第八章 静电场部分习题分析与解答

1、第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-5 若电荷均匀地分布在长为若电荷均匀地分布在长为L的细棒上的细棒上,求证求证: (1)在棒的延长线在棒的延长线,且离棒中心为且离棒中心为r处的电场强度为处的电场强度为 (2)在棒的垂直平分线上在棒的垂直平分线上,离棒为离棒为r的电场强度为的电场强度为 22 0 4 1 Lr Q E 22 04 2 1 Lr Q r E (1)在带电棒上取一线元dx,其电荷 为 dq=Qdx/L,它在P点的电场强度 大小为: 2 0 )(4 1 xr dq dE 方向沿X轴正方向

2、L O x dx x P r dE 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 因带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,则: 2/ 1 2/ 1 4)(4 1 0 2/ 2/ 2 0 LrLrL Q xrL Qdx E L L 22 0 4 1 Lr Q 电场强度的方向沿x轴正方向 (2) 电荷元 dq=Qdx/L在P点的电场 强度大小为: L Ox dx x P r r dE y 2 0 4 1 r dq dE E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 故,点P的电场强度大小为: LLL yy r dq dEd

3、EEE 2 0 4 sin sin 因为因为 统一积分变量统一积分变量,则则 22 ,/sinxrrrr 方向沿方向沿y轴的正方向轴的正方向 E 22 2/ 2/ 0 2/322 04 2 1 )(4 rL Q rrx rQdx E L L 当棒长当棒长 时时,P点的电场强度为点的电场强度为L r Lr LQ r E L 0 22 0 2 /41 / 2 1 lim 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-7 一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度为,求球 心处电场强度的大小. 将半球壳分割为一组平行的细圆环,

4、从教材第8-3节的例1可以看出,所有细 圆环在轴线上O处的电场强度方向都 相同,将所有的带电圆环的电场强度 积分,即可求得球心O处的电场强度. R o d x dRdsdqsin2 2 所带电荷元为所带电荷元为: 将半球壳分割为一组平行的细圆环将半球壳分割为一组平行的细圆环,任一个圆环任一个圆环 在点在点O激发的电场强度为激发的电场强度为: 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 i rx xdq Ed 2/322 0 )(4 1 由于平行细圆环在点由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同激发的电场强度方向相同,利利 用几何关系用几何关系 统一积分变量统一积分变量,有

5、有sin,cosRrRx ddR R R rx xdq dE cossin 2 sin2 cos 4 1 )(4 1 0 2 3 0 2/322 0 积分得积分得: 0 2/ 0 0 4 cossin 2 dE 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-8用电场强度叠加原理求证用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板无限大均匀带电板 外一点的电场强度大小为外一点的电场强度大小为 (提示提示:把无限把无限 大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然然 后进行积分叠加后进行积分叠加) 0 2/E 求点求点P的电场强度可采用两种方法

6、处理的电场强度可采用两种方法处理.将无限大将无限大 平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细 长线元组成长线元组成,它们的电荷分别为它们的电荷分别为: dydrdrdq或2 求出它们在轴线上一点求出它们在轴线上一点P的电场强度的电场强度dE后后,再叠再叠 加积分加积分,即可求得点即可求得点P的电场强度了的电场强度了. 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 如图所示,在带电板上取同心 细圆环为微元,由于带电平面 上同心圆环在点P激发的电场 强度dE的方向均相同,因而P 处的电场强度为 r dr o z y x P dE i x

7、r xdq EdE 2/322 0 )(4 1 ii xr xrdr 0 0 2/322 0 2)(4 2 电场强度E的方向为带电平板外法线方向. 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 如图所示,取无限长带电细线为 微元,各微元在点P激发的电场 强度dE在oxy平面内且对x轴对 称,因此,电场在y轴和z轴方向 上的分量之和,即Ey、Ex均为 零，则点P的电场强度应为： i yx xdy idEiEE x 22 0 2 cos 积分得积分得iE 0 2 电场强度E的方向为带电平板外法线方向. o z y x P dE y dy x dE y dE 第八章第八章 静电场静

8、电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-11如图如图8-11所示所示,电荷电荷 分别均匀分布在两个半径分别均匀分布在两个半径 为为R的半细圆环上，求：（的半细圆环上，求：（1）带电圆环偶极矩的大）带电圆环偶极矩的大 小和方向；（小和方向；（2）等效正、负电荷中心的位置。）等效正、负电荷中心的位置。 Q （1）将圆环沿y轴方向分割为一组相互 平行的元电偶极子，每一元电偶极子带 电 d Q ds R Q dq R ox y L ds jdR Q jdqRPd cos 2 cos2 则带电圆环的电偶极矩为： jR Q PdP 4 2/ 2/ 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题

9、分析与解答 （2）等效正负电荷中心间距为 R Q P l 4 根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐标分别为 （0,2R/）和（0，-2R/ ）。 也可借助几何中心的定义，得 2/ 2/ 0sin 1 RdR R x 2/ 2/ 2 cos 1 R RdR R y 即正、负电荷中心分别在即正、负电荷中心分别在y轴上距中心轴上距中心O为为 处。处。 R2 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-13边长为边长为a 的立方体如图所示的立方体如图所示,其表面分别平等于其表面分别平等于xy、 yz和和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立平面，立方体的一个顶点为坐

10、标原点，现将立 方体置于电场强度方体置于电场强度 的非均匀电场的非均匀电场 中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场 强度通量。强度通量。 jEikxEE 21 )( x y z A B C GF O ED 由题意知由题意知E与与oxy面平行，所面平行，所 以对任何与以对任何与oxy面平行的立方面平行的立方 体表面，电场强度通量为零，体表面，电场强度通量为零， 即即 ，而，而0 DEFGOABC 2 221 )()(aEjdsjEikxESdE ABGF 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 x y z A B C

11、GF O ED 考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向 相反，且该两面的电场分布相同，故有： 2 2a E ABGFCDEO 同理有： 2 21 )(EaidsjEiESdE AOEF 2 1 21 )( )()( akaE idsjEikaESdE BCDG 整个立方体表面的电场强度通量为：整个立方体表面的电场强度通量为： 3 ka 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 Rrkr0 8-158-15设在半径为设在半径为R R的球体内，其电荷为对称分布，电的球体内，其电荷为对称分布，电 荷体密度为：荷体密度为： Rr 0 K为一常量，试高斯定理求电场强度为一常量，试

12、高斯定理求电场强度E与与r的函数关的函数关 系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？）系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？） R r r o 取与带电球体同心的球面为高斯面，因 电荷分布和电场分布为球对称 ，球面 上各点电场强度的大小为常量，且方向 垂直于球面。由高斯定理： 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 R r r o dVSdE 0 1 当当 时：时： Rr 0 4 0 0 2 0 2 4 1 4r k drrkrrE r r e kr E 0 2 4 Rr 当当 时：时： 4 0 0 2 0 2 4 1 4R k drrkrrE R r e r

13、 kR E 2 0 4 4 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-16一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有 一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P 的电场强度。 用补偿法求解用补偿法求解 利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常 特殊的对称性电场，本题的电场分布虽然不具有这特殊的对称性电场，本题的电场分布虽然不具有这 样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电 平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布 若把

14、小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成， 挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和 一个带相反电荷（电荷面密度一个带相反电荷（电荷面密度 ）的圆盘。这）的圆盘。这 样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独 立在该处激发的电场的矢量和。立在该处激发的电场的矢量和。 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 由教材中第8-4节例4可知，在带电平面附近 n eE 0 1 2 x x r 为沿平面外法线的单位矢量为沿平面外法线的单位矢量; 圆盘激

15、发的电场为圆盘激发的电场为: n e n e rx x E )1 ( 2 22 0 2 它们的合电场强度为它们的合电场强度为: n e rx x EEE 22 0 21 2 在圆孔中心处在圆孔中心处x=0,则则: 0E 距离圆孔较远处距离圆孔较远处xr则则: nn ee xr E 0 22 0 2 /1 1 2 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-17如图所示，在电荷体密度为如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中，的均匀带电球体中， 存在一个球形空腔，若将带电体球心存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向空腔球心指向空腔球心 O的矢量用的矢量用 表示，试证明球形

16、空腔中任一点的电场表示，试证明球形空腔中任一点的电场 强度为：强度为： a aE 0 3 用补偿法求解用补偿法求解 挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整 的、电荷体密度为的、电荷体密度为的均匀带电球状和一个电荷体密的均匀带电球状和一个电荷体密 度为度为- 、球心在、球心在O的带小球体（半径等于空腔球体的带小球体（半径等于空腔球体 的半径）。大小球体在空腔内的半径）。大小球体在空腔内P点产生的电场强度分点产生的电场强度分 别为别为 ，则，则P点的电场强度点的电场强度 21 E、E 21 EEE o o a 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析

17、与解答部分习题分析与解答 均匀带电球体内部一点的电场强度，由 高斯定理可得： r o oo drr q sdE 2 4 1 rE r rE o 0 3 2 3 , 3 41 4 所以：所以： 2 0 21 0 1 3 ; 3 rErE )( 3 21 0 21 rrEEE 利用几何关系利用几何关系 ，上式可改写为，上式可改写为 arr 21 aE 0 3 o o a 1 r 2 r 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-19一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位 长度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场 强度。 R r L 因电荷具有

18、轴对称分布，电场强度 也为轴对称分布，且沿径矢方向。 取同轴圆柱面为高斯面，由高斯定 理得： 0 2 q rLEsdE 因为因为 所以所以 2 / R 2 2 2 R Lr Lrq 2 0 2R r E 解得解得 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1， 球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2， 求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？ 试分析。 1 R 2 R 3 R 因电荷呈球对称分布，电场强度也为球 对称分布，取半径为r的同心球面为高斯 面，由高斯定理得： 0 2

19、 /4 qrEsdE 当当rR1时，该高斯面内无电荷，时，该高斯面内无电荷， 故故 0q 0 1 E 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 当当R1rR2 时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷 故故 3 1 3 2 3 1 3 1 )( RR RrQ q 23 1 3 20 3 1 3 1 2 )(4 )( rRR RrQ E 当R2rR3 时，高斯面内电荷为Q1 + Q2 ，故 2 0 1 3 4r Q E 电场强度方向均沿径矢方向 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 各区域的电场强度分布曲线如图 所示 O E 2 R 1 R 3 Rr 在带

20、电球面的两侧，电场强度 的左右极限不同，电场强度不连续， 而在紧贴r=R3带电球面，电场强度 的跃变量 0 2 30 2 34 4 R Q EEE 这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普 遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场 强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳 的厚度变小，E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化 成为一跃变。 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-22如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距 分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且Q1=Q3=Q， 求在固定Q1、 Q3的情

21、况下，将 Q2 从点O移到无穷远处外力 所作的功。 . 1 Q 2 Q 3 Q o x y dd 由题意Q1所受合力为零 0 )2(44 2 0 3 1 2 0 2 1 d Q Q d Q Q 故得 QQ 4 1 2 因Q1=Q3=Q 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 外力作的功W应等于电场力作功 的负值即W=-W . 1 Q 2 Q 3 Q o x y dd 根据电场力作功与电势差的关系 有 0202 )(VQVVQW V0为Q1Q2在点O产生的电势（取无穷远处的电势为零） d Q d Q d Q V 00 3 0 1 0 244 将Q2从点O推到无穷远处的过程

22、中，外力作的功为 d Q VQWW 0 2 02 8 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-24水分子的电偶极矩P的大小为6.2010-30Cm,求在下述情 况下,距离分子为r= 5.0010-9m处的电势. (1)=0o;(2) =45o ;(3) =90o , 为r与p之间的夹角. 由点电荷电势的叠加 2 000 4 cos 44r p r q r q VVVp (1)若若=0oV r p Vp 3 2 0 1023. 2 4 (2)若若=45oV r p V o p 3 2 0 1058. 1 4 45cos (3)若若=90o0 4 90cos 2 0 r

23、 p V o p 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-25如图所示,有一薄金属环,其内外半径分别为R1和R2,圆环均 匀带电,电荷面密度为.(1)计算通过环心垂直于环面的轴线上一 点的电势;(2)若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环, 要使质子能穿过圆环,它的初速度至少应为多少? 1 R 2 R r o x xv p (1)在环上割取半径为r、宽 度为dr的带电细圆环，其所 带电荷为 rdrdsdq2 它在轴线上产生的电势为 2/122 0 2/122 0 )(2)(4rx rdr rx dq dV 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析

24、与解答 薄金属环的电势等于这些同心圆环电势的叠加 2)(2 22 1 22 2 0 2/122 0 2 1 xRxR rx rdq V R R （2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的 动能动能 ，开始时质子的初速度应满足，开始时质子的初速度应满足0 k E 0)( 2 1 0 2 VVemvo 即即)( 12 0 RR m e vo 上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于)( 12 0 RR m e 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-26两个同心球面的半径分别为R1和R2，

25、各自带有电荷Q1和 Q2。求各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间 的电势差为多少？ 1 R 2 R (1)由高斯定理可求得电场分布 用场强积分法求电势用场强积分法求电势 0 1 E 1 Rr r e r Q E 2 0 1 2 4 21 RrR r e r QQ E 2 0 21 3 4 2 Rr 由电势由电势 可求得各区域的电势分布可求得各区域的电势分布 l dEV r 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 当rR1时,有 2 2 1 1 3211 R R R R r l dEl dEl dEV 20 2 10 1 20 21 210 1 444 ) 11

26、 ( 4 0 R Q R Q R QQ RR Q 当R1rR2时,有 2 2 322 R R r l dEl dEV 20 2 0 1 20 21 20 1 444 ) 11 ( 4R Q r Q R QQ Rr Q 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 V o 1 R 2 Rr 当rR2时,有 r l dEV 33 r QQ 0 21 4 (2)两个球面间的电势差为 ) 11 ( 4 210 1 212 2 1RR Q l dEU R R 用电势叠加法求电势用电势叠加法求电势 (1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面 内,即rR1,则 20 2 10

27、 1 1 44R Q R Q V 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 若该点位于两个球面之间,即R1rR2,则 20 2 0 1 2 44R Q r Q V 若该点位于两个球面之外,即rR2,则 r QQ V 0 21 3 4 (2)两个球面间的电势差为 20 1 10 1 2112 44 2 R Q R Q VVU Rr 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-27半径为R的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分布,电荷 的体密度为现取棒表面为零电势,求空间电势分布并画出分布 曲线。 R r l 无限长均匀带电细棒电荷分布无限长均匀带电细棒

28、电荷分布 呈轴对称呈轴对称,其电场和电势的分布其电场和电势的分布 也呈轴对称也呈轴对称.取高度为取高度为 、半、半 径为径为 且与带电棒同轴的圆柱且与带电棒同轴的圆柱 面为高斯面，由高斯定理面为高斯面，由高斯定理 l r V dVsdE 0 1 当当 时时Rr 0 2 /2lrrlE 得得 0 2 r E 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 当当 时，时， Rr 0 2 /2lRrlE 得：得： r R E 0 2 2 取棒表面为零电势，空间电势的分布有 当当 时，时，Rr )( 42 22 00 rRdr r V R r 当当 时，时， Rr r RR dr r

29、R V R r ln 22 0 2 0 2 电势V随空间位置r的分布曲线为 o V Rr 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 8-28一圆盘半径R=3.00 10-2m,圆盘均匀带电,电荷面密度 =2.0010-5C m-2.(1)求轴线上的电势分布;(2)根据电场强度 与电势梯度的关系求电场分布;(3)计算离盘心30.0cm处的电势 和电场强度。 R r o x x p 利用与题8-25类似的方法，将积分限改为0到R，即可求得带电 圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分 关系式可求得电场强度的分布 第八章第八章 静电场静电场部分习题分析与解答部分习题分析与解答 （1）轴线上任一点P的电势为 ) 1 ()( 22 22 0 022 0 xxR xr rdr V R （2）