验，它们都是原方程的根.例2解方程 解 设y= x4x，则原方程可化为y+ 72 18= 04x + 72x1x2卫18 = 0 +4x72x 72x2 4x18= 0x 1yy2 18y+ 72= 0,所以 yi = 6 或 y2= 12.当y= 6时,x2 4x=6x2 + 4x = 6x 6,故x2 2x+ 6 = 0,此方程无实数根.当y= 12时,x2 4xrr=12,x2 + 4x= 12x 12,故 x2 8x+ 12= 0故 x2 8x+ 12= 0,例5解方程所以X1 = 2或X2

3、= 6.经检验，X1 = 2, X2= 6是原方程的实数根.例3解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为1+2x 1(3整理得53 x 22x 1 x 2 x 3x 2去分母、整理得x+ 9= 0, x = 9.经检验知，x= 9是原方程的根.例4解方程x 1 x 6 x 2x 5+ = + - x2x7x3x 6分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1 ,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简.原方程化为1 1(x 6)(x 7) = (x 2)(x 3)所以(x+ 6)(x+ 7)= (x + 2)(

4、x+ 3).9解得x=-.29经检验x= 是原方程的根.2x(x 1) x(x 1)1 =11(x 9)(x 10)12分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简原方程变形为 1111. 1 1 11Lx 1 x x x 1 x 9 x 1012整理得去分母得x2+ 9x-22= 0,解得捲=2, X2= 11.经检验知，X1 = 2, X2= 11是原方程的根.例6解方程分析与解 分式方程如比利式-=-,且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反,b d故可考虑用合比定理化简.原方程变形为(2x2 3x 2)

5、(2x2 3x 2)(2x2 5x 3)(2x2 5x 3)2x2 3x 22x2 5x 32 24x4x2x2 3x 2 2x2 5x 3所以x = 0 或 2x 3x 2 2x + 5x 3.1解得x= 0或x= -8经检验，x= 0或x=-都是原方程的根.8例7解方程分析与解 形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反， 故可考虑用合分比定理化简原方程变形为即1=48x 8x当XM0时，解得x = 1 .经检验，x=1是原方程的根，且x= 0也是原方程的根.说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.1i像x - a -这类特殊类型的方程可以化成一元二次方

6、程，因而至多有两个根.显然x aaM 1时，Xi = a与X2就是所求的根.例如，方程x -3-，即x - 3 -，所以Xi= 3,ax3x 31x2= 3 解将原方程变形为例8解方程解得2X X2X1T+FX2123F1=3 +2，2X2XX 1T则原方程变为yi=1 时,2当x当 2X口 = 3 时,1 2由 -=2，得人=a 2b;由 a b xx = 1 b x=2,得 X2= b 2a.经检验x=1及Q宁均是原方程的根.例9解关于x的方程axbx1-+=2_.xax2将X1 = a 2b或X2= b 2a代入分母b + x,得a b或2(b a),所以，当ab时，X1=a 2b及X2

7、= b 2a都是原方程的根.当a= b时，原方程无解.例10如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根.分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2 2x+ (a+ 4)= 0.原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根，即 = 4 4 24+ 4)= 0.71解得a=.此时方程的两个相等的根是 Xi = X2=-.2 2(2) 方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根 为0或2.(i) 当x= 0时，代入式得a+ 4= 0,即a= 4.这时方程的另一个根是 x= 1(因 为2x2 2x = 0, x(x 1)= 0，X1

8、 = 0或X2= 1.而X1= 0是增根).它不使分母为零，确是原方 程的唯一根.(ii) 当x = 2时，代入式，得2 X 4 2 X 2 + 4)= 0，即a= 8.这时方程的另一个根是 x= 1(因为2x2 2x 4= 0. (x 2)(x+ 1)= 0,所 以X1 = 2伸根)，X2= 1).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是2， 4, 8,其对应的原方程的根一次为,1, 1练习一填空：(1) 方程x 丄 10-的一个跟是10,则另一个跟是.x 82(2) 如果方程 型=有等值异号的根，那么m =.ax c m 1(3) 如果关于x的方程 亠+占主=孚有增根x= 1,则k= _.x x x x x 1(4) 方程口+口 = 1的根是2.x 1 x 13解方程