高中双曲线解题方法

1、高中双曲线解题方法学校 慈济中学姓名 晋春 典型例题 双曲线定义与几何性质 例1到两定点f1(3，0)，f2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点m的轨迹是 a椭圆 b线段c双曲线 d两条射线答案： d评注 在椭圆和双曲线的定义中，仅是“和”与“差”一字的区别，其它完全一致但它们的图象却完全不同了此题易忽略双曲线条件，而选d 例2 ak5 bk5或2k2ck2或k2 d2k2略解 方程的图形是双曲线，(k5)(|k|2)0解得 k5或2k2，故选b 例3 a四个焦点共圆b互为共轭双曲线c都是等轴双曲线答案： d注意： 两双曲线有共同的渐近线是两双曲线互为共轭双曲线的必要不充分条件 例4设是第四

2、象限的角，那么方程x2siny2=sin2所示的曲线是 a焦点在x轴上的椭圆；b焦点在y轴上的椭圆；c焦点在x轴上的双曲线；d焦点在y轴上的双曲线解：sin0，且2(4n，4n)，(nz)，sin20，双曲线的实轴在x轴上，故应选(c)评注： 1本题涉及的知识点是：双曲线的标准方程2判断ax2by2=c的曲线，首先按ab0与ab0划分为两大类：ab0时，为椭圆；ab0时，为双曲线再在每一类中，按ac的正负及bc的正负进行讨论，其结论可列表如下：3对方程ax2by2=c的曲线的判断，需正确掌握椭圆、双曲线的标准方程和把握划分的标准 例5交点个数为 a1； b2；c3； d0解： 过右焦点(5，0

3、)，倾角为45的直线方程为y=x5评注： 1本题涉及的知识点是：双曲线方程、焦点坐标、直线方程和直线与二次曲线的交点2直线与双曲线交点的个数，一般可以从直线方程与双曲线方程构成的方程组的实数解的个数来判断如果直线经过双曲线内部的一点(x0，y0)，那么直线与渐近线不平行时，直线与双曲线有两个交点；直线与渐近线平行，直线与双曲线有且只有一个交点如果直线经过双曲线外部一点(x0，y0)，那么直线与渐近线平行时，直线与双曲从直观上直接获得 例6心率e的取值范围解： 如图，设m点在双曲线右支上，且它到右焦点f2的距离等于它到左准线的距离|mn|，即|mf2|=|mn|e1，e2e0，1ee2e但e1，

4、评注： 题利用双曲线第二定义及焦点半径公式，大大地简化了计算 例7值解法一 设|mf1|=r1，|mf2|=r2，m(x0，y0)，代入r1=ex0a，r2=ex0a，得解法二 如图，作mf1f2的内切圆o，n为o与x轴的切点|nf1|nf2|=2c，又由切线长定理，知|nf1|nf2|=2a，|nf1|=ac，|nf2|=ca评注 解法二充分利用了双曲线定义，计算最大幅度下降，不难看出n点恰好是右顶点 例8求渐近线为x2y=0且与直线5x6y8=0相切的双曲线的方程解： 设双曲线方程为x24y2=， 设切点为(x0，y0)，则切线为x0x4y0y=0 它应与5x6y8=0重合，0，=4评注：

5、 通过设双曲线学而求之 例9kmfkqf=1，故mfqf评注： 通过双曲线方程而设切线方程 求双曲线方程 例1解法一 若焦点在x轴上，设双曲线方程为与a0，b0矛盾，舍去若焦点在y轴上，设双曲线方程为解法二 设双曲线方程为ax2by2=1， (*)评注： 当不易确定双曲线类型时，采取解法二中的设法可以减少一些不必要的计算，简化解题过程 例2为4，求这双曲线的方程解法一解法二=4a=2，b2=c2a2=3222=5解法三评注 解法一为常规解法；解法二的特点是利用双曲线定义；解法三是利用曲线系(共焦点系)，它们各有利弊，同学们在应用时应视具体情况而定 例3求过点a(1，4)且以y=2x为渐近线的双

6、曲线方程解 设双曲线方程为(2xy)(2xy)=，将a(1，4)代入，得=12评注 这里用曲线系解法，避免了选择双曲线类型的麻烦，值得推广 例4解 设双曲线方程为y2x2=a2双曲线是等轴的，得a=2双曲线方程为y2x2=4 例5解 设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、离心率分别为a、b、c、e 例6分析：曲线的标准方程时，如果不知道实轴在x轴还是在y轴常常需要先判断出实物在哪条轴上，或者分别设出这两种标准形式，再根据具体解答来确定一种答案，如例3解法一，这无疑是麻烦的对于这类题目能不能事先加以判断，而直接根据题意，只设一个方程，得到正确答案呢？认真观察上面的两个标准方程，不难发现它们可用一

7、种形式统一起来表这样的设法，就可以使一些不知实轴在哪条轴求双曲线标准方程的题目解答得以优化解： 评注 此题是巧设双曲线方程设的根，解起来就方便 例7解 由题设知，所求的双曲线方程是标准方程，而且它到图形是等轴双曲线k=8评注： 例8解法一由联立，得方程组无解解法二评注 解法一注意有共同渐线方程分焦点在x轴，y轴上解法二直接设有共同渐线 例9解 设所求的双曲线方程为过右焦点f(c，0)的直线方程为曲线表示过原点的两条直线，且过与的两个交点p、q(同时满足与的点的坐标，必满足)，所以方程即直线op、oq的方程 opoq，故op、oq的斜率k1、k2之积为1，而k1、k2是方程即 3a48a2b23

8、b4=0，亦即(3a2b2)(a23b2)=0，a23b20，b2=3a2由，可推出c=2a，设d、q与pq的中点m的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x0，y0)，则b2x12a2y12=a2b2，b2x22a2y22=a2b2两式相减，得b2(x12x22)=a2(y12y22)评注 1本题涉及的知识点是：双曲线方程、直线方程、二元二次齐次方程、斜率、中点公式和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半a、b的方程，通过解方程获解但困难在于如何运用数学语言建立数学模型(这里是建立方程)，要从opoq获得a、b之间的关系，关键是如何求直线op和oq的方程，从此联想到二元二次齐次方程这为导

9、出b2=3a2创造了条件为了利用|pq|=4的条件，从opq为直角三角形，推出pq的中点m到中心o的距离为2，因此须就绕过了许多繁琐的运算3这是1991年全国高考理工类的最后一题，综合性较强，没有娴熟的数学语言是难以获得完解的 例10解 如图，以f1f2所在直线为x轴，线段f1f2的中垂线为y轴，建立直角坐标系|pq|qf2|=21，：b2=3，故a2=1评注 1本题涉及的知识点是：双曲线方程、分点公式和解方程组的基本方法建立含a、b的方程，从条件|pq|qf2|=21，欲求点q的坐标，只要由f1(c，3 这是1991年湖南、云南、海南三省的高考题 直线与双曲线的关系 例1解 设直线xcosy

10、sin=p， 、两方程表示同一直线，即 a2cos2b2sin2=p2评注1本题涉及的知识点是：双曲线的切线方程和两直线重合的充要条件2这是利用切线方程求直线与二次曲线相切条件的方法，可应用于一切二次曲线 例2已知双曲线的两条渐近线方程为3x4y=2，3x4y=10，一条准线方程为5y4=0，求此双曲线的方程和顶点、焦点的坐标解 因准线方程为5y4=0，可知双曲线的实轴与y轴平行，从已知渐近线方程，可设所求的双曲线方程为(3x4y2)(3x4y10)=，即 3(x2)4(y1)3(x2)4(y1)= 准线方程为5y4=0，从中心(2，1)到准线的距离为从此解出 =34=12其图象如图所示双曲线

11、的实轴为 x=2，a=3，c=5顶点坐标为(2，4)、(2，2)；焦点坐标为(2，6)(2，4)评注1本题涉及的知识点是：双曲线方程、共渐近线双曲线系方程、准线，中心到准线的距离和双曲线的a、b、c、e之间的关系2由于所求双曲线的实轴与y轴平行，所以此双曲线方程应为(3x4y2)(3x4y10)=如果设成(3x4y2)(3x4y10)= ，那就将造成失误3本题也可以利用坐标轴平移来解，但过程不如上面解法简明利用平移求顶点、焦点坐标，不小心也易出错作出双曲线的图象，可检验解的正误，这是防止错误的方法之一4这是共渐近线双曲线系方程的应用的又一例子，再次显示待定系数法的作用 例3(1)当b2a2时，

12、为共焦点的双曲线系；(2)当b2a2时，为共焦点的椭圆系；(3)当a2b2时，无轨迹证 (1)当b2a2时，方程为而 a20，b20，故此方程的曲线为双曲线，且半焦距(2)当b2a2时，a20，b20，方程为(3)当a2b2时，a20，b20，所以方程的曲线为空集，即无轨迹评注 1本题涉及的知识点是：椭圆方程、双曲线方程和a、b、c(半长轴、半短轴、半焦距)之间的关系2椭圆、双曲线都有对称中心，故均为有心圆锥曲线，简称有心锥线，方程 例4短距离解 与直线l：y=x3平行的双曲线的切线方程可设为y=xm， =(50m)2416(25m2925)0，解得 m=4根据题意，取 m=4将m=4代入(*

13、)式中得16x2200x625=0 例5已知双曲线x2y2=4，直线l：y=k(x1)试讨论实数k的取值范围(1)直线l与双曲线有两个公共点(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点(3)直线l与双曲线没有公共点解： 当1k2=0，即k=1，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x=5，故此时方程(*)只有一个实数解；当1k20，即k1时，=(2k2)24(1k2)(k24)=4(43k2)，评注一般地，设直线l：y=kxm(m0)(1)(2)把(1)代入(2)得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b2=0针对b2=a2k2进行分类讨论相交于一点，如图所示=(2a2m)24(b2a2k2)(

14、a2m2a2b2)注意： 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 轨迹题 例1一动点到一定点f的距离等于到一定圆周的最短距离，试求动点的轨迹解 设定圆圆心为f，半径为2r；取定点f与f的连线为x轴，ff的中点o为原点建立直角坐标系设f、f的坐标分别为f(c，0)，f(c，0)，p(x，y)为轨迹上任意一点(1)f在定圆f之内(0cr)，fp交圆于q，如图1|pf|pf|=|pf|pq|=2r， 点p的轨迹为以f、f为焦点，长轴长为2r，焦点在x轴上的椭圆：(2)f在定圆f之外(0rc)，fp交圆于q点，如图2|pf|pf|=|pf|pq|=2r，点p的轨迹为以f、f为焦点，

15、实轴长为2r，实轴在x轴上的双曲线：(3)f定圆f上(c=r)，如图3|pf|pf|=2r，(xr)2y2(xr)2y2=4rx，有y=0，(xr)故轨迹为x轴在点f左侧的射线评注 1本题涉及的知识点是：椭圆、双曲线的定义、求轨迹方程的基本法则和划分2定圆与定点的位置有三种可能：圆内、圆外、圆上，不加区分或不能正确划分，而造成遗漏、重复是出现失误的原因把所求的轨迹化归为已知轨迹，直接写出轨迹方程，也是一种求轨迹的基本方法3为了答案的和谐优美，应注意坐标系的选取，如果取f为原点，则将失去轨迹方程的对称性这三种情况的轨迹方程各异，但也可以统一写成：(r2c2)x2r2y2=r2(r2c2)当rc时

16、，是椭圆；当rc时，是双曲线；当r=c时，是射线 例2已知以y轴为准线的动双曲线的右支经过点r(1，2)，且半虚轴长b、半实轴长a、半焦距c成等差数列，求双曲线的右焦点f的轨迹方程解 设f(x，y)为轨迹上任一点2a=bc，a2b2=c2，5b22bc3c2=0故(5b3c)(bc)=0点r(1，2)到准线(y轴)的距离d=1评注 1本题涉及的知识点是：等差数列、双曲线的半实轴长、半虚轴长、半焦距长之间的关系和双曲线的概念(到定点的距离与到定直线距离之比为定值(离心率)2，从题设条件找出轨迹条件是这一范例的难点在已知准线和过双曲线上一已知点，求对应焦点的轨迹，联想到双曲线概念：到定点(焦点)的

17、距离与到定直线(准线)距离之比为定值(离心率)是突破难点的关键将轨迹条件解析化(坐标化)，即获所求轨迹方程3本题条件不变，改为求双曲线右顶点的轨迹，只要再次应用双曲线的定义，求出右顶点和右焦点的联系，即可迎刃而解 例3ob上的射影分别为m、n如果四边形ompn的面积为定值a2，试求点p的轨迹解 取顶点o为原点，aob的内角平分线为x轴，建立直角坐标系如图设p(x，y)为轨迹上任意一点，令xop=，则|om|=|op|=cos()=|op|coscos+|op|sinsin=xcosysin，|on|=|op|cos()=|op|coscos|op|sinsin=xcosysin，|pm|=|o

18、p|sin()=|op|cossin|op|sincos=xsinycos，|pn|=|op|sin()=|op|cossin|op|sincos=xsinycos四边形ompn的面积为a2即 |om|pm|on|pn|2a2，(xcosysin)(xsinycos)(xcosysin)(xsinycos)2a22x2sincos2y2sincos2a2，p点在aob内部运动，评注 1本题涉及的知识点是；坐标概念、坐标系的选取、三角函数概念、和角公式和求轨迹的基本法则2取aob的内角平分线为x轴，可使轨迹方程和谐优美，取xop=，实质上是参数，引入参数可使四边形ompn的面积便于解析化，使得轨

19、迹条件的解析化成为可实施的4在学习极坐标以后，应用极坐标系解则更简便 例4(1)过点a(2，1)的直线l与所给双曲线交于两点p1、p2，求线段p1p2中点p的轨迹方程；(2)过点b(1，1)能否作直线m与所给双曲线交于两点q1、q2，且点b是线段q1q2的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由解 (1)设p(x0，y0)为轨迹上任意一点，则所求点p的轨迹为2x02y024x0y0=0以(x，y)代(x0，y0)所求轨迹方程为2x2y24xy0直线m的方程为y1=2(x1)，即y=2x1代入双曲线方程，得2x2(2x1)2=2，即2x24x3=0，=42423=80直线m与

20、双曲线不相交，即q1、q2两点不存在，亦即以b(1，1)为中点，以双曲线的弦不存在评注 1本题涉及的知识点是：双曲线的弦的斜率和此弦中点与中心连线的斜率之积为定值、直线方程、直线与二次曲线的位置关系和求轨迹方程的基本法则2如果设过点a(2，1)的直线的斜率为k，则直线方程为y1=k(x2)，代入双曲线方程，得2x2(kx2k1)2=2，(2k2)x22k(2k1)x(2k1)22=0方程的两个根x1、x2即p1、p2的横坐标如果k不存在，则直线为x=2，代入双曲线方程，有方程即为所求轨迹方程这一解法的实质，是取直线的斜率k为参数，从方程、消去k，即得所求轨迹方程3求二次曲线弦的中点的轨迹方程，

21、常可利用已知弦的中点的弦所在直线的方程这样解过程比较简明 例5解 设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为 切线在两坐标轴上的截距相等，切点在有心锥线系上，x02x0y0=6k，x0y0y02=15k：x02y02=9以(x，y)代(x0，y0)即得所求轨迹方程为x2y2=9，故轨迹为等边双曲线评注 1本题涉及的知识点是：圆锥曲线已知切线方程和消去法2求轨迹方程的参数法则的活用是本题的关键，消参数是本题的困难所在，这里引入一比例常数t(实质上t也是有意引入的参数)使消去k的过程获得简化3与椭圆一章的例44、45对照看，或可加深理解 例6求等边双曲线xy=c2的定长为2d之弦中点的轨迹方程解 设

22、弦的中点坐标为(x0，y0)，倾角为，因弦长为2d，所以弦两端的坐标分别为(x0dcos，y0dsin)、(x0dcos，y0dsin)(x0dcos)(y0dsin)=c2(x0dcos)(y0dsin)=c2：x0siny0cos=0，代入或：d2sincosx0y0c2=0，(x02y02)(x0y0c2)=d2x0y0以(x，y)代(x0，y0)，即得所求轨迹方程：(x2y2)(xyc2)=d2xy评注 1本题涉及的知识点是：等边双曲线方程、直线参数方程、消去法和求轨迹方程的参数法则2利用直线参数方程，写出定长之弦两端点的坐标，是本题的关键根据弦两端在双曲线上，可得两个方程：与，从中消

23、去参数，即得所求轨迹方程坐标为从方程、中消去参数t1、t2也可得所求轨迹方程由于所选参数不同，可有多种解法 例7过圆x2y2=a2，(a0)上一动点m引等边双曲线x2y2=a2的两切线，求两切点连线的中点p的轨迹方程解 设点m的坐标为(acos，asin)，引双曲线的两切线的切点弦方程为axcosaysin=a2，即 xcosysin=a如设此弦的中点为(x0，y0)，则双曲线的弦所在直线的方程为x0(xx0)y0(yy0)=0，即 x0xy0y=x02y02方程、表示同一直线cos2sin2=1，(x02y02)2=a2(x02y02)以(x，y)代(x0，y0)，即得所求轨迹方程为(x2y

24、2)2a2(x2y2)评注 1本题涉及的知识点是：圆方程、双曲线方程、双曲线的切点弦方程、以(x0，y0)为中点的弦所在直线的方程、两直线重合的充要条件和消去法2这是求轨迹方程的参数法则的灵活应用，从切点弦和以(x0，y0)为中点弦所在直线的方程，从两种角度求同一直线的方程，应用两直线重合的条件，消去参数，获得所求轨迹方程从变到不变，又从不变到变充满着辩证思维变与不变的相互转化不是无聊的游戏，而是解决数学问题有力的杠杆3以(x0，y0)为中点的弦所在直线的方程参见本章例14 例8双曲线b2x2a2y2=a2b2的动切线与中心引动切线的垂线相交于点p，试求点p的轨迹方程解 过中心o向切线引的垂线

25、的方程为即所求轨迹方程为(x2y2)2=a2x2b2y2评注 1本题涉及的知识点是：双曲线的切线方程、直线方程和求两动直线交点的轨迹方程的方法2求动直线交点的轨迹的方法是选择一恰当的参数，求出两动直线的方程，从中消去参数即得所求轨迹方程3这一轨迹(x2y2)2=a2x2b2y2称为双曲线的垂足曲线将双曲线换成别的曲线，可求其它曲线的垂足曲线这是一种常见的轨迹题 例9平面abc的两个顶点a、b分别为椭圆x25y2=5的焦点，且三内角a、a2=5，b2=1，c2a2b2=4设a(2，0)，b(2，0)，则|ab|=4这表明动点c到两定点a、b的距离之差为定值，所以动点轨迹是双曲线的右支，且其方程为

26、标准方程2m=2，m=1，半焦距c=2n2=c2m2=3评注 本题是与双曲线有关的轨迹方程问题，要深刻理解双曲线定义中，“差的绝对值是常数”把问题满足方程但不在轨迹的点除去，此题所求的轨迹是双曲线的一支 最值与其他 例1在曲线log2xlog2y1上找一点p(x，y)，使x2y22(xy)之值最小解 方程log2xlog2y=1，即xy=2，(x0，y0)此曲线为双曲线xy=2在第一象限内的一支令s=x2y22(xy)=(xy)22xy2(xy)=(xy)22(xy)4=(xy1)25评注 1本题涉及的知识点是：对数运算律、配方法和平均不等式2这是条件最值问题，目标函数是已知的解法的关键是利用

27、限制条件，对目标函数作等价变形，使得便于利用不等式求出最值 例2以曲线xy=a2与曲线y=x2xa2的三交点为顶点的三角形面积，当a(0a1)取何值时为最大？解 得三交点的坐标分别为a(1，a2)、b(a，a)、c(a，a)直线bc的方程为yx=0，评注 1本题涉及的知识点是：二元二次方程组的解法、两点间的距离、点到直线的距离、三角形的面积和平均不等式的应用2这是最值问题，首先从建立目标函数入手，应用解方程组求出三角形三顶点的坐标，再确定三角形的面积如何求sabc=a(1a2)最大值是难点学过初等微积分后，对此题是极易解决的在初学数学范围里，借助平均不等式是常用的方法 例3略解 与到准线的距离

28、和最小， 例4解 2=f2pm，则评注 1本题涉及的知识点是：椭圆、双曲线方程、和角正切公式、反三角函数概念和三角函数恒等变换2这是综合性较复杂的题,由于采用了三角代换a=tan简化大量繁冗的运算,见数学思维方法的领会和自觉运用的重要性3这是1993年上海市高考的压阵题 例5则f1pf2的面积是 解 设点p的坐标为(x，y)，则|pf1|=exa，|pf2|=exa此双曲线的半焦距f1pf2=90，|pf1|2|pf2|2=(2c)2评注 1本题涉及的知识点是：双曲线方程、焦半径、勾股定理和三角形面积点p的坐标就可以了利用勾股定理，建立含x的方程，求得x的值，问题就解决了3按方程观点求双曲线方

29、程与以|f1f2|为直径之圆方程(xc)(xc)y2=0，即x2y2=5联立，求出|y|，也可求f1pf2的面积 例6双曲线x2y22ax=0与圆(x1)2y2=1恰有三个交点，则a的值为_解 从圆方程有x22xy2=0，即y2=x22x，代入双曲线方程，有2x22(a1)x=0，x1=0，x2=a1当x1=0时，y2=2xx2=0，所以一个交点为(0，0)当x2=a1时，y2=2(a1)(a1)2=1a2当且仅当1a20时，有两个交点，a(1，1)但双曲线方程x2y22ax=0中，a0，a(1，0)(0，1)评注 1本题涉及的知识点是：两曲线的交点坐标为两曲线方程构成的方程组的实数解和二元二

30、次方程组的解法2双曲线x2y22ax=0和圆(x1)2y2=1的交点的个数就是方程组 例7双曲线x2ky2=a2中，与虚轴平行的弦的两端点和双曲线顶点所张的两角互补，求k分析 本题应注意双曲线的对称性所张两角若互补，则它们的半角即互余，再利用三角公式就可以求出k的值解 如图33，设双曲线上弦一端点为p(x0，y0)，平行于虚轴(y轴)的弦pq交x轴于m点，设a，a为双曲线两顶点，则a(a，0)，a(a，0)再设pam=，pam=由已知，知22=180cot()=0tantan1、联立，得k=1评注 这本是等轴双曲线的一个性质，此题是将这性质反过来改编而成的 例8的距离分析 此题题面上是求两点间

31、距离，又f点坐标易知，故求c点坐标是关键，解题过程的实质是解方程组解 易知双曲线右焦点为f(5， 0)显然，直线ab的方程为y=x5消去y，整理，得7x290x369=0方程的两根x1、x2为a、b两点的横坐标，设c(x，y)，则由中点公式及韦达定理，得由c点坐标满足，评注 解析几何计算题中，往往不直接解方程组，而是利用韦达定理直接得出要求的量，这是应注意的方法 例9 abbac2bd2a解 按对称轴可知(c，0)到bxay=0，或(c，0)到bxay=0的距离均为b，应选(a)评注 c之间的关系式a2b2=c2和点到直线的距离2只要熟练掌握上述知识点，都能获得正确解答可见，不应用点到直线的距

32、离公式，也可快速得解因此，熟练把握椭圆、双曲线、抛物线的图象也可提高思维的敏捷性 例10方程是_解 评注 1本题涉及的知识点是：椭圆、双曲线方程及焦点、渐近线、点到直线的距离和圆方程2只要熟悉椭圆、双曲线、圆的基本知识，容易获解这是巩固基本知识的好练习题 例11f的距离解 程为代入双曲线方程，得评注 1本题涉及的知识点是：双曲线方程、焦点坐标和直线的参数方程2设弦通过的定点为p0(x0，y0)，倾角为，则弦所在直线的参数方程为c=0(a0)其两根为t1、t2，那么弦长为|t1t2|，不是|t1t2|，初学者常易混淆，应注意防止，如果m为弦的中点，那么这一范例的作用，有助于澄清这些模糊认识3求二

33、次曲线的弦长除了利用直线参数方程外，还可将二次曲线方程化以右焦点为极点的极坐标方程来解，但只适用求焦点弦长，不适用于一般弦长，这也应注意区分，不过新教材极坐标问题已删除，有兴趣者可自己学习4利用弦所在直线的其它形式的方程也可解，但运算量往往稍大 例12解 (b2cos2a2sin2)t22(b2x0cosa2y0sin)tb2x02a2y02a2b2=0，其判别式为：=4(b2x0cosa2y0sin)24(b2cos2a2sin2)(b2x02a2y02a2b2)p为弦的中点，方程的两根t1、t2之和为0即b2x0cosa2y0sin=0令cos=a2y0，sin=b2x0，(0)，=42a

34、2b2(b2x02a2y02)(b2x02a2y02a2b2)即点p(x0，y0)在图中阴影以外的区域时，弦与双曲线有两个实交点，弦所在的直线方程为b2x0(xx0)a2y0(yy0)=00时，由于()的解为图中的阴影区域，而()无解当p在图中阴影区域内时，弦与双曲线无实交点，以p为中点的弦不存在评注 1本题涉及的知识点是：直线与双曲线的位置关系、二次方程的理论、直线方程和二元不等式的解2由于双曲线以p(x0，y0)为中点的弦下一定存在，那么p在什么区域内有解？什么区域内无解？这是一个有一定难度的新问题问题中的已知数都以字母表示，42a2b2(b2x02a2y02)(b2x02a2y02a2b

35、2)，实现把问题化归为二元不等式组来解，从而突破了难点，使问题获得清晰的解利用比例常数作参数是一种常用的转化方法 例13opoq，则动直线过一定点求此定点的坐标证 评注 1本题涉及的知识点是：双曲线方程、二元二次齐次方程和直线系方程解这说明“工欲善其事，必先利其器”，数学知识与数学语言的作用跃然纸上 例14p是双曲线xy=1上任一点，p是p关于原点的对称点，以p为圆心，|pp|为半径作圆，求证：圆p与双曲线的另外三个交点恰为正三角形的顶点证 设点p与p的坐标分别为(x0，y0)、(x0，y0)，则以p为圆心，|pp|为半径之圆为：(xx0)2(yy0)2=(2x0)2(2y0)2，且x0y0=

36、1圆与双曲线的交点坐标满足消去y，得x42x0x33(x02y02)x22y0x1=0，即(xx0)(x33x0x23y02xy0)=0设另外三个交点的坐标分别为a(x1，y1)、b(x2，y2)、c(x3，y3)根据三次方程的韦达定理，有abc的重心和外心重合故此三角形为正三角形评注 1本题涉及的知识点是：双曲线方程xy=1、圆方程、三次方程的韦达定理和三角形外心与重心重合，则此三角形为正三角形2由于以p为圆心、|pp|为半径之圆与双曲线xy=1的另三个交点的坐标难以一一求出，所以只能借助于韦达定理，求出三个交点的横坐标和纵坐标之和，证明三角形的重心和外心重合，来完成证明此三角形为正三角形的

37、目的，这是解析几何常用的技巧 例15交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形顶点的坐标解 共焦点f、f，所以c2=a2b2=22，其中c为半焦距f为上焦点，p(x，y)为双曲线和椭圆在第一象限内的交点2=c2此时四边形的四个顶点坐标分别为评注 1本题涉及的知识点是：椭圆、双曲线的方程、半焦距c与半长轴(半实轴)、半短轴(半虚轴)之间的关系、焦半径、四边形的面积和基本方程、不等式2这是综合性强的最值问题，困难在于如何建立数学模型首先是选什么作设计变量？为了求椭圆和双曲线的交点为顶点的四边形面积，必须求它们的交点坐标为此需解椭圆和双曲线方程构成二元二次方程组如何绕过这一繁琐的运算，乃是解决本题

38、的关键，从图上可见|pf|的双重身份，既是椭圆的焦半径又是双曲线的焦的二元函数，限制条件是22=c2，于是运用基本不等式222就不难解决这个条件最值问题了3这是最值模型的构思巧妙的典型题，借助于几何直观形象，|pf|的双重身份，使问题解决得和谐优美说明形象思维的作用不可忽视4这是1989年全国高考文科的最后一题 例16存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，说明理由分析： 显然点b(1，1)在双曲线的外部不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾斜角也不可能是90解法一 设被b(1，1)所平分的弦所在的方程为y=k(x1)1，=2k(k1)24(k22)(k22k3)0故不存在被点b(1，1)所平分的弦解法二 设存在被点b平分的弦mn，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x2=2，y1y2=2，=(4)2423=8这说明直线mn与双曲线不相交，故被点b平分的弦不存在评注 由此可见中点弦问题判断点的位置是非常重要的一般地，点b在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在如果点b在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能存在因此，点b在内部无需检